1、第第1 1章章 直角三角形直角三角形1.1 1.1 直角三角形的性质和判定直角三角形的性质和判定（）连接三角形一个顶点与它对边中点的线段.1.直角三角形的定义2.三角形内角和的性质有一个角是直角的三角形叫直角三角形.三角形的内角和等于180.3.三角形中线的定义这节课我们一起探索直角三角形的判定和性质.说一说：如图，在RtABC中，C=90，两锐角的和等于多少度呢？A+B=90CAB 在RtABC中，因为C=90，由三角形内角和定理，可得：由此得到：直角三角形的两个锐角互余.如图，在ABC中，如果A+B=90，ABC是直角三角形吗?定理：有两个角互余的三角形是直角三角形.由A+B=90和A+B
2、+C=180，解得C=90，因此ABC是直角三角形.CAB议一议 画一个直角三角形，并作出斜边上的中线，量一量比较各线段的长度.你能猜出什么结论？我们发现：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.例1 如图，已知CD是ABC的AB边上的中线，且CD=AB，求证：ABC是直角三角形.12CBAD2 1证明：CD=AB=AD=BD，1=A，2=B.A+B+ACB=180，ACB=1+2，A+B+1+2=180，2（A+B）=180，A+B=90，ABC是直角三角形.12ABCDO1.如图，AB DB,CDDB,下列说法错误的是（）A.一定有A=CB.只要有一边相等就有ABOCDOC.只要再给一个条件
3、就能得到ABOCDOD.有OA=OC或OB=OD,就有AB=CD2.若一个三角形的三个内角之比为2:1:1，则该三角形是（等腰直角三角形）.C C3.在RtABC中，斜边上的中线CD=2.5 cm，求斜边AB的长是多少.直角三角形的性质：1.直角三角形的两锐角互余.2.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.直角三角形的判定：有两个角互余的三角形是直角三角形.第第1 1章章 直角三角形直角三角形1.2 1.2 直角三角形的性质和判定（直角三角形的性质和判定（）本课内容本课内容本节内容本节内容1.2 如图，如图，S1+S2=S3，即即BC2+AC2=AB2，那么那么是否是否对所有的直角三角形，都有
4、两直角边的平方和等于斜边对所有的直角三角形，都有两直角边的平方和等于斜边的平方呢？的平方呢？探究探究 如如图，图，任作一个任作一个RtABC，C=90，若，若BC=a，AC=b，AB=c，那么，那么a2 +b2 =c2，是是否否成立呢？成立呢？步骤步骤1 先剪出先剪出4个如图个如图1-11 的直角三角形，的直角三角形，由由 于于每个直角三角形的两直角边长为每个直角三角形的两直角边长为a，b（其中（其中 b a），因此它们全等（），因此它们全等（SAS），所以它们的），所以它们的 斜边斜边长相等长相等.设斜边长为设斜边长为c.图图1-11我们来进行研究我们来进行研究.步骤步骤2 再剪出再剪出1
5、个边长为个边长为c 的正方形，如图的正方形，如图1-12.图图1-12步骤步骤3 把步骤把步骤1和步骤和步骤2中剪出来的图形拼成中剪出来的图形拼成 如图如图1-13的图形的图形.图图1-13DHK EIH，2 4.又又 1+2=90，1+4=90.因此拼成的图形是正方形因此拼成的图形是正方形DEFG，它它的边长为的边长为(a+b)，它，它的面积的面积为为(a+b)2.又又KHI=90，1+KHI+4=180，即点即点D，H，E 在一条直线上在一条直线上.图图1-13同理，点同理，点E，I，F在一条直线上在一条直线上；点；点 F，J，G 在一条在一条直直线线上；上；点点G，K，D 在一条直线上在
6、一条直线上.又又正方形正方形DEFG 的面积为的面积为c2+，142 ababcab.221()42即即a2+2ab+b2=c2+2ab，a2+b2=c2.图图1-13结论结论直角三角形的两直角边直角三角形的两直角边a，b的平方和，等于斜边的平方和，等于斜边c的平方的平方.a2+b2=c2 由此得到直角三角形的性质定理：由此得到直角三角形的性质定理：其实我国早在三千多年前就已经知道直角三其实我国早在三千多年前就已经知道直角三角形的上述性质，由于古人称直角三角形的直角角形的上述性质，由于古人称直角三角形的直角边中较短的一边为勾，较长的一边为股，斜边为边中较短的一边为勾，较长的一边为股，斜边为弦（
7、如图弦（如图1-14），因此这一性质被称为），因此这一性质被称为勾股定理勾股定理.勾股定理揭示了直角三角形三勾股定理揭示了直角三角形三边之间的关系边之间的关系.在在直角三角形中，直角三角形中，若已知直角三角形任意两条边长，若已知直角三角形任意两条边长，我们可以根据勾股定理，求出第三我们可以根据勾股定理，求出第三边的长边的长.勾勾股股弦弦图图1-14故故AD的长为的长为12 cm.在在RtADB中，由勾股定理，得中，由勾股定理，得 AD2+BD2=AB2，如如图图1-15，在等腰三角形，在等腰三角形ABC 中，已知中，已知AB=AC=13 cm，BC=10 cm，ADBC 于点于点D.你能算出你
8、能算出BC边上的高边上的高AD的长吗？的长吗？例例1图图1-15举举例例解解：在：在ABC中，中，AB=AC=13，BC=10，ADBC，BD=5.BC12 222213518 812.ADABBD在在RtABC中，中，C=90.（1）已知已知a=25，b=15，求，求c；（2）已知已知a=5，c=9，求，求b；（3）已知已知b=5，c=15，求，求a.练习练习答案：（答案：（1）c=；（；（2）；（；（3）5 34b 2 14a.10 2动脑筋动脑筋 如图如图1-16，电工师傅把，电工师傅把4 m长的梯子长的梯子AC 靠在靠在墙上，使梯脚墙上，使梯脚C 离墙脚离墙脚B 的距离为的距离为1.5
9、 m，准备在，准备在墙上安装电灯墙上安装电灯.当他爬上梯子后，发现高度不够，当他爬上梯子后，发现高度不够，于是将梯脚往墙脚移近于是将梯脚往墙脚移近0.5 m，即，即移移动动到到C处处.那么梯子那么梯子顶端是否往顶端是否往上上移动移动0.5 m 呢？呢？图图1-16在在RtABC中，中，AC=4 m，BC=1.5 m，图图1-17由勾股定理，得由勾股定理，得 （m）.22 41 513 753 71AB.由图由图1-16 抽象出示意图抽象出示意图1-17.在在RtABC 中，计算出中，计算出AB；再再在在Rt 中，中，计算出计算出 ，则可得出梯子往上移动的距离为则可得出梯子往上移动的距离为（-A
10、B）m.A BCA BAB即梯子顶端即梯子顶端A点大约向上移动了点大约向上移动了0.16 m，而不是，而不是向上向上移动移动0.5 m.因此因此 =3.87-3.71=0.16（m）.A A在在Rt 中，中，=4 m，=1 m，故故2241153 87 mA B.（）A C A BCBC（“引葭赴岸引葭赴岸”问题）问题）“今有方池一丈，葭生其今有方池一丈，葭生其中央，中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐.问水深，问水深，葭长各几何？葭长各几何？”意思是：有一个边长为意思是：有一个边长为10 尺的尺的正方形池塘，一棵芦苇生长在池的中央，其出水正方形池塘，一棵芦苇生长在池
11、的中央，其出水部分为部分为1 尺尺.如果将芦苇沿与水池边垂直的方向拉如果将芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，它的顶端恰好碰到池边的水面向岸边，它的顶端恰好碰到池边的水面.问：问：水深水深与芦苇与芦苇长分别为多少？长分别为多少？例例2宋刻宋刻九章算术九章算术书影书影在在RtACB中，中，根据勾股定理，得根据勾股定理，得x2+52=（x+1）2，答：水池的深度为答：水池的深度为12尺，芦苇长为尺，芦苇长为13尺尺.如图如图1-18，设，设水池的深度为水池的深度为x 尺尺，则则AC=x 尺尺，AB=AB=（x+1）尺）尺.解：解：图图1-18因为正方形因为正方形池塘的边长池塘的边长为为10尺，尺，所
12、以所以BC=5尺尺.解得解得 x=12.则则x+1=13.1.如图，一艘渔船以如图，一艘渔船以30 海里海里/时时 的速度由西向东追赶的速度由西向东追赶 鱼群鱼群.在在A 处测得小岛处测得小岛C 在船的北偏东在船的北偏东60方向；方向；40 min 后，渔船行至后，渔船行至B 处，此时测得小岛处，此时测得小岛C 在船的北偏在船的北偏东东30方向方向.已知以小岛已知以小岛C 为中心，周围为中心，周围10 海里以内海里以内有暗礁，问：这艘渔船继续向东追赶鱼群是否有触有暗礁，问：这艘渔船继续向东追赶鱼群是否有触礁的危险？礁的危险？练习练习解：解：过点过点C作作CDAB，垂足为，垂足为D，2222=2
13、010 =103 10.CDCBBD（海海里里）（海海里里）-DCD的距离的距离不在以点不在以点C为中心，周围为中心，周围10 海里范围内，海里范围内，轮船轮船不会触礁不会触礁.由题意，得由题意，得AB=30 （海里海里）.402060在在RtCBD中，中，BCD=30，BC=AB=20海里，海里，BD=10海里海里.2.如图，如图，AE 是位于公路边的电线杆，高为是位于公路边的电线杆，高为12 m，为了使电线为了使电线CDE 不影响汽车的正常行驶，电力不影响汽车的正常行驶，电力 部门在公路的另一边竖立了一根高为部门在公路的另一边竖立了一根高为6 m的水泥的水泥 撑杆撑杆BD，用于撑起电线，用
14、于撑起电线.已知两根杆子之间的距已知两根杆子之间的距 离为离为8 m，电线，电线CD 与水平线与水平线AC 的夹角为的夹角为60.求电线求电线CDE 的总长的总长L（A，B，C 三点三点 在在同一同一直线上直线上，电线杆、水泥杆的，电线杆、水泥杆的粗粗 细细忽略不计）忽略不计）.在下图中在下图中，过点D作作DMAE，垂足为，垂足为M.解：解：M易知四边形易知四边形MABD为矩形为矩形，所以，所以MA=BD=6 m，所以所以ME=EA-MA=12-6=6(m).在在RtEMD中，由中，由勾股定理，得勾股定理，得DEEMDM22226810(m).所以所以L=ED+CD=10+（m）.4 3M在在
15、RtDBC中中,CDB=30,设设BC=x,则则DC=2x.由勾股定理，得由勾股定理，得x2+62=(2x)2 ，解解得得 x=.2 3 我们已经知道勾股定理：我们已经知道勾股定理：“直角三角形两直角直角三角形两直角边边a，b 的平方和，等于斜边的平方和，等于斜边c的平方的平方.”那么这个那么这个定定理的逆命题成立吗？理的逆命题成立吗？探究探究 如图如图1-19，在，在ABC 中，中，AB=c，BC=a，AC=b，且且a2+b2=c2，那么那么ABC是直角三角形吗？是直角三角形吗？图图1-19 如果我们能构造一个直角三角如果我们能构造一个直角三角形，形，然后证明然后证明ABC 与所与所构造的构
16、造的直角三角直角三角形形全等，全等，即可得即可得ABC 是直角三角形是直角三角形.a2+b2=c2，图图1-20 =c.A B 如图如图1-20，作，作Rt ，使，使 =90，=a，=b.A B C CB C A C 在在Rt 中，中，根据根据勾股定理，得 2=a2+b2.A B C A B 2=c2.A B ABC是直角三角形是直角三角形.先构造满足某些条件的先构造满足某些条件的图形图形，再根据，再根据所求证的图所求证的图形与所构造图形之间的关系，形与所构造图形之间的关系，完成证明，这也是常用的问完成证明，这也是常用的问题解决策略题解决策略.在在ABC和和 中，中，BC=a，AC=b，AB=
17、c，A B C B C A C A B ABC A B C.C=90.C结论结论如果如果三角形的三条边长三角形的三条边长a，b，c 满足关系满足关系：，那么这个三角形是直角三角形那么这个三角形是直角三角形.由此得到直角三角形的判定定理：由此得到直角三角形的判定定理：222abc上述定理被称为勾股定理的逆定理上述定理被称为勾股定理的逆定理.分析分析 根据根据勾股定理的逆定理，勾股定理的逆定理，判断一个三角形是不判断一个三角形是不是直角三角形，是直角三角形，只要看两条较短边长的平方和是否只要看两条较短边长的平方和是否等于最长边的平方等于最长边的平方.例例3 判断判断由线段由线段a，b，c组成的三角
18、形是不是直角三角形组成的三角形是不是直角三角形.（1）a=6，b=8，c=10；（2）a=12，b=15，c=20.满足满足a2+b2=c2的三个的三个正整数正整数称为勾称为勾股数股数.（2）122+152=369，202=400，122+152202.这个三角形不是直角三角形这个三角形不是直角三角形.（1）62+82=100，102=100，62+82=102.这个三角形是直角三角形这个三角形是直角三角形.解解例例4如图如图1-21，在，在ABC 中，已知中，已知AB=10，BD=6，AD=8，AC=17.求求DC的长的长.在在ABD中，中，AB=10，BD=6，AD=8，62+82=102
19、，解解即即AD2+BD2=AB2，ADB为直角三角形为直角三角形.ADB=90.ADC=180-ADB=90.在在RtADC中，中，DC2=AC2-AD2，DC.2217815图图1-21练习练习1.判断由线段判断由线段a，b，c组成的三角形是不是直角三角形组成的三角形是不是直角三角形.（1）a=8，b=15，c=17；（2）a=10，b=24，c=25；（3）a=4，b=5，c=.41答：（答：（1）是）是；（2）不是；）不是；（3）是）是.2.如图，在边长为如图，在边长为4的正方形的正方形ABCD中，中，F为为CD的中点，的中点，E是是BC上一点，上一点，且且EC=BC.求证：求证：AEF
20、是直角三角形是直角三角形.14证明：由已知可得证明：由已知可得 DF=CF=2，EC=1，BE=3.在在RtADF中，由中，由勾股定理，得勾股定理，得AF2=DF2+AD2=22+42=20.同理可得同理可得 AE2=25，EF2=5.在在AEF中，中，因为因为AE2=AF2+EF2，所以所以 AEF是直角三角形是直角三角形.例例 如图，在如图，在RtABD中，中，D=90，C为为AD上一点上一点，则则x可能是（可能是（）.A.10 B.20 C.30 D.40B因为因为6x90，所以，所以x 15.又又6x180，所以，所以xPB，BE+PFPB.如图，你能在如图，你能在ABC中找到一点中找
21、到一点P，使其到三边，使其到三边的距离相等吗？的距离相等吗？ABC因为角平分线上的点到因为角平分线上的点到角的两边角的两边的距离相等，所以只要作的距离相等，所以只要作ABC任意两角任意两角（例如（例如A与与B）的平）的平分线，其交点分线，其交点P即为所求作的点即为所求作的点.点点P也在也在C的平分线上，如图的平分线上，如图.P思考思考3.E是是AOB的平分线上一点，的平分线上一点，ECOA于点于点C，EDOB于点于点D，求证：（，求证：（1）ECD=EDC；（2）OC=OD.ABOCDE证明：证明：（1）E是是AOB的平分线上一点，的平分线上一点，ECOA于点于点C，EDOB于点于点D，CE=
22、DE.ECD=EDC.（2）在）在RtCOE和和RtDOE中，中，CE=DE，OE=OE.RtCOE RtDOE(HL).OC=OD.练习练习4.如图，在如图，在ABC中，中，ADDE，BEDE，AC，BC分别平分分别平分BAD，ABE，点，点C在线段在线段DE上上.求证：求证：AB=AD+BE.ABCDE证明证明：过点：过点C作作CFAB于点于点F.AC，BC分别平分分别平分BAD，ABE，且且ADDE，BEDE，DC=CF，CE=CF.RtACD RtACF(HL)，RtBCE RtBCF(HL).AD=AF，BE=BF.AB=AF+BF=AD+BE.通过本节通过本节课课，你有，你有什么什么收获？收获？你还存在哪些疑问，和同伴交流你还存在哪些疑问，和同伴交流.我思我思 我我进步进步
