1、2.2 基本不等式(一）广东实验中学珠海金湾学校高一备课组05学习要点03基本不等式数 学 建 模 思 想（第 二 课 时）广东实验中学珠海金湾学校03基本不等式应用主题一：基本不等式推导及其变形关注适用范围回顾旧知重要不等式的内容：重要不等式的内容：一般地，对于 实数a、b，总有当且仅当a=b，等号成立abba222任意Rba，两数的平方和两数的平方和不小于不小于它们积的它们积的2 2倍倍.文字叙述为文字叙述为:探究新知abba222Rba，人教A版数学基本不等式完美版1人教A版数学基本不等式完美版1探究新知替换后得到：替换后得到：22()()2abab2abab 2abab上述推导过程中有
2、一个很大的问题？是什么？a0且b0！不等式的推导和应用必须关注取值范围！取值范围！取值范围！人教A版数学基本不等式完美版1人教A版数学基本不等式完美版1探究新知基本不等式的证明2abab）（0,0ba证明：要证2abab要证 只要证baab2baab20）（22)(,)(,0,0bbaaba0)(2ba要证 也即证 要证 也即证显然,是成立的.当且仅当a=b时,中的等号成立.分析法分析法人教A版数学基本不等式完美版1人教A版数学基本不等式完美版1归纳：适用范围适用范围文字叙述文字叙述两个数的平方和不小于它们乘积的2倍两个数的算术平均数不小于它们的几何平均数“=”成立条件成立条件a=ba=bab
3、ba2222ababRba，）（0,0ba人教A版数学基本不等式完美版1人教A版数学基本不等式完美版1主题二：基本不等式应用分析能力、迁移能力人教A版数学基本不等式完美版1人教A版数学基本不等式完美版1积定问题例例已知x0，求 的最小值和此时x的取值1xx变式1：把 改为 成立吗？0 x 0 x 变式2：把 改为 成立吗？0 x 2x 不成立不成立如果 积是定值 ，那么当且仅当 a=b 时，有最 值 abp小小人教A版数学基本不等式完美版1人教A版数学基本不等式完美版1积定问题例例2 已知x，y都是正数，求证：如果积xy 等于定值P，那么当x=y时，和 x+y有最小值 ；P2证明：证明：xyy
4、xyx2,都是正数，所以因为，时，有等于定值当积PyxPxy2Pxy2所以.2.Pyxyxyx有最小值时，和于是，当时，上式等号成立当且仅当人教A版数学基本不等式完美版1人教A版数学基本不等式完美版1练习1.已知已知x0,y0,xy=24,求求4x+6y的最小值，并的最小值，并说明此时说明此时x,y的值的值当当x=6,y=4时时,最小值为最小值为482.已知已知x0.x+1x+1=(x+1)+-11x+1=1,2 (x+1)-11x+1 当且仅当 取“=”号.当 x=0 时,取最小值是 1.x+1=,即即 x=0 时时,1x+1 人教A版数学基本不等式完美版1人教A版数学基本不等式完美版1和定
5、问题例例3 已知x，y都是正数，求证：如果和 x+y等于定值S，那么当x=y时，积xy有最大值 .241S，时，有等于定值当和2SxySyx证明：证明：,412Sxy 所以.41.2Sxyyxyx有最大值时，积于是，当时，上式等号成立当且仅当人教A版数学基本不等式完美版1人教A版数学基本不等式完美版1和定问题例例4.若 0 x ,求 x(1-2x)的最大值.12解解:0 x0.12 x(1-2x)=2x(1-2x)12 22x+(1-2x)21218=.当且仅当 时,取“=”号.2x=(1-2x),即即 x=14当 x=时,函数 x(1-2x)的最大值是 .1418如果 a+b和是定值 ，那么
6、当且仅当 a=b 时，ab有最 值 大大人教A版数学基本不等式完美版1人教A版数学基本不等式完美版1练习1 已知x0,y0,且x+2y=1,求的 最小值yxu1132 22.已知x,y为正数,且2x+8yxy，则x+y 的最小值是_.18人教A版数学基本不等式完美版1人教A版数学基本不等式完美版1归纳：利用基本不等式求积的最大值或求和的最小值时，需满足利用基本不等式求积的最大值或求和的最小值时，需满足(1)a(1)a，b b必须必须是是正数正数.（一正）（一正）(2)(2)在在a+ba+b为定值时，便可以知道为定值时，便可以知道abab的最大值；的最大值；在在abab为定值时，便可以知道为定值
7、时，便可以知道a+ba+b的最值的最值.（二定）（二定）(3)(3)当且仅当当且仅当a=ba=b时，等式成立时，等式成立（三相等）（三相等）人教A版数学基本不等式完美版1人教A版数学基本不等式完美版1【归纳小结归纳小结】重要不等式重要不等式基本不等式基本不等式Rbaabba,2220,02babaab等号成立的条件等号成立的条件当当且且仅仅当当a=b 时，时，等等号号成成立立求最值时注意把握求最值时注意把握“一正，二定，三相等一正，二定，三相等”人教A版数学基本不等式完美版1人教A版数学基本不等式完美版1求最值时注意把握求最值时注意把握“一正，二定，三相等一正，二定，三相等”已知已知 x,y
8、都是正数都是正数,P,S 是常数是常数.(1)xy=P x+y P(当且仅当当且仅当 x=y 时时,取取“=”).(2)x+y=S xy S2(当且仅当当且仅当 x=y 时时,取取“=”).利用基本不等式求最值利用基本不等式求最值归纳：241人教A版数学基本不等式完美版1人教A版数学基本不等式完美版1课堂小结小结：小结：基本不等式运用作业：教材作业：教材p46面面1、2、3、4+习题习题2.2的的1、2（上交）（上交）三维设计p26页自学新教材部分+（上课抽查）三维检测卷（九）A组（不交不交，自己订正）预习：预习：教材46-47，建议完成练习题人教A版高中数学必修第一册2.2基本不等式（第一课
9、时）人教A版高中数学必修第一册2.2基本不等式（第一课时）人教A版数学基本不等式完美版1人教A版数学基本不等式完美版12.2 基本不等式(二）广东实验中学珠海金湾学校高一备课组人教A版高中数学必修第一册2.2基本不等式（第一课时）人教A版高中数学必修第一册2.2基本不等式（第一课时）人教A版数学基本不等式完美版1人教A版数学基本不等式完美版1【回顾旧知回顾旧知】重要不等式重要不等式基本不等式基本不等式Rbaabba,2220,02babaab等号成立的条件等号成立的条件当当且且仅仅当当a=b 时，时，等等号号成成立立求最值时注意把握求最值时注意把握“一正，二定，三相等一正，二定，三相等”人教A
10、版高中数学必修第一册2.2基本不等式（第一课时）人教A版高中数学必修第一册2.2基本不等式（第一课时）人教A版数学基本不等式完美版1人教A版数学基本不等式完美版1求最值时注意把握求最值时注意把握“一正，二定，三相等一正，二定，三相等”已知已知 x,y 都是正数都是正数,P,S 是常数是常数.(1)xy=P x+y P(当且仅当当且仅当 x=y 时时,取取“=”).(2)x+y=S xy S2(当且仅当当且仅当 x=y 时时,取取“=”).利用基本不等式求最值利用基本不等式求最值回顾：241人教A版高中数学必修第一册2.2基本不等式（第一课时）人教A版高中数学必修第一册2.2基本不等式（第一课时
11、）人教A版数学基本不等式完美版1人教A版数学基本不等式完美版1主题：利用基本不等式解决实际问题数学建模思想渗透人教A版高中数学必修第一册2.2基本不等式（第一课时）人教A版高中数学必修第一册2.2基本不等式（第一课时）人教A版数学基本不等式完美版1人教A版数学基本不等式完美版1思考例例1（）用篱笆围一个面积为的矩形菜园,当这个矩形的边长为多少时，所用篱笆最短？最短篱笆的长度是多少？（）用一段长为 的篱笆围成一个矩形菜园,当这个矩形的边长为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？人教A版高中数学必修第一册2.2基本不等式（第一课时）人教A版高中数学必修第一册2.2基本不等式（第一课时）人教A版数
12、学基本不等式完美版1人教A版数学基本不等式完美版1 设矩形菜园的相邻两条边的长分别为xm,ym，篱笆的长度为(2x+y)m.(1)由已知由 ，可得 所以,当且仅当x=y=10时，上式等号成立.(2)由已知得2(x+y)=36，矩形菜园的面积为xy由 =9,可得 81，当且仅当x=y=9时，”=”成立【解析】【解析】xyyx2202xyyx402）（yxxy2yxxy人教A版高中数学必修第一册2.2基本不等式（第一课时）人教A版高中数学必修第一册2.2基本不等式（第一课时）人教A版数学基本不等式完美版1人教A版数学基本不等式完美版1思考例例2（）某工厂要建造一个长方体形无盖存水池，其容积为480
13、0m，深为3m.如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元，那么怎样设计水池能使总造价最低？人教A版高中数学必修第一册2.2基本不等式（第一课时）人教A版高中数学必修第一册2.2基本不等式（第一课时）人教A版数学基本不等式完美版1人教A版数学基本不等式完美版1 设矩形菜园的相邻两条边的长分别为xm,ym，篱笆的长度为(2x+y)m.(1)由已知由 ，可得 所以,当且仅当x=y=10时，上式等号成立.(2)由已知得2(x+y)=36，矩形菜园的面积为xy由 =9,可得 81，当且仅当x=y=9时，”=”成立【解析】【解析】xyyx2202xyyx402）（yxxy2yxxy人教A版高中数学必修第一册2.2基本不等式（第一课时）人教A版高中数学必修第一册2.2基本不等式（第一课时）人教A版数学基本不等式完美版1人教A版数学基本不等式完美版1
