1、 微专题 96 平面几何 一、基础知识： 1、相似三角形的判定与性质 （1）相似三角形的判定 三个角：若两个三角形对应角都相等，则这两个三角形相似 注：由三角形内角和为180可知，三角形只需两个内角对应相等即可 两边及一夹角：若两个三角形的两条边对应成比例，且所夹的角相等，则这两个三角形相 似 三边：若两个三角形三边对应成比例，则这两个三角形相似 （直角三角形）若两个直角三角形有两组对应边成比例，则这两个直角三角形相似 （2） 相似三角形性质： 若两个三角形相似， 这它们的对应角相等， 对应边成比例即相似比 （主 要体现出“对应”两字） ，例如：若 ABCABC，则有： ,AABBCC A B
2、A CB C A BA CB C 2、平行线分线段成比例：如图：已知 123 lll ，且直线,m n与 平行线交于, , , ,A B C D E F，则以下线段成比例： （1） ABDE BCEF （上比下） （2） ABDE ACDF （上比全） （3） BCEF ACDF （下比全） 3、常见线段比例模型： （1）“A” 字形： 在ABC中， 平行BC的直线交三角形另两边于,D E， 即形成一个“A”字，在“A”字形中，可得ABCADE，进而 有以下线段成比例： ADAE DBEC DBCE ABAC ADAEDE ABACBC （2） “8”字形：已知ABCD，连结,AD BC相交于
3、O，即形成一个“8”字，在“8”字 F E D C B A A BC D E 形中，有： AOBDOC，从而 AOBOAB ODCOCD 4、圆的几何性质： （1）与角相关的性质 直径所对的圆周角是直角 弦切角与其夹的弧所对的圆周角相等 同弧（或等弧）所对的圆周角是圆心角的一半 圆内接四边形，其外角等于内对角 （2）与线段相关的性质： 等弧所对的弦长相等 过圆心作圆上一条弦的垂线，则直线垂直平分该弦 若一条直线与圆相切，则圆心与切点的连线与该直线垂直 5、与圆相关的定理 （1）切割线定理：设PA是O的切线，PBC为割线， 则有： 2 PAPB PC （2） 相交弦定理： 设,AB CD是圆内的
4、两条弦， 且,AB CD 相交于P，则有AP BPCP DP （3）切线长定理：过圆外一点P可作圆的两条切线，且这 两条切线的长度相等 6、射影定理：已知在直角三角形ABC中，90BCA，CD为斜边AB上的高（双垂直特 点） ，则以下等式成立： 2 BCBD BA 2 A CA DA B 2 C DB DA D 注：射影定理结合勾股定理，以及等面积法。在直角三角形ABC 中的边,AC BC BD DA CD这五条线段中，可做到已知两条边 的长度，即可求出所有边的长度 7、平面几何中线段长度的求法： （1）观察所求线段是否是某个定理的一部分，从而凑齐该定理的其他条件即可求出该线段 （2）考虑所求
5、线段是否与其它线段存在比例关系 O B P C A B C A D O C D AB （3）可将此线段放入三角形中，考虑是否能通过正余弦定理解决 （4）若不易找到题目中各线段与所求线段的联系，可考虑将所求线段设为x，通过方程进行 求解。 二、典型例题： 例 1：如图，已知PA切O于A点，割线PCD与弦AB相交于E点，且PAPEBE， 若4,21PCCD，则AE的长为_ 思路：由PA是切线，PCD是割线联想到切割线定理，所以有： 2 100PAPC PDPCPCCD，解得10PA，从而 10PEBE，求AE可联想到相交弦定理：AE BECE DE， 即 CE DE AE BE ，其中6CEPEP
6、C，15DECDCE，代入可得： 6 15 9 10 AE 答案：9 例 2： 如图， 四边形ABCD内接于圆O，DE与圆O相切于点D，ACBDF，F为AC 的中点，OBD，10CD ，5BC ，则DE 思路：由DE与圆O相切可想到切割线定理：即 2 DEEA EB， 因为BD是直径，且F为AC的中点，所以BD垂直平分AC，且 BAD和BCD为对称的直角三角形。所以10ADCD， 5ABBC，所以 22 35BDADAB。在EDF中， 由切线可知EDBD，且,ADBE，所以由射影定理可知 2 2 7 BD BDBA BEBE BA ，则2AEBEAB，进而14DEEA EB 答案：14 F B
7、 C D E A O 例 3： 如图，PA与圆O相切于A，PCB为圆O的割线， 并且不过圆心O， 已知30BPA， 2 3PA，1PC ，则圆O的半径等于_ 思路：由PA与圆O相切于A可知 2 PAPC PB，可得 2 12 PA PB PC ，从而11BCPBPC，在PAD中， 可由30BPA，2 3PA，可得：2,4DAPD， 从而3,5CDBD，观察圆内的弦，延长AO交圆于E， 从 而 有AD DECD DB， 与 半 径 进 行 联 系 可 得 ： 2ADRADCD DB，代入数值可得7R 答案：7R 例 4：如图，P是半圆O的直径BC延长线上一点，PT切半 圆于点T，THBC于H，若
8、1,2PTPBPCa，则PH （ ） A. 2 a B. 1 a C. 2 a D. 3 a 思路：因为PT切半圆于点T，所以考虑连结圆心与切点，可得：OTPT，在Rt PTO中 具有双垂直的特点， 所以只需已知两条边即可求出PH， 由切割线定理可得： 2 PTPC PB， 2 2 21 1 1 PBPCaPCaa PB PC PBaa ，所以 2 21BCPCPBa，即 2 1ra，从而 2 1,OTraPOPCra， 由射影定理可得： 2 2 1PT PTPH POPH POa 答案：B 例 5：如图，PB为ABC外接圆O的切线，BD平分PBC，交圆O 于D，,C D P共线若,1ABBD
9、 PCPB PD，则圆O的半径 是 思路：由ABBD可知AD为圆O的直径，由弦切角性质可得 C C O O A AP P B B D D C C O O A AP P B B E E BADDBP ， 且在圆中BADBCD（对同弧BD） ， 由BD平 分PBC可得DBPDBC，进而 BADBCDDBCDBP， 在R tB P D中 ， 可 知 ： 30 90 BCDDBCDBP BCDDBCDBP BCDDBCDBP ， 所以由1PD 可得：22BDPD， 在R t A B D中，30BAD， 可得24ADBD， 从而 1 2 2 rAD 答案：2 例 6：如图，ABC内接于O，过BC中点D作
10、平行于AC的直线l， l交AB于点E，交O于G、F，交O在点A切线于点P，若 3, 2, 3EFEDPE，则PA的长为 思路：由PA为切线可想到切割线定理，所以 2 PAPG PF， 8PFPEEDEF，只需求出PG即可。因为PA为切线，所以 弦切角PAEC，因为PFAC，所以BDEC，从而BDEPAE ，进而可 证 PEAE PAEBDEAE BEPE DE BEDE ， 由 相 交 弦 定 理 可 知 ： AE BEGE EF，所以2 P ED E P ED EG EE FG E EF ，所以 1P GP EG E，代入 2 PAPG PF可得：6PA 答案：6 例 7：如图，已知AB和A
11、C是圆的两条弦，过点B作圆的切线 与AC的延长线相交于D，过点C作BD的平行线与圆交于点 E,与AB相交于点F,6AF,2FB,3EF,则线段 CD的长为_ 思路：由BD是切线且DCA是割线可想到切割线定理，所以 2 CD ADBD，分别计算各线段长度。由6AF,2FB,3EF可使用相交弦定理 得：4 AF FB CF EF ，再由CFBD可得： 3 4 CFAF BDBF ，所以 16 3 BD ，同时 44 ADAB ADCD CDFB ，代入可得： 22 18 4 23 CDBDCDBD 答案： 8 3 例 8： 如图， 已知PA与O相切，A为切点， 过点P的割线交O于,B C两点， 弦
12、/CDAP， ,AD BC相交于点E，点F为CE上一点，且PEDF ，若:3:2CE BE ，3DE ， 2EF ，则PA . 思 路 ： 由PA与O相 切 可 想 到 切 割 线 定 理 ， 即 2 PAPB PC，只需求出,PB PC即可。从题目条件中很难 直接求出这两个量，考虑寻找题目中的相似三角形。由 PEDF AEPFED 可 得 ：AEPFED， 所 以 AEEP AE EDEP EF FEED 。由切割线定理可知AE EDBE EC。因为 /CDAP， 所以CP， 进而CEDF， 所以 CEDF CEDDEF CEDCED ， 则 2 CEDE DECE EF EDEF ， 代
13、入3DE ，2EF 可 得 9 2 CE ， 所 以 2 3 3 B EC E， 由可算得 27 4 EP ， 所以 15 4 BPEPBE， 45 4 PCPECE。 则 15 3 4 PAPB PC 答案：15 3 4 例 9：如图，PA切圆O于点A，割线PBC经过圆心O，若1PBOB，OD平分AOC 交圆O于点D，连结PD交圆O于点E，则PE的长等于_ 思路：由图可知若要求得PE，可想到切割线定理 模型 2 PE PDPA，只需求得,PA PD即可。由 割线PBC与切线PA可想到切割线定理，从而可 计算出3PA，考虑计算PD，可将其放入 DOP中计算，已知的边有1,2ODOP，需 E O
14、B P C A D 要求解DOP，在Rt AOP中，通过边的关系可判定 3 AOP ，进而 2 3 AOC ，由 角平分线可知 3 AOD ， 所以 2 3 DOP 。 从而可用余弦定理计算出PD， 即可算出PE 解：PA切圆O于点A 2 PAPB PC 由1PBOB可得：1r 123PCPBBC 3PAPB PC 在AOP中，,1.2,3OAAP OAOPAP 3 AOP 2 3 AOC OD平分AOC 1 23 AODAOC 2 3 PODAODAOP 在POD中，由余弦定理可得： 222 2cos7DPOPODOP ODPOD 7DP 由切割线定理可得： 2 PE PDPA 2 33 7
15、 77 PA PE PD 答案： 3 7 7 例 10：如图，,AB CD是圆O的两条平行弦，AFBD交 CD于点E， 交圆O于点F， 过B点的切线交CD延长线于 点P， 若1 ,5PD CEPB， 则BC的长为_ 思路： 由切割线定理可得 2 2 5 PB PBPD PCPC PD 从而3DEPCPDCE，由两组平行关系可得四边形ABDE为平行四边形，从而 AEBD，由AFBD可得： 1 4 CMCE CBCD ，若设BC为x，则 13 , 44 CMx BMx， 可想到相交弦定理，AM FMCM BM，所以只需用x表示出,AM FM即可得到关于 x的方程。因为BP与圆相切，所以CDBP，结
16、合P可得：BCPDBP，所以 ED O A P C B F 有 1 5 5 BCCP BDx DBBP ，即 1 5 AEx，结合比例可知： 331 , 44 54 5 AMAEx EMx，由相交弦定理可得： 3 5CE ED AE EFCE EDEF AEx ，代入可得： 313 513 444 54 5 xxxx x ，解得：x 15 答案：15BC 三、历年好题精选 1、 （2015， 天津） 如图， 在圆， 天津） 如图， 在圆O中中，,M N是弦是弦AB的三等分点的三等分点， 弦弦,CD CE分别经过点分别经过点,M N， 若若2,4,3CMMDCN，则线段则线段NE的长为的长为（
17、） A. 8 3 B. 3 C. 10 3 D. 5 2 2、 （2015，广东）如图，已，广东）如图，已知知AB是圆是圆O的直径的直径，4AB ，EC是圆是圆O的切线的切线，切点为切点为 ,1C BC ，过圆心过圆心O作作BC的平行线的平行线，分别交分别交,EC AC于点于点 D和点和点P，则则OD _ 3、 （2014，重庆）过圆外一点，重庆）过圆外一点P作圆的切线作圆的切线PA（A为切点为切点） ，） ， 再作割线再作割线PBC依次交圆于依次交圆于,B C，若若6,8,9PAACBC，则则 AB _ E D O AB MN C 图1 P O E C D A B 4、（2015， 新课标，
18、 新课标 II） 如图，） 如图，O为等腰三角形为等腰三角形ABC内一点内一点，O与与ABC的底边的底边BC交于交于,M N 两点两点，与底边上的高与底边上的高AD交于点交于点G，且与且与,AB AC分别相切分别相切 于于,E F两点两点 （1）证明：）证明：EFBC （2）若）若AG等于等于O的半径的半径，且且2 3AEMN，求四求四 边形边形EBCF的面积的面积 5、 （2014，湖北）如图，湖北）如图，P为为O外一点外一点，过过P点作点作O的两的两 条切线条切线，切点切点分别为分别为,A B，过过PA的中点的中点Q作割线交作割线交O于于 ,C D两点两点，若若1,3QCCD，则则PB _
19、 6、 （2014，新课标全国卷 I）如图，四边形ABCD是O的内接四边形的内接四边形，AB的延长线与的延长线与DC 的延长线交于点的延长线交于点E，且且CBCE （1）证明：）证明：DE （2） 设） 设AD不是不是O的直径的直径，AD的中点为的中点为M， 且且MBMC， 7、 （、 （2014，新课标，新课标 II）如图，）如图，P是是O外一点外一点，PA是切线是切线，A为切点为切点， 割线割线PBC与与O相交于点相交于点, ,2B C PCPA，D是是PC的中点的中点，AD的的 延长线交延长线交O于点于点E，证明证明： （1）BEEC （2） 2 2AD DEPB G NM F BC A
20、 E D 8、 （2014，天津）如图所示：，天津）如图所示：ABC是圆的内接三角形是圆的内接三角形，BAC 的平分线交圆于点的平分线交圆于点D， 交交BC于点于点E， 过点过点B的圆的圆的切线与的切线与AD 的延长线交于点的延长线交于点F，在上述条件下在上述条件下，给出以下四个结论给出以下四个结论： BD平分平分CBF； 2 FBFD FA；AE CEBE DE； AF BDAB BF，则所有正确结论的序号是则所有正确结论的序号是（ ） A. A. B. B. C. C. D. D. 9、如图，在如图，在ABC中中，3,4,5ABBCCA，点点D是是BC的的 中点中点，BEAC于于E，BE的
21、延长线交的延长线交DEC的外接圆于点的外接圆于点F ， 则则EF的长为的长为_ 1010、如图如图，AB是圆是圆O的直径的直径，点点C在圆在圆O上上，延长延长BC到到D使使CDBC ，过过C作圆作圆O的的 切线交切线交AD于于E. .若若8AB，4DC ，则 则DE . . D C B A E F O O C C D D B B A A E E 习题答案习题答案： 1、答案：A 解析：由,M N三等分AB，不妨设AMMNNBx，则由 切割线定理可得： 2 22 4AM MBCM DMx，解得 2x ， 再 由 切 割 线 定 理 可得 ：AN NBCN NE， 所 以 4 28 33 AN N
22、B NE CN 2、答案：8 解析：连结OC，由24ABr可得2OCr， 因为EC 且圆O于C，所以OCEC；另一方面，由AB是直径可得 BCAC，所以CB的平行线OPAC，且由O是AB中 点可得OP为ABC的一条中位线，所以 11 22 OPBC， 则在OCD中，由双垂直（,OPAC OCCD）可用射影定理 2 OCOP OD，从而 2 8 OC OD OP 3、答案：4 解析：设PBx，则由切割线定理 2 PAPB PCPBPBBC可得： 2 69x x，解得：3x ，12PC ，因为PA是切线，所以CPAB，再利 用公共角P可得：PABPCA，所以 PAPC ABAC ，即 6 8 4
23、12 PA AC AB PC 4、解析： （1）证明：ABC是等腰三角形，且ADBC AD是CAB的平分线 ,AE AF为O的切线 AEAF，ADEF EFBC （2）由（1）可知AD是EF的垂直平分线，又因为EF是O 的弦 O在AD上 连结,OE OM，则由AE是切线可得OEAE E D O AB MN C 图1 P O E C D A B G NM F BC A E D 设O的半径为r，则AGr 22AOrOE 可得：3060EAOEAF AEAF ,ABCAEF均为等边三角形 2 3AE 4,2A OO Er 1 2,3 2 OMrDMMN 1OD，从而5ADAOOD 1 03 3 AB
24、 2 2 110 331316 3 2 3 232223 ABCAEFEBCF SSS 四边形 5、答案：4 解析： 由切割线定理可知： 2 4QAQC QDQCQCCD， 从而4QA ， 由Q是PA 中点可得24PAQA，再由切线长相等可得4PBPA 6、解析： （1）证明：, , ,A B C D四点共圆 DCBE CBCE CBEE DE （2）证明：设BC中点为N，连结MN MBMC MNBC O在直线MN上 M为AD中点，且AD不是O的直径 OMAD即MNAD ADBC ACBE AE ，由（1）得DE ADE为等边三角形 7、证明： （1）连结,AB AC D是PC中点，且2PCP
25、A PAAD PADPDA ,PDADACDCAPADBADPAB，且DCAPAB DACBAD B EE C BEEC （2）由切割线定理可得： 2 PAPB PC 1 2 PAPDDCPC 2,PDDCPB BDPB 由相交弦定理可得： 2 22AD DEBD DCPBPBPB 8、答案：D 解析：因为BF为切线，所以DBFBAE ，由AD平分BAC可得 BAECAE，又因为CAEDBC，所以DBFBAE CAEDBC， 即BD平分CBF，正确 由切割线定理即可得到 2 FBFD FA，正确 涉及的相似三角形为：AEBCED， 则有 AECE BEED ， 则有AE DEBE CE， 结论
26、与之不符，错误 涉及的相似三角形为：,ABFBDF，由 FBDBAF FF 即可判定 ABFBDF，所以 ABBD AFBF ，即AF BDAB BF，正确 综上所述，正确的为 9、答案： 14 15 解析：连结,DE FC，可得：BDEBFC BDBE BFBC ，由3,4,5ABBCCA可知ABBC BEAC 所以由射影定理可知： 22 916 , 55 ABBC AECE ACAC 12 5 BEAE CE 2BD 10 3 BD BC BF BE 14 15 EFBFBE 10、答案：2 解：连结OC CE为圆的切线 OCCE ,B CC D B OO A OC为ADB的中位线 OCAD CEAD AB是直径 ACBD 在Rt ACD中，根据射影定理可得： 2 2 CD CDDE DADE AD 因为,ACBD BCCD ABD为等腰三角形 8ADAB 22 4 2 8 CD DE AD G NM F BC A E D
