1、数数 列列 第一章第一章 3 等比数列等比数列 第一章第一章 第第2课时课时 等比数列的性质等比数列的性质 课堂典例讲练课堂典例讲练 2 课课 时时 作作 业业 5 课前自主预习课前自主预习 1 易混易错点睛易混易错点睛 3 本节思维导图本节思维导图 4 课前自主预习课前自主预习 1915 年，波兰数学家谢尔宾斯基(W.Sierpinski)创造了一个美 妙的“艺术品”， 被人们称为谢尔宾斯基 三角形， 如图所示 如果我们来看一看图 中那些白色三角形的个数， 并把它们按面 积大小， 从小到大依次排列起来， 可以得 到一列数：1,3,9,27,81，我们知道这 是一个等比数列，那么，等比数列中，
2、有什么特殊的性质呢？ 1.等比数列的性质： (1)通项公式的推广： anam_(m、nN) (2)公比为 q 的等比数列的各项同乘以一个不为零的数 m， 所得数列是_，公比为_ (3)若an是等比数列，且 mnpq，m、n、p、qN， 则_ (4)若等比数列an的公比为 q， 则 1 an是以_为公比 的等比数列 qnm 等比数列 q am anap aq 1 q (5)一组等比数列an中，下标成等差数列的项构成 _ (6)若an与bn均为等比数列，则anbn为_ (7)公比为q的等比数列，按m项分组，每m项之和(和不为0) 组成一个新数列，仍是等比数列，其公比为_ (8)an是等差数列，c是
3、正数，则数列can是_数 列 (9)an是等比数列，且an0，则logaan(a0，a1)是 _数列 等比数列 等比数列 qm 等比 等差 2等比数列中的设项方法与技巧 (1)若三个数成等比数列，可设三个数为_或 _ (2)若四个数成等比数列，可设_；若四个 数均为正(负)数，可设_ a，aq，aq2 a q，a，aq a，aq，aq2，aq3 a q3， a q，aq，aq 3 1.在等比数列an中，公比q2，a56，则a8_. 答案 48 解析 a8a5q8562348. 2在等比数列an中，若 a66，a99，则 a3等于( ) A4 B3 2 C16 9 D3 答案 A 解析 解法一：
4、a6a3 q3，a3 q36. a9a6 q3，q39 6 3 2. a3 6 q36 2 34. 解法二：由等比数列的性质，得 a2 6a3 a9， 369a3，a34. 3在等比数列an中，a4a510，a6a720，则a8a9 等于( ) A90 B30 C70 D40 答案 D 解析 q2a 6a7 a4a52， a8a9(a6a7)q220q240. 4如果数列an是等比数列，那么( ) A数列a是等比数列 B数列2an是等比数列 C数列lgan是等比数列 D数列nan是等比数列 答案 A 解析 数列a是等比数列，公比为q2，故选A 5设数列an是首项为1，公比为2的等比数列，则a1
5、 |a2|a3|a4|_. 答案 15 解析 本题考查等比数列基本运算 a11，q2，则|a2|2，a34，|a4|8， a1|a2|a3|a4|15. 课堂典例讲练课堂典例讲练 运用等比数列性质解题 在等比数列an中，若 a22，a6162，求 a10. 分析 解答本题可充分利用等比数列的性质及通项公 式，求得 q，再求 a10. 解析 解法一：设公比为 q，由题意得 a1q2 a1q5162 ，解得 a12 3 q3 ，或 a12 3 q3 . a10a1q92 33 913122 或 a 10a1q 92 3(3) 9 13122. 解法二：a6a2q4， q4a6 a2 162 2 8
6、1， a10a6q41628113122. 解法三：在等比数列中，由 a2 6a2 a10得 a10a 2 6 a2 1622 2 13122. 方法总结 比较上述三种解法，可看出解法二、解法三 利用等比数列的性质求解，使问题变得简单、明了，因此要熟 练掌握等比数列的性质，在解有关等比数列的问题时，要注意 等比数列性质的应用 (1)在等比数列an中，已知 a7a125，则 a8a9a10a11 _. (2)an为等比数列，且 a1a964，a3a720，则 a11 _. 答案 (1)25 (2)1 或 64 解析 (1)解法一：a7a12a8a11a9a105， a8a9a10a115225.
7、 解法二：由已知得 a1q6 a1q11a2 1q 175， a8a9a10a11a1q7 a1q8 a1q9 a1q10a4 1 q 34(a2 1 q 17)225. (2)a1a9a3a764， a3，a7是方程 x220x640 的两根 解得 a34 a716 或 a316 a74 . 若 a34，a716，则由 a7a3q4得，q44， a11a7q416464. 若 a74，a316，则由 a7a3q4得，q41 4， a11a7q441 41. 故 a1164，或 a111. 对称法设未知项 已知四个数前三个成等差， 后三个成等比， 中间 两数之积为 16，首尾两个数之积为128
8、，求这四个数 分析 求四个数，给出四个条件，若列四个方程组成方 程组虽可解， 但较麻烦， 因此可依据条件减少未知数的个数 设 未知数时，可以根据前三个数成等差来设，也可以依据后三个 数成等比来设，还可以依据中间(或首尾)两数之积来设，关键 是要把握住未知量要尽量少，下一步运算要简捷 解析 设四个数为2a q a、a q、a、aq， 则由题意得 a2 q 16 2a q a aq128 ， 解得 a8 q4 或 a8 q4 . 因此所求的四个数为4,2,8,32 或 4，2，8，32. 方法总结 (1)根据四个数中前 3 个成等差、后三个成等 比列方程时，可以据后三个成等比用 a、q 表示四个数
9、，也可以 据前三个成等差，用 a、d 表示四个数，由于中间两数之积为 16，将中间两个数设为a q，aq 这样既可使未知量减少，同时解 方程也较为方便 (2)注意到中间两数的特殊地位，可设第三个数为 x，则第 二个数为16 x ，则第一个数为32 x x，最后一个数为 x3 16，再利用首 尾两数之和为128 可列出关于 x 的方程 x3 16 32 x x 128， 解 之得 x 8，则更简捷 有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数 列，并且第一个数与第四个数的和是 16，第二个数与第三个数 的和是 12，则这四个数为多少 解析 方法一： 设四个数依次为 ad， a， ad， a
10、d2 a ， 由条件得 adad 2 a 16， aad12， 解得 a4 d4 或 a9. d6. 所以，当 a4，d4 时， 所求四个数为 0,4,8,16. 当 a9，d6 时， 所求四个数为 15,9,3,1. 故所求四个数为 0,4,8,16 或 15,9,3,1. 方法二：设四个数依次为2a q a，a q，a，aq(a0)， 由条件得 2a q aaq16， a qa12， 解得 q2， a8 或 q1 3， a3. 当 q2，a8 时，所求四个数为 0,4,8,16. 当 q1 3，a3 时，所求四个数为 15,9,3,1. 方法三：设四个数依次为 x，y,12y,16x， 由
11、条件有 2yx12y， 12y2y 16x， 解得 x0， y4 或 x15， y9. 故所求四个数为 0,4,8,16，或 15,9,3,1. 有关等比数列的开放探究题 已知数列an是各项为正数的等比数列，数列 bn定义为 bn1 nlga1lga2lgan1lg(kan)， 是否存在实 数 k，使得数列bn为等差数列？并证明你的结论 分析 先利用数列an是等比数列，求出数列bn的通项 公式，再求 bn1bn，看使它成为常数的条件是什么？ 解析 设数列an的公比为 q，则 ana1qn 1， bn1 nlga1lg(a1q)lg(a1q 2)lg(ka 1q n1)， 解得 bn1 nnlg
12、a1 1 2n(n1)lgqlgk lga11 2(n1)lgq 1 nlgk， bn1bnlga11 2nlgq 1 n1lgklga1 1 2(n1)lgq 1 nlgk 1 2lgq 1 nn1lgk. 要使数列bn为等差数列，只需 k1， 故存在实数 k1，使得数列bn成为等差数列 方法总结 除了用假设法，也可以从寻求使它成立的条 件入手，找到解决问题的突破口下面的性质要熟悉：若 an是等差数列，c是正数，则数列can是等比数列；若an 是等比数列，且an0，则logaan(a0，a1)是等差数列，这两 个基本性质反映了等差、等比数列可以互相转化 在公差不为零的等差数列an和等比数列b
13、n中，已知 a1 1，且 a1b1，a2b2，a8b3. (1)求数列an的公差 d 和数列bn的公比 q； (2)是否存在常数 a， b 使得对一切正整数 n， 都有 anlogabn b 成立？若存在，求出 a 和 b；若不存在，说明理由 解析 (1)由已知 a1b11，a2b2，a8b3，得 1dq 17dq2 ，解得 q6 d5 或 q1 d0 (舍去) (2)假设存在 a，b 使得 anlogabnb 成立， 即有 15(n1)loga6n 1B 整理，得(5loga6)n(4bloga6)0. anlogabnb 对一切正整数 n 恒成立 5loga60 4bloga60 ，a56
14、，b1. 易混易错点睛易混易错点睛 四个实数成等比数列，且前三项之积为 1，后三 项之和为 13 4，求这个等比数列的公比 误解 设这四个数为 aq 3，aq1，aq，aq3，由题意得 a3q 31， aq 1aqaq313 4. 由得 aq，把 aq 代入并整理， 得 4q44q230，解得 q21 2或 q 23 2(舍去)，故所求的公 比为1 2. 辨析 上述解法中，四个数成等比数列，设其公比为 q2， 则公比为正数，但题设并无此条件，因此导致结果有误 正解 设四个数依次为 a，aq，aq2，aq3，由题意得 aq31， aqaq2aq313 4. 由得 aq 1，把 aq1 代入 并整理，得 4q24q30，解得 q1 2或 q 3 2，故所求公比 为1 2或 3 2. 本节思维导图本节思维导图 等比数列的性质 等比数列的性质 等比数列中的设项方法与技巧 等差数列与等比数列的综合应用
