高中数学讲义微专题55数列中的不等关系.doc

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1、 第 55 炼 数列中的不等关系 一、基础知识: 1、在数列中涉及到的不等关系通常与数列的最值有关,而要求的数列中的最值项,要依靠数 列的单调性,所以判断数列的单调性往往是此类问题的入手点 2、如何判断数列的单调性: (1)函数角度:从通项公式入手,将其视为关于n的函数,然后通过函数的单调性来判断数 列的单调性。由于nN ,所以如果需要用到导数,首先要构造一个与通项公式形式相同, 但定义域为0, 的函数,得到函数的单调性后再结合nN 得到数列的单调性 (2)相邻项比较:在通项公式不便于直接分析单调性时,可考虑进行相邻项的比较得出数列 的单调性,通常的手段就是作差(与 0 比较,从而转化为判断符

2、号问题)或作商(与 1 比较, 但要求是正项数列) 3、用数列的眼光去看待有特征的一列数:在解数列题目时,不要狭隘的认为只有题目中的 , nn ab是数列,实质上只要是有规律的一排数,都可以视为数列,都可以运用数列的知识 来进行处理。 比如: 含n的表达式就可以看作是一个数列的通项公式; 某数列的前n项和 n S也 可看做数列 12 :, nn SS SS等等。 4、对于某数列的前n项和 12 :, nn SS SS,在判断其单调性时可以考虑从解析式出发,用 函数的观点解决。也可以考虑相邻项比较。在相邻项比较的过程中可发现: 1nnn aSS , 所以 n S的增减由所加项 n a的符号确定。

3、进而把问题转化成为判断 n a的符号问题 二、典型例题 例 1:已知数列 1 ,1 n aa ,前n项和 n S满足 1 30 nn nSnS (1)求 n a的通项公式 (2)设)设2n n n n c a ,若数列若数列 n c是单调递减数列是单调递减数列,求实数求实数的取值范围的取值范围 解: (1) 1 1 3 30 n nn n Sn nSnS Sn 12 1211 214 11 nnn nnn SSSSnn SSSSnn 1 2121 3 26 n nnnnnnS S 11 1Sa 21 6 n nnn S 2n 时, 1 12111 662 nnn n nnnn nn n aSS

4、 当1n 时, 1 1a 符合上式 1 2 n n n a (2)思路:由(1)可得: 2 2 1 n n c n ,由已知 n c为单调递减数列可得 1nn cc 对 nN 均成立,所以代入 n c通项公式得到关于, n的不等式 42 21nn ,即只需 max 42 21nn ,构造函数或者数列求出 42 21nn 的最大值即可 解: 2 222 11 2 nnn n n nn c n nan n c是递减数列 nN , 1nn cc 即 +1 22 22 21 nn nn 4242 2 2121nnnn 只需 max 42 21nn 构造函数:设 42 1 21 f xx xx 则 22

5、 2 222222 22414242 212121 xxx fx xxxxxx 22 222 21 xx xx 所以 f x在 1, 2单调递增,在 2,+单调递减 11 1,2 33 ff nN 时, max 1 12 3 f nff 即 max 421 213nn 1 3 构造数列:设数列 n t的通项公式 42 21 n t nn 1 4242462 2 21121 nn ttn nnnnnnn 416221242 1212 n nn nnnn n nnn nn 2n 时, 1 0 nn tt ,即 1nn tt 当2n 时, 21 tt 所以 n t的最大项为 21 1 3 tt 1

6、3 例 2:已知等差数列 n a中, 35 9,17aa,记数列 1 n a 的前n项和为 n S,若 21 10 nn m SSmZ ,对任意的nN 恒成立,则整数m的最小值是( ) A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 思路:若 21 10 nn m SS 恒成立, 21 max 10 nn m SS ,要找 n S,则需先确定 n a的通项公式 得到 1 n a : 53 4 53 aa d ,所以 3 443 n aandn,发现 11 43 n an 无法直接 求和, 21nn SS 很难变为简单的表达式,所以考虑将 21nn SS 视为一个数列,通过相邻 项比较寻找其单调性: 2

7、312123211nnnnnnnn SSSSSSSS 2322 11111110487 0 898543898543 nnn n aaannnnnn , 进 而 21nn SS 单调递减, 213132 max 14 45 nn SSSSaa ,所以 1428 10459 m m, 从而4m 答案:B 例 3:已知数列 , nn ab满足 12 2 n b n a aanN ,若 n a为等比数列,且 132 2,6abb (1)求, nn a b (2)设 11 n nn cnN ab ,记数列 n c的前n项和为 n S 求 n S 求正整数求正整数k,使得对于,使得对于nN ,均有,均有

8、 kn SS 解: (1) 32 6 3 22 bb b 6 12312 2a a aa a 3 8a 2 3 1 42 a qq a 或2q (舍) 1 1 2 nn n aa q 1 2 12 22 n b n n a aa 1 22 221 n n nb n bn n (2) 1111111 2121 nn n nn c abn nnn 2 11111111 1 2222231 n n S nn 11 1 22 111 1 1 112 1 2 n n nn 思路:实质是求 n S取到最大值的项,考虑分析 n S的单调性,从解析式上很难通过函数的 单调性判断,从而考虑相邻项比较。对于 n

9、S而言, n S的增减受 n c符号的影响,所以将问题 转化为判断 n c的符号。 11 21 n n c n n 可估计出当n取得值较大时, n c会由正项变为负 项。所以只要寻找到正负的分界点即可 解: 1111 1 2112 n n n n n c n nn n 当4n时,可验证 1 10 2n n n ,从而可得0 n c 设 1 1 2 n n n n d ,则 1 11 12112 222 nn nnn nnn nnn dd 当5n时, 1nnn ddd 递减 5 5 5 6 10 2 n dd 5n 时,0 n c 4 max n SS 4k 时,均有 4n SS 例 4:已知数

10、列 n a的前n项和为 1 ,1 n S a 且 1 2211 nn nSnSn n ,数列 n b满 足: 21 20 nnn bbb , 3 5b ,其前9项和为63 (1)求, nn a b (2 2)令)令 nn n nn ba c ab ,记,记 n c的前的前n项和为项和为 n T,对,对nN ,均有,均有2, n Tna b,求,求ba 的最小值的最小值 解: (1) 1 1 1 2211 12 nn nn SS nSnSn n nn n S n 为公差是 1 2 的等差数列 1 11 1 122 n SSn n n 1 2 n n n S 2n 时, 1 11 22 nnn n

11、 nnn aSSn 1 1a 符合上式 n an 2121 202 nnnnnn bbbbbb n b为等差数列 设 n b前n项和为 n P 95 963Pb 5 7b 3 5b 53 1 53 bb d 2 n bn ( 2 ) 思 路 : 依 题 意 可 得 : 211 22 22 nn n nn bann c abnnnn , 可 求 出 11 232 12 n Tn nn , 从而 11 232 12 n Tn nn , 若ba最小, 则, a b应 最接近2 n Tn的最大最小值(或是临界值) ,所以问题转化成为求 11 32 12nn 的范 围,可分析其单调性。 11 32 12

12、 f n nn 单调递增。所以最小值为 4 1 3 f,而 当n时, 3f n ,所以 f n无限接近3,故2 n Tn的取值范围为 4 ,3 3 中的离 散点,从而求出ba的最小值 解: 222211 122 222 n nnn c nnnnnn 11111 22 1 3242 n Tn nn 11111 22 1232 21212 nn nnnn 11 232 12 n Tn nn 设 11 32 12 f n nn ,可知 f n递增 4 1 3 f nf,当n时, 3f n f n 4 ,3 3 4 ,3, 3 a b 若ba最小,则 4 ,3 3 ab min 5 3 ba 例 5

13、( 2014 , 黄 州 区 校 级 模 拟 ) 数 列 n a的 前n项 和 2 4 n n S , 数 列 n b满 足 1 32, nn bbn nnN (1)求数列 n a的通项公式 (2)求证:当 1 1 4 b 时,数列 nn ba为等比数列 (3 3)在()在(2 2)的条件下,)的条件下,设数列设数列 n b的前的前n项和为项和为 n T,若数列若数列 n T中只有中只有 3 T最小最小,求求 1 b的取的取 值范围值范围 解: (1) 2 2 1 11 212 444 nnn nn aSSnn 11 1 4 aS符合上式 1 21 4 n an (2) 1 21 4 nnn

14、babn 考虑 11 11 3321230 44 nnnn bbnbnbn 即 11 30 nnnn baba 11 1 3 nnnn baba 数列 nn ba为等比数列 (3)思路:由(2)可求得 n b通项公式 1 1 111 21 434 n n bbn ,但不知其单调 性,但可以先考虑必要条件以缩小 1 b的取值范围。若要 3 T最小,则最起码要比 24 ,T T小,从而 先求出 1 b满足的必要条件 1 4711b (也许最后结果是其子集) ,在这个范围内可判定 n b为递增数列,从而能保证 3 T最小 由(2)可得: 1 21 4 n bn 是公比为 1 3 的等比数列 1 1

15、111 21 443 n n bnb 1 1 111 21 434 n n bbn 若要 3 T最小,则必然要 3232 3443 0 0 TTTT TTTT 即 3 4 0 0 b b 2 31 1 3 1 41 115 0 11434 47 117 0 434 bb b b bb 1 4711b 则 11 111 20 243 n nn bbb ,所以 n b为递增数列 12314 0,0 nn bbbbbb ,符合 3 T最小的条件 所以 1 4711b 小炼有话说:在求参数范围时如果不能一次准确列出参数所满足的条件,可先写出其必要条 件适当缩小其取值范围,往往会给解题带来新的突破口 例

16、 6: (2014,文登市二模)各项均为正数的数列 n a ,其前n项和为 n S,满足 1 1 2 1 nn nn aa nN aa ,且 56 2Sa (1)求数列 n a的通项公式 (2 2)若)若nN ,令令 2 nn ba,设数列设数列 n b的前的前n项和为项和为 n T,试比较试比较 1 12 4 n n T T 与与 46 41 n n 的大的大 小小 解: (1) 22 1 11 1 2 120 nn nnnn nn aa aa aa aa 11 20 nnnn aaaa 1nn aa (舍)或 1 2 nn aa n a是公比为 2 的等比数列 5 1 5 561 21 2

17、22 21 a Saa ,解得: 1 2a 1 12 2 nn n aa (2)思路:由(1)可得4n n b ,进而可求出 4 41 3 n n T ,比较大小只需两式作差,再 进行化简通分可得 1 1 4 317 4 1246 44141 41 n n n n n Tn Tnn 。利用函数或构造数列判断出 1 317 4nn 的符号即可 解: 2 4n nn ba 4 41 4 41 413 n n n T 1 1 1 1 4 4112 12483 3 1 4 44441 441 3 n n n nn n n T T 467 1 4141 n nn 1 1 4 317 4 12463737

18、 11 4414141414141 41 n n nnn n n Tn Tnnnn 设 1 317 41 x f xxx 1 7 4ln43 x fx ,可得 0fx f x为减函数 130f xf 1 317 40 n n 1 1246 441 n n Tn Tn 例 7: (2014, 湖南模拟) 已知各项都为正数的数列 n a的前n项和为 n S, 且对任意的nN , 都有 2 2 nnn pSapa(其中0p ,且p为常数) ,记数列 1 n S 的前n项和为 n H (1) 求数列 n a的通项公式及 n H (2)当2p 时,将数列 1 n a 的前4项抽去其中一项后,剩下三项按原

19、来的顺序恰为等比 数列 n b的前3项,记 n b的前m项和为 m T ,若存在mN ,使得对任意nN ,总有 mn TH恒成立,求实数的取值范围 解: (1) 2 2 nnn pSapa 2 111 22 nnn pSapan 可得: 22 11 2 nnnnn paaapapa 22 11 0 nnnn aapapa 11 0 nnnn aaaap 0 n a 1 0 nn aap 即 1nn aap n a为公差是p的等差数列 在 2 2 nnn pSapa令1n 得: 2 111 2pSapa解得: 1 ap 1 1 n aanpnp 1 12 2 n n np Spn 121211

20、11 n Sp n npnn 12 111211111 1 2231 n n H SSSpnn 212 1 11 n pnp n (2)思路:本小问实质是在数列背景下的多元恒成立问题,先求, mn TH的表达式。由已知可 得:2p 时, 1 n n H n ,要解决 n T,首先要解出等比数列 n b的通项公式。2p 时, 2 n an, 进 而 1234 11111111 , 2468aaaa 显 然 抽 去 的 应 为 3 1 a , 所 以 123 111 , 248 bbb,得到 1 2 q , 1 1 2 m m T ,所以要处理的恒成立不等式为: 1 1 21 m n n 。 再利

21、用最值逐步消元即可 解:2p 时,2 n an,进而 1234 11 11 11 11 , 2468aaaa 124 111 , aaa 成公比为 1 2 的等比数列,即 n b的公比为 1 2 ,且 1 1 11 2 b a 1 2 n n b 11 1 22 1 1 1 2 1 2 m m m T 而由(1) ,当2p 时, 1 n n H n ,所以恒成立的不等式为: 1 1 21 m n n ,所以 min 1 1 12 m n n 设 1 1 2 m f m 可得 f m为递增函数 min 1 1 2 f mf 所以 1 12 n n 对任意的nN 均成立 即 max 1 21 n

22、n 设 111 2121 n g n nn g n为减函数 max 10g ng 0 小炼有话说:本题在处理恒成立问题时,两个阶段对变量量词的不同导致取最大还是最小值 要明确区分。第一阶段是存在m,也就是说只要有m满足不等式即可,所以只要最小值比右 边小, 就意味着已经存在这样的m; 第二阶段是对任意的n, 不等式均要成立, 所以只要 g n 最大值满足不等式,剩下的函数值也必然能满足不等式。 例 8:已知数列 n a的前n项和 1 1 2 2 n nn SanN ,数列 n b满足2n nn ba (1)求证:数列 n b是等差数列,并求数列 n a的通项公式 2 n n n a (2)设数

23、列)设数列 n c满足满足 1 31 n n nn acn (为非零整数为非零整数,nN ) ,) ,问是否存在整数问是否存在整数 ,使得对任意使得对任意nN ,都有都有 1nn cc 解: (1) 1 1 2 2 n nn Sa 2 11 1 2 2 n nn Sa 11 11 11 2 22 nn nnnnn aaaaa 1 1 221 nn nn aa 即 1 1 nn bb n b是公差为 1 的等差数列 在 1 1 2 2 n nn Sa 令1n 得: 111 1 12 2 Saa 11 21ba 1 1 n bbndn 2 n n n a (2)思路:由(1)可得: 111 313

24、1123 2 nnn nnnn nnnn n n acncnc ,所以 1nn cc 等同于 1 11 123123 nn nnnn ,化简可得: 1 13 1 2 n n ,而 n的奇偶将决定 1 1 n 的符号,所以要进行分类讨论 解:由(1)可得: 2 n n n a 111 3131123 2 nnn nnnn nnnn n n acncnc 则 1nn cc 等价于: 1 11 123123 nn nnnn 1223 3123 nn nnnn 1 11 2 3312321 nn nnnn 1 13 1 2 n n 当n为奇数时,恒成立不等式为: 1 3 2 n 所以只需 1 min

25、3 1 2 n 当n为偶数时,恒成立不等式为: 1 3 2 n 所以只需 1 max 33 22 n 3 ,1 2 ,0Z 1 例 9:已知数列 n a前n项和为 n S,且 11 11 , 22 nn n aaa n (1)求 n a的通项公式 (2)设2, nn bnSnN,若集合|, n Mn bnN 恰有4个元素,则实数的 取值范围 解: (1) 1 1 11 22 n nn n nan aa nan 1 12 121 112 2121 n nn nn aaann aaann 11 1 1 111 222 nnn n n a nanan a (2)思路:由(1)所得通项公式可利用错位相

26、减法求 n S ,进而得到 1 2 2 n n bn n , 要读懂集合M恰有 4 个元素的含义,根据M描述的特点可知:M集合中的元素应该为 n b 从大到小排前 4 项的序数,所以只需判断出 n b的单调性,并结合单调性选出较大的前 4 项, 便可确定的取值。 解: 2 111 2 222 n n Sn 231 11111 21 22222 nn n Snn 两式相减可得: 2111 11 1 22 11111111 1 1 22222222 1 2 n nnnnn n Snnn 1 22 2 n n Sn 1 2 2 n n bn n 下面考虑 n b的单调性 1 1 111 211221

27、1 222 nnn nn bbn nnnn nnn 2 1 22 2 n nn 2n 时, 2 220nn,即 21 bb 2n 时, 2 220nn,所以 234n bbbb 而 12345 315335 ,2, 28232 bbbbb n b从大到小排的前 4 项为: 2341 bbbb 35 3 , 32 2 例 10: (2015,天元区校级模拟)已知数列 n a满足 1 43 nn aan (1)当 1 2a 时,求数列 n a的前n项和 n S (2 2)若对任意)若对任意nN ,都有都有 22 1 1 4 nn nn aa aa 成立成立,求求 1 a的取值范围的取值范围 解:

28、(1) 1 43 nn aan 1 413 nn aan 可得: 11 4 nn aa n a中奇数项成等差数列,偶数项成等差数列,公差均为 4 12 25aa 当2nk时, 22 1441 k aakk 21 n an 当n为奇数时, 1 43432112 nn anannn 21, 2 , n nn a n n 为偶数 为奇数 所以当n为偶数时 13124nnn Saaaaaa 112 1 221521 222244 nn aanaann nnn 2 3 2 nn n为奇数时 2 2 1 331 112 222 nnn SSannnnn (2)思路:考虑将不等式转化为 1 a的不等式,由(

29、1)可得 n a的奇数项,偶数项各为等差 数列,所以只要通过分类讨论确定n的奇偶,即可把 1 , nn a a 均用 1 a表示,再求出 1 a范围即可 解:由(1)可得: n a的奇数项,偶数项各为等差数列,且公差为 4 当n为奇数时, 11 1 422 2 n n aaan 111 43432225 nn anananna 22 22 11 1 111 22+ 25 44 2225 nn nn annaaa aaanna 22 11 22+ 254 43annan 22 22 1111 2 22222 25254 43anananann 化简后可得: 22 11 2148417aann 所

30、以只需 22 11 max 2148417aann 设 2 2 133 84178 42 f nnnn max 121f nf 2 11 21421aa 解得: 1 77 2 a 或 1 77 2 a 当n为偶数时,同理: 111 42 2 n n aaan , 11 4323 nn anana 22 22 11 1 1 23+ 2 44 43 nn nn annaaa aan 化简可得: 22 11 26843aann 即 22 11 max 26843aann 设 2 843g xnn 可得: max 221g xg 22 11111 262126210aaaaaR 综上所述: 1 77

31、2 a 或 1 77 2 a 三、历年好题精选 1、已知数列已知数列 n a的前的前n项和为项和为 n S,且,且 1 0, 4 n nnn aa SnN (1)若)若 2 1log nnn ba S ,求数列,求数列 n b的前的前n项和项和 n T (2)若)若0,2tan 2 n nnn a ,求证:数列,求证:数列 n 是等比数列,并求其通项公式是等比数列,并求其通项公式 (3)记)记 12 111 222 nn caaa,若对任意的,若对任意的, n nNcm 恒成立,求实数恒成立,求实数m 的最大值的最大值 2 2、已知数列已知数列 n a是首项是首项 1 1 4 a 的等比数列的

32、等比数列,其前其前n项和项和 n S中中 342 ,S S S成等差数列成等差数列 (1 1)求数列)求数列 n a的通项公式的通项公式 (2 2)设)设 1 2 log nn ba,若若 1 22 31 111 n nn T bbb bb b ,求证求证: 11 62 n T 3 3、已知数列已知数列 n a满足:满足: 12 1,3aa,且,且 2 1 2 cossin, 22 nn nn aanN (1 1)证明:数列)证明:数列 2k akN 为等比数列为等比数列 (2 2)求数列)求数列 n a的通项公式的通项公式 (3 3)设)设 21 1 2 12 k k a kk ba (为非

33、零整数) ,试确定为非零整数) ,试确定的值,使得对任意的值,使得对任意kN ,都,都 有有 1kk bb 成立成立 4、已知数列已知数列 n a中,中, 2 aa(a为非零常数) ,其前为非零常数) ,其前n项和项和 n S满足满足 1 2 n n n aa SnN (1)求数列)求数列 n a的通项公式的通项公式 (2)若)若2a ,且,且 2 1 11 4 mn aS,求,求,m n的值的值 (3)是否存在实数)是否存在实数, a b,使得对任意正整数,使得对任意正整数p,数列,数列 n a中满足中满足 n abp的最大项恰为第的最大项恰为第 32p 项?若存在,分别求出项?若存在,分别

34、求出, a b的取值范围;若不存在,请说明理由的取值范围;若不存在,请说明理由 5、 (2016,无锡联,无锡联考)考)数列数列 n a的前的前n项和为项和为 n S,且,且对一切正整数对一切正整数n都有都有 2 1 2 nn Sna (1)求证:)求证: 1 42 nn aan (2)求数列)求数列 n a的通项公式的通项公式 (3) 是否存在实数) 是否存在实数a, 使得不等式, 使得不等式 2 12 11123 111 221 n a aaaan 对一切正整数对一切正整数n 都成立?若存在,求出都成立?若存在,求出a的取值范围;若不存在,请说明理由的取值范围;若不存在,请说明理由 6、已

35、知函数已知函数 23 3 x f x x ,数列,数列 n a满足满足 11 1 1, n n aafnN a (1)求)求 n a的通项公式的通项公式 (2)令)令 1 1 2 n nn bn aa , 112 3, nn bSbbb,若,若 2004 2 n m S 对一切对一切nN 成立,求最小正整数成立,求最小正整数m 7、(2016, 贵阳一中四月考) 已知数列, 贵阳一中四月考) 已知数列 n a的前的前n项和为项和为 n S, 1 1a , 且, 且 1 2 nn naSnN , 数列数列 n b满足满足 12 11 , 24 bb,对任意,对任意nN ,都有,都有 2 12nnn bb b

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