1、四年级四年级竞赛班竞赛班奥数奥数一、等差数列的基本知识一、等差数列的基本知识什么是数列？什么是数列？按一定规律排列的数是一列数，可以有限，可以无限1 1）1 1、2 2、3 3、4 4、5 5、66（2 2）2 2、4 4、6 6、8 8、1010、1212（3 3）5 5、1010、1515、2020、2525、3030认识数列 观察：1，3，5，7，9，19第一项第二项第四项第三项第五项第十项首项末项项数（二）等差数列的基本知识（二）等差数列的基本知识（1）1、2、3、4、5、6 （2）2、4、6、8、10、12 （3）5、10、15、20、25、30 （公差（公差=1）（公差（公差=2）
2、（公差（公差=5）通过观察，我们可以发现上面的每一通过观察，我们可以发现上面的每一个数列中，从第一项开始，后项与前项个数列中，从第一项开始，后项与前项的差都相等的，具有这样特征的数列称的差都相等的，具有这样特征的数列称为为等差数列等差数列，这个差称为这个数列的，这个差称为这个数列的公公差差。二、等差数列的项二、等差数列的项数列：数列：1、3、5、7、9、11第第2项：项：3=1+2 首项首项+公差公差1（2-1）第第3项：项：5=1+2 2 首项首项+公差公差2（3-1）第第4项：项：7=1+2 3 首项首项+公差公差3（4-1）第第5项：项：9=1+2 4 首项首项+公差公差4（5-1）第第
3、6项：项：11=1+2 5 首项首项+公差公差5（6-1）等差数列的通项公式：等差数列的通项公式：等差数列的某一项等差数列的某一项=首项首项+公差公差（项数（项数-1 1）等差数列的末项等差数列的末项=首项首项+公差公差（项数（项数-1 1）等差数列的首项等差数列的首项=末项末项-公差公差（项数（项数-1）适用条件：适用条件：该数列一定要为等差数列该数列一定要为等差数列等差数列的某一项等差数列的某一项=首项首项+公差公差（项数（项数-1）例例1 已知数列已知数列2、5、8、11、14求：（求：（1）它的第）它的第10项是多少？项是多少？（2）它的第）它的第98项是多少？项是多少？（3）这个数列
4、各项被几除有相同的余数？）这个数列各项被几除有相同的余数？分析：首项分析：首项=2 公差公差=3解：（解：（1）第）第10项：项：2+3（10-1）=29 （2）第）第98项：项：2+3（98-1）=293 等差数列的某一项等差数列的某一项=首项首项+公差公差（项数（项数-1）例例1 已知数列已知数列2、5、8、11、14求：（求：（3）这个数列各项被几除有相同的余数？）这个数列各项被几除有相同的余数？分析：分析：被除数被除数=余数余数+除数除数商商 等差数列的某一项等差数列的某一项=2+3（项数（项数-1）规律：规律：等差数列的某一项与被除数相对应，首项与余数相等差数列的某一项与被除数相对应
5、，首项与余数相对应，公差与除数相对应，（项数对应，公差与除数相对应，（项数-1）与商相对应。）与商相对应。这个数列每这个数列每1项除以项除以3都余都余2。等差数列的每等差数列的每1项除以它的公差，余数相同。项除以它的公差，余数相同。答：这个数列第答：这个数列第10项是项是29；第；第98项是项是293；这个数列；这个数列各项除以各项除以3余数相同。余数相同。例例2 已知数列已知数列2、5、8、11、14、17302，这个，这个数列有多少项。数列有多少项。分析：第分析：第2项比首项多项比首项多1个公差，第个公差，第3项比首项多项比首项多2个个公差，第公差，第4项比首项多项比首项多3个公差个公差，
6、那第，那第n项比首项项比首项多（多（n-1)个公差。个公差。规律：规律：末项比首项多的公差的个数，再加上末项比首项多的公差的个数，再加上1，就得到，就得到这个数列的项数。这个数列的项数。等差数列的项数等差数列的项数=公差个数公差个数 +1 =（末项（末项-首项）首项）公差公差+1这个数列的项数这个数列的项数=（302-2）3+1=101小结：小结：等差数列项的有关规律等差数列项的有关规律等差数列的某一项等差数列的某一项=首项首项+公差公差（项数（项数-1）等差数列的每等差数列的每1项除以它的公差，余数相同。项除以它的公差，余数相同。等差数列的项数等差数列的项数=（末项（末项-首项）首项）公差公
7、差+1练习练习1、一串数：、一串数：1、3、5、7、9、49。（。（1）它的第）它的第21项是多少项是多少?（2）这串数共有多少个？）这串数共有多少个？2、一串数：、一串数：2、4、6、8、2008。（。（1）它的第）它的第25项是多少项是多少?（2）这串数共有多少个？）这串数共有多少个？3、一串数：、一串数：101、102、103、104、199。（。（1）它的第它的第30项是多少项是多少?（2）这串数共有多少个？）这串数共有多少个？4、一串数：、一串数：7、12、17、22。（。（1）它的第）它的第60项项是多少是多少?（2）这个数列各项被几除有相同的余数？）这个数列各项被几除有相同的余数
8、？练习答案：练习答案：1、它的第、它的第21项项=1+2（21-1）=41；这个数列的项数这个数列的项数=（49-1）2+1=25；2、它的第、它的第25项项=2+2（25-1）=50；这个数列的项数这个数列的项数=（2008-2）2+1=1004；3、它的第、它的第30项项=101+1（30-1）=130；这个数列的项数这个数列的项数=（199-101）1+1=994、它的第、它的第60项项=7+5（60-1）=302；这个数列各项被这个数列各项被5除有相同的余数。除有相同的余数。（提示：等差数列的每（提示：等差数列的每1项除以它的公差，余数相项除以它的公差，余数相同。）同。）二、等差数列的
9、和二、等差数列的和例：例：6+10+14+18+22+26+30+34+38分析：这是一个等差数列；首项分析：这是一个等差数列；首项=6，末项，末项=38，公差，公差=4原数列的和：原数列的和：6+10+14+18+22+26+30+34+38倒过来的和：倒过来的和：38+34+30+26+22+18+14+10+6 44 44 44 44 44 44 44 44 44两数列之和两数列之和=（6+38）9解：原数列之和解：原数列之和=（6+38）92 =4492 =198 等差数列的和等差数列的和=（首项（首项+末项）末项）项数项数2例：计算例：计算1+6+11+16+21+26+.+276分
10、析：这是一个等差数列；首项分析：这是一个等差数列；首项=1，末项，末项=276，公差，公差=5 等差数列的和等差数列的和=（首项（首项+末项）末项）项数项数2？等差数列的项数等差数列的项数=（末项（末项-首项）首项）公差公差+1解：等差数列的项数：解：等差数列的项数：（276-1）5+1=56（项）（项）原数列之和原数列之和=（1+276）562 =27728 =7756练习练习1、计算、计算（1）7+10+13+16+19+22+25+28+31+34+37（2）7+11+15+19+.+403（3）9+19+29+39+.+99（4）1+3+5+7+.+99练习答案：练习答案：解：（解：（
11、1）这是一个等差数列；首项）这是一个等差数列；首项=7，末项，末项=37，公差，公差=3,项数项数=（37-7）3+1=11 和和=（7+37）112=242（2）这是一个等差数列；首项）这是一个等差数列；首项=7，末项，末项=403，公差，公差=4，项数项数=（403-7）4+1=100 和和=（7+403）1002=20500（3）这是一个等差数列；首项）这是一个等差数列；首项=9，末项，末项=99，公差，公差=10，项数项数=（99-9）10+1=10 和和=（9+99）102=540（4）这是一个等差数列；首项）这是一个等差数列；首项=1，末项，末项=99，公差，公差=2，项数项数=（99-1）2+1=50 和和=（1+99）502=2500例 1998+1997-1996-1995+1994+1993-1992-1991+198+197-196-195例 计算(1+3+5+7+2003)-(2+4+6+8+2002)例 例 例 计算 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+9+8+7+6+5+4+3+2+1 例 计算 1+3+5+7+9+11+13+15+17+19
