1、数系的扩充与复数的引入数系的扩充与复数的引入 第四章第四章 2 复数的四则运算复数的四则运算 第四章第四章 第第1课时课时 复数的加法与减法复数的加法与减法 课堂典例探究课堂典例探究 2 课课 时时 作作 业业 3 课前自主预习课前自主预习 1 课前自主预习课前自主预习 掌握复数的代数形式的加法、减法运算法则， 并熟练地进行化简、求值 了解复数的代数形式的加法、减法运算的几 何意义 1复数的加法法则 设z1abi，z2cdi(a、b、c、dR)是 任意两个复数，复数的加法按照以下法则进 行： z1z2(abi)(cdi) _ 两个复数的和仍是一个复数，其实部为ac， 虚部为bd因此，两复数相加
2、就是将两个 复数的实部相加作为和的实部，虚部相加作 为和的虚部 复数的加法 (ac)(bd)i 2复数加法的交换律、结合律 对任何z1、z2、z3C复数运算律如下： (1)交换律：z1z2_； (2)结合律：(z1z2)z3_ z2z1 z1(z2z3) 复数用向量表示以后，如果复数对应的向量 不在同一直线上，那么这些复数的加法就可 按向量加法的平行四边形法则来进行 复数加法的几何意义 设OZ1 及OZ2 分别与复数 abi、cdi 对应，且OZ1 、OZ2 不 在同一直线上，以OZ1 及OZ2 为两条相邻边画平行四边形 OZ1ZZ2，分别过点 Z1、Z2、Z 作 x 轴的垂线 PZ1、QZ2
3、及 RZ， 并且作 Z1SRS 于是，点 Z 的坐标是(ac，bd)，这说明OZ 就是复数(a c)(bd)i 对应的向量 由此可知，求两个复数的和，可以先画出与这两个复数对 应的向量OZ1 、OZ2 ，如果OZ1 、OZ2 不在同一直线上，再以这两 个向量为两条邻边作平行四边形，那么与这个平行四边形的 _所表示的向量OZ 对应的复数，就是所求两个 复数的和 如果两个复数对应的向量在同一直线上，则画一条直线， 平移OZ2 ，使OZ2 的起点与OZ1 的终点 Z1重合，就得向量OZ ，OZ 对应的复数就表示复数 z1与复数 z2的和 对角线OZ 1复数的减法法则 设z1abi，z2cdi，(a、
4、b、c、dR) 是任意两个复数，复数的减法按照以下法则 进行： z1z2(abi)(cdi) _ 复数的减法 2复数减法的几何意义 复数减法的运算同样适用向量的平行四边形法则和三角形 法则两个复数的差 z1z2，对应的是连接OZ1 与OZ2 两个向量 的终点并指向被减向量的向量，这就是复数减法的几何意义 (ac)(bd)i 复数的加法的几个注意点 (1)复数的代数形式的加法运算法则是一种规 定，以后就按规定进行运算 (2)复数加法中的规定，是实部与实部相加， 虚部与虚部相加很明显，两个复数的和仍 然是一个复数 (3)复数的加法法则可以推广到多个复数相加 的情形 (4)实数加法的交换律、结合律在
5、复数集C中 仍然成立 (5)复数的代数形式的加法运算法则是一种规 定，我们可以从三个方面理解这个规定的合 理性： 当b0，d0时，与实数加法法则一致 可以验证实数加法运算的交换律和结合律 在复数集中仍然成立 符合向量加法的平行四边形法则 1若z132i，z24i，则z1z2 _，z1z2_ 答案 13i 7i 2在复平面内，复数 z1、z2、z 的对应点分别为 Z1、Z2、Z， 已知OZ OZ1 OZ2 ，z11ai，z2b2i，z34i(a，b R)，则 ab_ 答案 8 解析 由条件知 zz1z2， (1ai)(b2i)34i， 即(1b)(a2)i34i， 由复数相等的条件知， 1b3，
6、 a24， b2，a6，ab8 3 在平行四边形 ABCD 中， 对角线 AC 与 BD 相交于点 O， 若向量OA 、OB 对应的复数分别是 3i、13i，则CD 对应的 复数是( ) A24i B24i C42i D42i 答案 D 解析 依题意有CD BA OA OB ， 而(3i)(13i) 42i， 即CD 对应的复数为 42i 故选 D 4设|z|5，且z4i0，则z_ 答案 34i 解析 设zxyi(x，yR) |z|5，x2y225， z4ix(y4)iR，y4， x3，z4i3， 又z4i0，z4i3 z34i 5若复数z满足z|z|34i，则z _ 答案 7 64i 解析
7、设复数 zabi(a、bR)， 则 a a2b23 b4， a7 6 b4 z7 64i 课堂典例探究课堂典例探究 计算： 分析 多个复数相加减同两个复数相加减 一样，只需将各复数的实部、虚部分别相加 减 复数代数形式的加减运算 (1)(35i)(4i)(34i)； (2)(1 2i)(1 2)i； (3)(abi)(2a3bi)3i(a，bR) 解析 (1)原式(343)(514)i410i； (2)原式(11)( 2 2)i0； (3)原式(a2a)b(3b)3ia(4b3)i 方法规律总结 复数与复数相加减，相当于 多项式加减法的合并同类项，将两个复数的 实部与实部相加(减)，虚部与虚部
8、相加(减) 计算： (1)(35i)(34i)_； (2)3(45i)_； (3)(2i)(32i)_ 答案 (1)6i (2)15i (3)1i 解析 (1)(35i)(34i)(33)5 (4)i6i； (2)3(45i)(34)0(5)i15i； (3)(2i)(32i)2(3)(1 2)i1i 复数z112i，z2 2i，z312i，它们在复平面 上的对应点分别是一个正方形的三 个顶点A、B、C，如图所示，求这 个正方形ABCD的第四个顶点D对应 的复数 复数加、减法运算的几何意义 分析 利用 AD BC或者 ABDC，求点 D 对应的复 数，也可利用正方形的性质，对角线相等且互相平分
9、，正方形 的两条对角线交点是其对称中心求解 解析 方法一：设正方形的第四个顶点 D 对应的复数为 zxyi(x，yR)，则AD OD OA (x，y)(1,2)(x1，y 2)， BC OC OB (1，2)(2,1)(1，3) AD BC ， x11， y23， 即 x2， y1. 故点 D 对应的复数为 2i 方法二：设正方形的第四个顶点D对应的复 数为zxyi (x，yR)， 点A与点C关于原点对称，原点O为正方 形的中心 点O也是B与D点连线段的中点于是得( 2i)(xyi)0， x2，y1点D对应的复数为2i 答案 2i 已知复平面内的平行四边形 OABC 的三个顶点 O、A、C 对
10、应的复数分别为 0、32i、24i，试求： (1)AO 对应的复数； (2)CA 对应的复数； (3)B 点对应的复数 解析 (1)AO OA ，则AO 对应的复数为(32i)，即 32i (2)CA OA OC ， 所以CA 对应的复数为(32i)(24i) 52i (3)OB OA AB OA OC ，所以OB 对应的复数为(32i) (24i)16i， 即 B 点对应的复数为 16i 已知集合Mz|z1|1，zC， Nz|z1i|z2|，zC，集合P MN (1)指出集合P在复平面上的对应点表示的图 形； (2)求集合P中复数模的最大值和最小值 分析 本题主要考查运用知识解决综合问 题的
11、能力以集合为载体，考查复数的几何意 义，数形结合即可求解 综合类问题 解析 (1)由|z1|1可知，集合M在复平面 内所对应的点集是以点E(1,0)为圆心，1为半 径的圆的内部及边界；由|z1i|z2|可 知，集合N是以点(1,1)和(2,0)为端点的线段 的垂直平分线l上的点对应复数的集合，因此 集合P是圆截直线l所得的一条线段AB上的点 对应复数的集合，如图所示 (2)圆的方程为 x2y22x0，直线 l 为 yx1， 解方程组 x2y22x0 yx1 ， 得 A 2 2 2 ， 2 2 ，B 2 2 2 ， 2 2 ， |OA| 2 2，|OB| 2 2 点 O 到直线 l 的距离为 2
12、 2 ，且过点 O 向 l 引垂直，垂足在 线段 BE 上， 2 2 0， sinx0， sinxcosx， 解得 4x 2， 所以 2x 4 3 4 ， 故 cos(x 4)( 2 2 ，0)， 所以2 2cosx 43(1， 3)， 故|z1z2|(1， 3) 答案 (1， 3) 考虑问题要全面 已知：复平面上的四个点A、B、C、 D构成平行四边形，顶点A、B、C对应于复数 52i、45i、2，求点D对应的复数 错解 BA CD ， zAzBzDzC， zDzAzBzC (52i)(45i)217i 即点 D 对应的复数为 17i 辨析 四个点A、B、C、D构成平行四边形， 并不仅有ABCD一种情况，应该还有ABDC 和ACBD两种情况如图所示 正解 用错解可求D对应的复数为17i，用 相同的方法可求得另两种情况下点D对应的 复数z 图中点D对应的复数为37i， 图中点D对应的复数为113i 故点D对应的复数为17i或37i或11 3i
