1、1.2余弦定理余弦定理 问题提出 在三角形中,已知两边及其夹角,怎么求出此角的对边? 已知三条边,怎么求出它的三个角呢? 分析理解 如图,根据向量的数量积,可以得到 2 a BC BC A B C a b c () ()ACABACAB 22 2ACAC ABAB 22 2|cos AACACABAB 22 2cosbbcAc 222 2cosabcbcA即 余弦定理余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和 减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍, 即 222 2cosbcacaB同理可证 222 2coscababC 222 2cosabcbcA 222 2cosbcacaB 222
2、 2coscababC 利用余弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题： （1）已知三边，求三个角； （2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角。 延伸变形 222 cos 2 bca A bc 222 cos 2 acb B bc 222 cos 2 abc C ab 中，在 ABC推推 论论: 为直角；，则若Ccba 222 为锐角；，则若Ccba 222 为钝角；，则若Ccba 222 例4 4：如图,有两条直线AB和CD相交成80O角,交点是O.甲乙 两人同时从点O分别沿OA,OC方向出发,速度分别为4km/h 和4.5km/h.3时后两人相距多远(结果精确到0.1km)? 分析
3、分析 经过3时,甲到达点P,OP=43=12(km),乙到达点 Q,OQ=4.53=13.5(km),问题转化为在OPQ中,已知 OP=12km, OQ=13.5km,POQ= 80O,求PQ的长. A B O D C Q P 80O 解 经过3时后,甲到达点P,OP=43=12(km),乙到达点 Q,OQ=4.53=13.5(km).依余弦定理,知 22 2cosPQOPOQOP OQPOQ 22 1213.52 12 13.5cos80 16.4(km) 答 3时后两人相距约16.4km. 例5 5：如图是公元前约400年古希腊数学家泰特托斯用来构 造无理数 的图形.试计算图中线段BD的长
4、度 及DAB的大小(长度精确到0.1,角度精确到1O)? 2, 3, 5,. A B C D 1 1 1 2 3 解解.在BCD中,BC=1,CD=1,BCD=135O. 因为 222 2cosBDBCCDBC CDBCD 22 112 1 1cos135 22 所以 1.8BD 22,3BDAD 在ABD中,AB=1, 因为 222 cos 2 ABADBD DAB ABAD 22 1( 3)(22) 2 13 0.1691 所以 80DAB 1. 1. 在在ABCABC中，已知中，已知a a7 7，b b1010， c c6 6，求，求A A、B B和和C.C. 解： cosA b2c2a2 2bc A44 cosC a2b2c2 2ab C36 B180(AC)100. 0.725， 0.8071， 2. ABC中，中，a=2，b=2 ，C=15，解此三角形. 2 Cabbaccos2 222 解： cc 26 ac bca B 2 cos 222 B135 A 180(BC) 30 3 8 84 4 2 2 （）余弦定理的证明 （ 3 ）余弦定理的应用 （）余弦定理的内容
