1、第十九章 一次函数 19.2 一次函数一次函数 19.2.2 一次函数一次函数 新知新知 1 一次函数一次函数 一次函数的定义： (1)一般地，形如ykxb(k，b为常数，且k0)的 函数叫做一次函数.一次函数ykxb的图象是一条 经过点( ，0)及点(0，b)的一条直线. (2)正比例函数是一次函数的特例，当b0时，y kx. 例题精讲例题精讲 【例1】已知函数y(k2)xk23b1是一次函 数，求k和b的取值范围. 解析解析 若两个变量x和y间的关系式可以表示成y kxb(k，b为常数，k0)的形式，则称y是x的一次函 数(x为自变量，y为因变量)，因而函数y(k2)xk2 3b1是一次函
2、数的条件是k231，且k20. 解解 根据题意得k231，且k20， k2或k2(舍去) k2. b是任意的常数. 点评点评 本题主要考查了一次函数的定义，一次函数 ykxb的定义条件是：k，b为常数，k0，自变量 次数为1. 举一反三举一反三 1.已知 (1)当m，n取何值时，y是x的一次函数？ 解：(1)根据一次函数的定义，得 2 1，解得m1. 又m10，即m1， 当m1，n为任意实数时，这个函数是一次函 数. m (2)当m，n取何值时，y是x的正比例函数？ (2)根据正比例函数的定义，得 2 1，n40， 解得m1，n4. 又m10，即m1， 当m1，n4时，这个函数是正比例函数.
3、m 2.已知函数y(m1)x(m21)，当m取什么值时，y 是x的一次函数？当m取什么值时，y是x的正比例函数？ 解：由函数是一次函数，可得 m10，解得 m1， 所以，m1时，y是x的一次函数； 函数为正比例函数时， m10且m210，解得 m1， 所以，当m1时，y是x的正比例函数. 新知新知 2 一次函数的图象及其性质一次函数的图象及其性质 (1)一次函数ykxb的图象是一条直线，称为直 线ykxb，它可以看作是由直线ykx平移个单位 长度而得到的(当b0时，向上平移；当b0时，y随x的增大而增大； 当k0时： 当b0时： 例题精讲例题精讲 【例2】已知正比例函数ykx经过点P(2,3)
4、，如图 1923所示. (1)求这个正比例函数的解析式； (2)将该直线向上平移3个单位长度，求平移后所 得直线的解析式. 解析解析 (1)将点P的坐标代入ykx可以求出k. (2)一次函数上下平移时，一次项系数不变，只 改变常数项. 向上平移多少，常数项就增大多少. 解解 (1)由函数ykx经过点P(2, 3)，可得k ， 所以ykx的解析式为y x. (2)直线y x向上平移3个单位长度后，得 到的解析式为y x3. 【例3】如果直线ykxb经过第一、三、四象限， 那么直线ybxk经过第 象限. 解析解析 因为直线ykxb经过第一、三、四象限， 所以它的大致位置如图1924所示. 根据图象
5、可 知k0，b0.因此直线ybxk从左到右呈上升趋 势，且与y轴的交点(0，k)在y轴的正半轴上，其图象 的大致位置如图1924所示，故直线ybxk 经过第一、二、三象限. 答案答案 一、二、三 举一反三 1. 正比例函数ykx(k0)的函数值y随x的增大而减 小，则一次函数ykxk的图象大致是( ) A 2.已知正比例函数ykx(k0)的函数值y随x的增大 而减小，则一次函数yxk的图象大致是( ) B 3.直线l1：ykxb与直线l2：ybxk在同一坐标 系中的大致位置是( ) C 新知新知 3 正比例函数和一次函数解析式的确定正比例函数和一次函数解析式的确定 (1)确定一个正比例函数，就
6、是要确定正比例函数 定义式ykx(k0)中的常数k. 确定一个一次函数，需 要确定一次函数定义式ykxb(k0)中的常数k和b. 解这类问题的一般方法是待定系数法. (2)待定系数法：先设出式子中的未知数系数， 再根据已知条件列出方程(组)求出未知数系数，从而 写出这个式子的方法叫做待定系数法. 其中的未知数 系数称为待定系数. 如正比例函数ykx中的k，一次 函数ykxb中的k和b，都是待确定的系数. (3)用待定系数法求函数解析式的一般步骤： 设出含有待定系数的函数解析式的一般形式； 把已知条件(自变量与函数的对应值)代入解析式， 得到关于待定系数的方程(组)； 解方程(组)，求出待定系数
7、； 将求得的待定系数的值代回所设的解析式. 注意：注意：正比例函数ykx中只有一个待定系数k， 一般只需一个条件即可求出k的值；一次函数ykxb 中有两个待定系数k，b，因而需要两个条件才能求出k 和b的值. 例题精讲例题精讲 【例3】已知一次函数的图象经过A(2，1)和B两 点，其中点B是函数y x3与y轴的交点，求这 个一次函数的解析式. 解析解析 已知两点求一次函数的解析式最常用的 方法是待定系数法，因此这就需要我们先求出点B的 坐标. 函数与y轴的交点就是求x0时，y的值. 解解 当x0时，函数y x3的值为3， 所以点B的坐标为(0,3). 设所求一次函数的解析式为ykxb，把A (
8、2， 1)，B (0,3)代入，得 即所求函数的解析式为y2x3. 解得 举一反三举一反三 1.已知y3与4x2成正比例，且当x1时，y5. (1)求y与x函数关系式； (2)求当x2时的函数值. 解：(1)设y3k(4x2)(k0)， 把x1，y5代入，得 53k(412)，解得k1， 则y与x之间的函数关系式是y4x1. (2)由(1)知y4x1. 当x2时，y4(2)17. 即当x2时的函数值是7. 2.已知一次函数图象经过点(3,5)，(4，9)两点. (1)求一次函数解析式； (2)求图象和坐标轴交点坐标. 解：(1)设一次函数解析式为ykxb(k0)， 把点(3,5)，(4，9)分
9、别代入解析式可得 解得 一次函数解析式为y2x1. (2)当x0时，y1， 当y0时，2x10，解得x ， 函数图象与x轴的交点为(0，1)， . 3.如图1925，过A点的一次函数的图象与正比例函数y 2x的图象相交于点B. (1)求该一次函数的解析式； (2)判定点C(4，2)是否在该函数图象上？并说明理由； (3)若该一次函数的图象与x轴交于D点，求BOD的面积. 解：(1)在y2x中，令x1， 解得y2，则B的坐标是(1,2). 设一次函数的解析式是ykxb， 则 解得 则一次函数的解析式是yx3. (2)当x4时，y1，则C(4，2)不在函数的图象 上. (3)一次函数的解析式yx3
10、中，令y0， 解得x3，则D的坐标是(3,0). 则SBOD OD2 323. 4. (3分)一次函数ykxk(k0)的图象大致是( ) D 7. (6分)已知点A(4,0)及在第一象限的动点P(x，y)，且 xy6，O为坐标原点，设OPA的面积为S. (1)求S关于x的函数解析式； 解：(1)A和P点的坐标分别是(4,0)，(x，y)， S 4y2y. xy6，y6x. S2(6x)122x. 所求的函数关系式为S2x12. (2)求x的取值范围； (3)当S6时，求P点坐标. 解：(2)由(1)得S2x120，解得x6； 又点P在第一象限，x0， 综上可得x的范围为0x6. (3)S6，2x126，解得x3. xy6，y633，即P(3,3). 8. (6分)已知函数y(2m1)xm3； (1)若函数图象经过原点，求m的值； (2)若函数图象在y轴的截距为2，求m的值； 解：(1)函数图象经过原点， m30，且2m10，解得m3. (2)函数图象在y轴的截距为2， m32，且2m10，解得m1. (3)若函数的图象平行直线y3x3，求m的值； (4)若这个函数是一次函数，且y随着x的增大而减小， 求m的取值范围. 解：(3)函数的图象平行直线y3x3， 2m13，解得m1. (4)y随着x的增大而减小， 2m10，解得m .
