1、 微专题 100 利用同构特点解决问题 一、基础知识： 1、同构式：是指除了变量不同，其余地方均相同的表达式 2、同构式的应用： （1）在方程中的应用：如果方程 0f a 和 0f b 呈现同构特征，则, a b可视为方程 0f x 的两个根 （2）在不等式中的应用：如果不等式的两侧呈现同构特征，则可将相同的结构构造为一个函 数，进而和函数的单调性找到联系。可比较大小或解不等式 （3）在解析几何中的应用：如果 1122 ,A x yB x y满足的方程为同构式，则,A B为方程所 表示曲线上的两点。特别的，若满足的方程是直线方程，则该方程即为直线AB的方程 （4） 在数列中的应用： 可将递推公
2、式变形为 “依序同构” 的特征， 即关于, n a n与 1, 1 n an 的同构式，从而将同构式设为辅助数列便于求解 二、典型例题： 例 1： （2015 天津十二校联考） 设, x yR， 满足 5 5 12sin13 12sin11 xxx yyy ， 则xy （ ） A. 0 B. 2 C. 4 D. 6 思 路 ： 本 题 研 究 对 象 并 非, x y， 而 是 1 ,1xy， 进 而 可 变 形 为 5 5 121sin11 121sin11 xxx yyy ，观察上下式子左边结构相同，进而可将相同的结构 视为一个函数，而等式右边两个结果互为相反数，可联想到函数的奇偶性，从而
3、利用函数性 质求解 解： 5 5 12sin13 12sin11 xxx yyy 5 5 121sin11 121sin11 xxx yyy 设 5 2sinf tttt，可得 f t为奇函数，由题意可得： 11 11 f x fy 11f xfy 112xyxy 答案：B 例 2：若函数 1f xxm 在区间, a b上的值域为,1 2 2 a b ba ，则实数m的取 值范围是_ 思路：注意到 f x是增函数，从而得到 , 22 ab f af b，即 1 2 1 2 a am b bm ，发现两 个式子为, a b的同构式，进而将同构式视为一个方程，而, a b为该方程的两个根，m的取值
4、 只需要保证方程有两根即可 解： f x为增函数 , 22 ab f af b 1 2 1 2 a am b bm , a b为方程1 2 x xm 在1,上的两个根，即1 2 x mx有两个不同的根 令 2 101txtxt 所以方程变形为： 22 11 121 22 mtttt ，结合图像可得： 1 0, 2 m 答案： 1 0, 2 m 例 3：设, a bR，则|“ab”是“a ab b”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充要又不必要条件 思路：观察a ab b可发现其同构的特点，所以将这种结构设为函数 f xx x，分析其 单调性。 2
5、2 ,0 ,0 xx f xx x xx 可得 f x为增函数。所以( )( )abf af b?，即 aba ab b?，所以是充要条件 答案：C 例 4：若 12 01xx，则（ ） A. 21 21 lnln xx eexx B. 12 21 lnln xx eexx C. 12 21 xx x ex e D. 12 21 xx x ex e 答案：C 思路：本题从选项出发可发现，每个选项通过不等式变形将 12 ,x x分居在不等式两侧后都具备 同构的特点， 所以考虑将相同的形式构造为函数，从而只需判断函数在0,1的单调性即可 解： A 选项： 2121 2121 lnlnlnln xx
6、xx eexxexex，设 ln x f xex 11 x x xe fxe xx ，设 1 x g xxe，则有 10 x g xxe恒成立，所以 g x在0,1单调递增，所以 010,110gge ，从而存在 0 0,1x ，使得 0 0g x，由单调性可判断出： 00 0,00,1 ,00xxg xfxxxg xfx ， 所以 f x在0,1 不单调，不等式不会恒成立 B 选项： 1212 2112 lnlnlnln xxxx eexxexex， 设 ln x f xex可知 f x单 调递增。所以应该 12 f xf x，B 错误 C 选项： 12 12 21 12 xx xx ee
7、x ex e xx ， 构造函数 x e f x x ， 2 1 x xe fx x ， 则 0fx 在0,1x恒成立。所以 f x在0,1单调递减，所以 12 f xf x成立 D 选项： 12 12 21 12 xx xx ee x ex e xx ，同样构造 x e f x x ，由 C 选项分析可知 D 错误 答案：C 例 5：已知函数 f x是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x都有 11xf xxf x ，则 2015 2 f 的值是（ ） A. 0 B. 1 2 C. 1 D. 5 2 思路：观察条件可变形为： 1 1 f xf x xx ，从而得到等式左右的结构均
8、为 f t t 的形式， 且括号内的数间隔为 1。所以 2015201311 2222 2015201311 2222 ffff 。因为 f x 为偶函数，所以 11 22 ff ，由 11 22 11 22 ff 可得 11 0 22 ff ，进而 2015 20152 00 2015 2 2 f f 答案：A 例 6：如果 5533 cossin7 sincos,0,2，那么的取值范围是_ 思路：本题很难直接去解不等式，观察式子特点可发现若将关于sin ,cos的项分居在不等 号两侧： 5353 cos7cossin7sin，则左右呈现同构的特点，将相同的结构设为函 数 53 7f xxx
9、， 能够判断 f x是奇函数且单调递增。 所以不等式cossinff 等价于c o ss i n，即sincos02sin0 4 ，所以 22 4 kkkZ ，结合0,2，可得 5 44 ， 答案： 5 44 ， 例 7：如图，设点 00 ,P x y在直线,01,xm ymmm 且 为常数上，过点P作双曲 线 22 1xy的两条切线,PA PB，切点为,A B，求证：直线AB过某一个定点 解：设 1122 ,A x yB x y，PA的斜率为k 则 11 :PA yyk xx，联立方程 11 22 1 yyk xx xy 消去y可得： 2 2 11 1xkxkxy ，整理可得： 2 22 1
10、111 1210kxk ykxxykx ，因为PA与双曲线相切 所以 22 222 1111 44 14 10kykxkykxk 2 2 11 44 10ykxk 2222222 11111111 2101210k xkx yykxkkx yy 22 11 1xy 2222 1111 1,1xyyx 代入可得： 222 1111 20y kx y kx即 2 11 0y kx 即 1 1 x k y 1 1111 1 :1 x PA yyxxy yx x y 同理，切线PB的方程为 21 1y yx x 0 ,P m y在切线,PA PB上，所以有 011 022 1 1 y ymx y ym
11、x ,A B满足直线方程 0 1y ymx，而两点唯一确定一条直线 0 :1AB y ymx 所以当 1 0 x m y 时，无论 0 y为何值，等式均成立 点 1 ,0 m 恒在直线AB上，故无论P在何处，AB恒过定点 1 ,0 m 例 8：已知椭圆C中心在原点，焦点在x轴上，它的一个顶点为0,1，离心率为 2 5 5 （1）求椭圆C的方程 （2 2） 过右焦点） 过右焦点F作直线作直线l交椭圆于交椭圆于,A B， 交， 交y轴于轴于R， 若， 若,RAAF RBBF， 求， 求 解： （1） 2 5 c e a 1b 222 1acb 解得5,2ac 2 2 :1 5 x Cy （2）思路
12、：本题肯定从,RAAF RBBF入手入手，将向量关系翻译成坐标将向量关系翻译成坐标的方程的方程，但观，但观 察发现两个等式察发现两个等式除了除了,A B不同不同，系数系数, 不同不同，其余字母均相同其余字母均相同。且且 1122 ,A x yB x y也 仅是角标不同。 所以可推断由,RAAF RBBF列出的方程是同构的列出的方程是同构的， 而而,A B在同一椭 圆上，所以如果用, 表示 1212 ,x xy y，代入椭圆方程中也可能是同构的。通过计算可得： 22 22 105200 105200 k k ，所以, 为方程 22 105200xxk的两个不同根，进而利 用韦达定理即可得到10
13、解：由（1）得2,0F，设直线:2l yk x，可得0, 2Rk，设 1122 ,A x yB x y 可得： 1111 ,2,2,RAx ykAFxy ，由RAAF可得： 1 11 11 1 2 2 1 22 1 x xx kyky y 因为A在椭圆上， 22 11 55xy，将代入可得： 22 2 22 22 +5=542051 11 k k 22 105200k 对于， 2222 ,2,2,RBxykBFxy，RBBF 同理可得： 22 105200k , 为方程 22 105200xxk的两个不同根 10 例 9 ： 已 知 函 数 1 a x x ，a为 正 常 数 ， 若 lng
14、xxx， 且 对 任 意 1212 ,0, 2 ,xxxx，都有 21 21 1 g xg x xx ，求a的取值范围 思路：观察到已知不等式为轮换对称式，所以考虑定序以便于化简，令 21 xx，则不等式变 形为 2112 g xg xxx，将相同变量放置一侧，可发现左右具备同构特点，所以将相同 结构视为函数 h xg xx，从而由 21 xx且 21 h xh x可知只需 h x为增函数即 可。从而只需不等式 0h x 恒成立即可，从而求出a的范围 解： ln 1 a g xx x ，不妨设 12 xx，则恒成立不等式转化为： 21122211 g xg xxxg xxg xx 设 ln 1
15、 a h xg xxxx x ，则由 21 h xh x恒成立和 12 xx可得： 只需 h x在0,2单调递增即可 0h x恒成立 2 1 1 1 a h x x x 2 1 10 1 a x x 即 2 2 1 1 x ax x 恒成立 所以只需 2 2 min 1 1 x ax x 令 2 2 1 1 x p xx x 22 22 211121 21 x xxxx p xx xx p x在 1 0, 2 单调递减，在 1 ,2 2 单调递增 min 127 22 p xp 27 0 2 a 例 10：已知数列 n a 满足 1 23at,1tR t ，且 1 1 23211 21 nn
16、n n n n tatt a at 求数列 n a的通项公式 思路：本题递推公式较为复杂，所以考虑先化简分式，观察到分子中含有分母的项，所以想 到分离常数简化分式，即 1 1 211 1 21 n n n n n ta a at ，寻求相邻同构的特点，转化为 1 1 1 2 1 1 1 1 2 1 n n n n n n a a t a t t ，即可设 1 1 n n n a b t ，递推公式变为 1 2 2 n n n b b b ，则能够求出 n b通 项公式，进而求出 n a 解： 1 1 23211 21 nn n n n n tatt a at 111 222221211 1 2
17、121 nnnn nnn nn nn tatatta atat 1 1 211 1 21 n n n n n ta a at 11 11 1 2 2111 1 212111 1 n n n nn nn nn nn n a aaa t atattt t 设 1 1 n n n a b t ，则递推公式变为 1 2 2 n n n b b b 11 12111 22 n nnnn b bbbb ，且 11 1111 12312 tt bat 1 n b 为公差是 1 2 的等差数列 1 1111 1 22 n nn bb 1 12 n n tn a ，解得 21 1 n n t a n 小炼有话说：同构式在处理数列问题时，通常应用在构造辅助数列求通项公式。当递推公式 比较复杂时， 构造出 n a和 1n a 的同构式， 其中关于n的表达式构造出 ,1f nf n 分别与 n a和 1n a 相对应，进而寻找到辅助数列。
