1、 微专题 48多变量表达式的范围数形结合 一、基础知识： 1、数形结合的适用范围： （1）题目条件中含有多个不等关系，经过分析后可得到关于两个变量的不等式组 （2）所求的表达式具备一定的几何意义（截距，斜率，距离等） 2、如果满足以上情况，则可以考虑利用数形结合的方式进行解决 3、高中知识中的“线性规划”即为数形结合求多变量表达式范围的一种特殊情形，其条件与 所求为双变量的一次表达式 4、有些利用数形结合解决的题目也可以使用放缩消元的方式进行处理，这要看所给的不等条 件（尤其是不等号方向）是否有利于进行放缩。 二、典型例题 例 1：三次函数 32 , ,f xxbxcxd b c dR在区间1
2、,2上是减函数，那么bc 的取值范围是（ ） A. 15 , 2 B. 15 , 2 C. 15 , 2 D. 15 , 2 思 路 ： 先 由 减 函 数 的 条 件 得 到, b c的 关 系 ， 2 32fxxbxc，所以1,2x 时， 0fx 恒成立， 通过二次函数图像可知： 10 230 4120 20 f bc bc f ， 由关 于, b c的不等式组可想到利用线性规划求得bc的取值范围，通 过作图可得 15 2 bc 答案：D 例 2： 设 f x是定义在R上的增函数， 且对于任意的x都有110fxfx恒成立， 如果实数,m n满足不等式组 22 62380 3 f mmf n
3、n m ，那么 22 mn的取值范围 是（ ） A. 3,7 B. 9,25 C. 13,49 D. 9,49 思路：首先考虑变形 22 62380f mmf nn，若想得到,m n的关系，那么需要 利用函数的单调性将函数值的大小转变为括号内式子的大小。由110fxfx可 得：11fxfx ，所以 f x关于1,0中心对称，即 2f xfx，所以： 22222 62380623828f mmf nnf mmf nnfnn ，利用 f x单调递增可得： 22 22 62328344mmnnmn，所以 ,m n满足的条件为 22 344 3 mn m ，所求 22 mn可 视为点,m n到原点距离
4、的平方，考虑数形结合。将作出可行 域，为以3,4C为圆心，半径为2的圆的右边部分（内部） ，观 察图像可得该右半圆距离原点的距离范围是 13,7，所以 22 13,49mn 答案：C 例 3：已知函数 yf x是R上的减函数，函数1yf x的图像关于点1,0对称，若 实数, x y满足不等式 22 22f xxfyy ，且14x，则 y x 的取值范围是_ 思路：从所求出发可联想到, x y与0,0连线的斜率，先分析 已知条件，由1f x对称性可知 f x为奇函数，再结合单 调递减的性质可将所解不等式进行变形： 2222 2222f xxfyyf xxfyy 22 22xxyy，即 22 20
5、xyxy，所以有 20xyxy。再结合14x可作出可行域（如图） ，数形结合可知 y x 的范围是 1 ,1 2 答案： 1 ,1 2 例 4：已知, 是三次函数 32 11 2, 32 f xxaxbx a bR的两个极值点，且 0,1 ,1,2 ，则 2 1 b a 的取值范围是（ ） A. 1 ,1 4 B. 1 ,1 2 C. 1 1 , 2 4 D. 1 1 , 2 2 思路：由极值点可想到方程 0fx 的根， 2 2fxxaxb，依题意可得： 2 20xaxb的两根分别在 0,1 , 1,2中， 由二次函数图像 可知： 00 0 10210 4220 20 f b fab ab f
6、 ，且所求 2 1 b a 可视为 , a b与定点1,2连线的斜率，所以想到线性规划，通过作出 可行域，数形结合可知 2 1 b a 的范围是 1 ,1 4 答案：A 例 5：已知实系数方程 32 0xaxbxc的三个根可以作为一椭圆，一双曲线，一抛物线 的离心率，则 b a 的取值范围是_ 思路：以抛物线离心率为突破口可得1x 是方程的根，设 32 f xxaxbxc，则 110fabc ，从而 1cab ，进而因式分解可知 2 1110xxaxab ， 所以椭圆与双曲线的离 心率满足方程 2 110xaxab ，设 2 11g xxaxab ，则由椭圆与双曲线离心率的范围可知 0g x
7、一根在 0,1，一根在1,，所以 00 10 23010 g ab abg ，由不等式组想到利用线性规划 求 b a 的范围，即可行域中的点与原点连线斜率的范围。通过作图即可得到 1 2, 2 b a 答案： 1 2, 2 b a 例 6：已知三个正实数, ,a b c满足2 ,2bacb abca，则 a b 的取值范围是_ 思 路 ： 考 虑 将 条 件 向 与 a b 有 关 的 式 子 进 行 变 形 ， 从 而 找 到 关 于 a b 的 条 件 ： 212 2 21 ac bacb bb aca abca bbb ，可发现不等式组只与, a c b b 相关， 不妨设, ac xy
8、 bb ， 则不等式组转化为： 12 12 xy xyx 即 12 10 210 xy xy xy ， 所求恰好为x的范围， 作出可行域即可得到x 的范围为 2 3 , 3 2 答案： 2 3 , 3 2 例 7：设P是不等式组 0,0 1 3 xy xy xy 表示的平面区域内的任意一点，向量1,1m ， 2,1n ，若,OPmnR ，则的最大值为（ ） A4 B3 C5 D6 思路：本题的变量较多，首先要确定核心的变量。 题目所求为, 的表达式。所以可视其为核心变 量， 若要求得的最值， 条件需要关于, 的 不等式组。所以考虑利用, x y与, 的关系将原 先关于, x y的不等式组替换为
9、关于, 的等式组 即可 解：设,P x y ,2 ,OPx ymn 2x y ，代入到约束条件中可得： 20 0 1 233 ，作出可行域即可解出的最大 值为4 答案：A 例 8：若实数, x y满足条件 22 1xy，则 2 12y xx 的取值范围是_ 思 路 ： 考 虑 所 求 式 子 中 2 1 x 可 变 为 22 2 xy x ， 所 以 原 式 变 形 为 ： 2 22 2 2 21 xyyyy xxxx ，可视为关于 y x 的二次函数，设 y t x ，其几何含义为 , x y与0,0连线的斜率，则由双曲线性质可知该斜率的绝对值小于渐近线的斜率，即 1,1t ，则 2 2 2
10、1122,2f tttt 答案：2,2 小炼有话说：本题也可以考虑利用三角换元。设 1sin ,tan coscos xy ，从而原式转化 为： 2 22 cos2 tancos1sin2sinsin12 ，由sin1,1 可知 2 sin12的范围为2,2 例 9： （2016，天津六校联考）已知实数, ,a b c满足 222, 0abc c，则 2 b ac 的取值范围 是_ 思路：由 222, 0abc c，可建立直角坐标系，建立圆模型： 222 xyc，则圆上的点 为, a b，所求分式可联想到斜率，即 2 b k ac 可视为 , 2 ,0a bc两点连线的斜率。数 形 结 合 可
11、 得 ： 过2 ,0c的 直 线l与 圆 有 公 共 点 时 斜 率k的 取 值 范 围 ， 设 :220l yk xckxykc，即 2 2 1 O l kc dc k ，解得： 33 , 33 k 答案： 33 , 33 例 10： （2012 江苏）已知正数, ,a b c满足：534, lnlncabca cbacc，则 b a 的 取值范围是_ 思 路 ： 可 先 将 所 给 不 等 式 进 行 变 形 ： 3 53454 aba cabca ccc ， lnlnlnln bba cbaccca ccc ， 从而将所给不等式 转化为关于, b a c c 的关系，为了视觉效果可设,
12、ab xy cc ，则 已知条件为： ln 53 4 x yxye yx yx ，而所求为 b by c a ax c ，即 可行域中的点, x y与0,0连线的斜率。数形结合即可得到斜 率的范围是,7e，其中7 y x 为 1 7 , 2 2 A 与原点连线的斜率， y e x 为过原点且与曲线 x ye相切的切线斜率 答案：,7e 小炼有话说：本题也可以用放缩的方法求得最值，过程如下： 因为, ,0a b c 534cabca 5342 c caca a 4414 217 bc bca aa 另一方面：lnlnln b cbaccca c 11 lnln b b c bb aa c cc ，设 ln x f x x ，则 2 ln1 ln x fx x 可得 f x在0,e单调递减，在, e 单调递增 min f xf ee ，即 f xf ee，令 b x c ，则有 ln b c e b c ln b b c e b a c 综上所述：,7 b e a
