1、4 平面向量的坐标思考：思考：1.1.平面内建立了直角坐标系平面内建立了直角坐标系,点点A A可以用什可以用什么来表示么来表示?2.2.平面向量是否也有类似的表示呢平面向量是否也有类似的表示呢?OxyA A(a,b)(a,b)a ab ba1.1.掌握平面向量正交分解及其坐标表示掌握平面向量正交分解及其坐标表示.（重点）（重点）2.2.会用坐标表示平面向量的加、减及数乘运算会用坐标表示平面向量的加、减及数乘运算.（重点）（重点）3.3.理解用坐标表示的平面向量共线的条件理解用坐标表示的平面向量共线的条件.（难点）（难点）x xy yo oij式是向量式是向量 的坐标表示的坐标表示.注意：注意：
2、每个向量都有唯一的坐标每个向量都有唯一的坐标.探究点探究点1 1 平面向量的坐标表示平面向量的坐标表示在直角坐标系内，我们分别在直角坐标系内，我们分别a1 12 2-2-2-1-1x xy y4 45 53 3-4-4 -3 -2-3 -2 -1-1 1 1 2 2 3 3 4 4例例2 2 在平面内以点在平面内以点O O的正东方向为的正东方向为x x轴正向，正北方向轴正向，正北方向为为y y轴的正向建立直角坐标系，质点在平面内做直线运轴的正向建立直角坐标系，质点在平面内做直线运动，分别求下列位移向量的坐标动，分别求下列位移向量的坐标(如图如图).).解：解：设设 并设并设P P（x x1 1
3、，y y1 1），），Q Q（x x2 2，y y2 2），），R R（x x3 3，y y3 3）.（1 1）由图可知，）由图可知，POP=45POP=45，|=2.|=2.所以所以OPa,OQb,ORc,aOPOPP P2i2j.a(22).所以，OP byPPRxRc60ij45QQOa30（2 2）因为）因为QOQ=60QOQ=60，|O|3,bOQOQQ Q Q所以33 33 3 3ij.b(,).2222 所以（3 3）因为）因为ROR=30ROR=30，所以，所以，|OR|4,cOROR+R R=2 3i2j.所以c=(2 32).，思考思考1 1：什么时候向量的坐标能和点的坐标
4、统一起什么时候向量的坐标能和点的坐标统一起来？来？向量的起点为原点时向量的起点为原点时.一一对应一一对应y yx x在同一直角坐标系内画出下列向量在同一直角坐标系内画出下列向量.解：解：练一练练一练：.-1-11 11 12 2思考思考2 2：相等向量的坐标有什么关系？相等向量的坐标有什么关系？提示：提示：相等相等,与起点的位与起点的位置无关置无关.1 1A AB B1 1x xy yA A1 1B B1 1(x(x1 1,y,y1 1)(x(x2 2,y,y2 2).(1)(1)任一平面向量都有唯一的坐标任一平面向量都有唯一的坐标.(2)(2)当向量的起点在原点时，向量终点的坐标即为向当向量
5、的起点在原点时，向量终点的坐标即为向量的坐标量的坐标.(3)(3)相等的向量有相等的坐标相等的向量有相等的坐标.结论：结论：思考思考3 3：全体有序实数对与坐标平面内的所有向量全体有序实数对与坐标平面内的所有向量是否一一对应？是否一一对应？因此因此,在直角坐标系中在直角坐标系中,点或向量都可以看作点或向量都可以看作有序实数对的直观形象有序实数对的直观形象.探究点探究点2 2 平面向量线性运算的坐标表示平面向量线性运算的坐标表示解：解：结论结论1 1：向量和与差的坐标分别等于各向量相应向量和与差的坐标分别等于各向量相应坐标的和与差坐标的和与差.结论结论2 2：实数与向量积的坐标分别等于实数与向量
6、实数与向量积的坐标分别等于实数与向量的相应坐标的乘积的相应坐标的乘积.A(xA(x1 1,y,y1 1)O Ox xy yB(xB(x2 2,y,y2 2)结论结论3:3:一个向量的坐标等于其终点的相应一个向量的坐标等于其终点的相应坐标减去始点的相应坐标坐标减去始点的相应坐标.向量坐标与向量始点、终点之间的关系向量坐标与向量始点、终点之间的关系因为因为解：解：y yx xo oA AB BC CD D得（得（0,20,2）-（1,01,0）=（-1,-2-1,-2）-（x,yx,y）即（即（-1-1，2 2）=（-1-x-1-x，-2-y-2-y），），即点即点D D的坐标为（的坐标为（0 0
7、，-4-4）.解：解：解：由已知解：由已知 得得（3 3，4 4）+（2 2，-5-5）+（x,yx,y）=（0 0，0 0）,123,FFF0,32x0,45y0,所以x5,y1.所以3F(5,1).所以11221122221212221221121212a,bax,y,bx,y.ababx iy j x iy jx iy jxx,yyyxx yx y0.y0y0bxx.yy设设是是非非零零向向量量，且且（）若若 ，则则存存在在实实数数 使使，由由平平面面向向量量基基本本定定理理可可知知于于是是，得得若若且且（即即向向量量 不不与与坐坐标标轴轴平平行行），则则上上式式可可变变形形为为探究点探
8、究点3 3 向量平行（共线）的坐标表示向量平行（共线）的坐标表示我们可以得出：我们可以得出：定理：定理：若两个向量（与坐标轴不平行）若两个向量（与坐标轴不平行）平行，则它们相应的坐标成比例平行，则它们相应的坐标成比例.定理：定理：若两个向量相对应的坐标成比若两个向量相对应的坐标成比例，则它们平行例，则它们平行.解解:依题意依题意,得得1.1.若向量若向量 =()=()A.(4A.(4，6)B.(-4,-6)6)B.(-4,-6)C.(-2,-2)D.(2,2)C.(-2,-2)D.(2,2)AB1,2 BC3,4 ，AC 则 A AB B2.2.已知点已知点A(A(1 1，5)5)和向量和向量
9、a=(2,3)=(2,3)，若，若 则点则点B B的坐标为的坐标为()()A(6,9)B(5,4)C(7,14)D(9,24)A(6,9)B(5,4)C(7,14)D(9,24)AB3,a3.(20143.(2014北京高考北京高考)已知平面向量已知平面向量a=(2,4)=(2,4)，b=(-1,1)=(-1,1)，则则2 2a-b等于等于 ()()A.(5,7)B.(5,9)C.(3,7)D.(3,9)A.(5,7)B.(5,9)C.(3,7)D.(3,9)A A4.4.（20132013陕西高考）已知向量陕西高考）已知向量 ,若若 ,则实数则实数m m等于等于()()A A B.B.C.C
10、.或或 D.0D.0)2,(),1(mbmaba/2222C5.5.已知已知(1,1),(,1),2,2,abxuab vab(1)(1)若若3,uv求求x.x.(2)(2)若若,uv求求x.x.解：解：(1,1),(,1),abx因为(1,1)2(,1)(1,1)(2,2)(21,3)uxxx所以，2(1,1)(,1)(2,1).vxx(1)3(21,3)3(2,1),uvxx，得(21,3)(63,3),xx所以2163,xx所以解得：解得：1.x(2)(21)3(2)0,uvxx，得1.x解得1.1.向量的坐标的概念向量的坐标的概念:2.2.对向量坐标表示的理解对向量坐标表示的理解:3.3.平面向量的坐标运算平面向量的坐标运算.(1)(1)任一平面向量都有唯一的坐标任一平面向量都有唯一的坐标.(2)(2)向量的坐标与其始点、终点坐标的关系向量的坐标与其始点、终点坐标的关系.(3)(3)相等的向量有相等的坐标相等的向量有相等的坐标.4.4.向量平行的坐标表示：向量平行的坐标表示：axiyj(x,y).向量向量 共线共线 x x1 1yy2 2=x=x2 2yy1 1a,b(b0)不要对一切人都以不信任的眼光看待,但要谨慎而坚定.德谟克里特
