1、数系的扩充与复数的引入数系的扩充与复数的引入 第四章第四章 2 复数的四则运算复数的四则运算 第四章第四章 第第2课时课时 复数的乘法与除法复数的乘法与除法 课堂典例探究课堂典例探究 2 课课 时时 作作 业业 3 课前自主预习课前自主预习 1 课前自主预习课前自主预习 掌握复数代数形式的乘法和除法运算 理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加 法的分配律 理解共轭复数的概念 1复数的乘法、乘方 复数的乘法与多项式的乘法是类似的，运算 过程中把_看作一个字母，但必须在 所得的结果中把i2换成_，并且把 实部与虚部分别_ 设z1abi、z2cdi是任意两个复数，那 么它们的积(abi)(cdi)a
2、cbciadi bdi2_ (a、b、c、 dR) 复数代数形式的乘法 i 1 合并 (acbd)(adbc)i 2复数乘法的运算律 对于任意z1、z2、z3C，有 在复数范围内，完全平方公式、平方差公式 等仍然成立 交换律 z1z2 _ 结合律 (z1z2)z3 _ 乘法对加法的 分配律 z1(z2z3) _ z2 z1 z1 (z2 z3) z1z2z1z3 3复数的乘方 (1)复数的乘方是相同复数的积根据复数乘法的运算律， 实数范围内正整数指数幂的运算律在复数范围内仍然成立，即 对任何 z1、z2、z3C 及 m、nN，有 zmznzm n，(zm)nzmn， (z1z2)nzn 1z
3、n 2 (2)in(nz)具有周期性 in n4k1， n4k2， n4k3， n4k. 其中 kZ i 1 i 1 1共轭复数的概念 一般地，当两个复数的实部_，虚部_ 时，这两个复数叫做互为共轭复数通常记复数 z 的共轭复数 为z 2由复数的模及共轭复数的定义知，|z|与| z |_， z z 是_，z z 是纯虚数的充要条件是 z 为 _ 共轭复数 相等 互为相反数 相等 实数 虚数 3在复平面内，互为共轭复数的两个复数对应的点关于 _对称 4共轭复数的性质：两个共轭复数 z、z的积是一个实 数，这个实数等于每一个复数的模的平方，即 z z|z|2|z|2 a2b2；z1z2z1z2；z
4、1 z2z1 z2 实轴 复数的除法是将分子、分母同乘以分母的共轭复数，将分母 实数化，再化简 即(abi) (cdi)abi cdi abicdi cdicdi_， 复数除法运算的实质是_ 复数的除法 acbd c2d2 bcad c2d2 i 分母实数化 1虚数单位i的乘方的几个注意点： 对任意nN，都有i4n1i，i4n21， i4n3i，i4n1 (1)上述公式说明i的乘方in具有周期性，且最 小正周期为4 (2)n可推广到整数集 (3)4k(kN)是in的周期 (4)与 i 相关的几个常用结论： (1i)22i，(1i)22i，1 i i， 1i 1ii， 1i 1ii， abi b
5、aii， inin 1in2in30(nN ) 2重要等式 z z|z|2|z|2的应用 z z|z|2|z|2，即两个互为共轭复数的乘积等于这个复数 (或其共轭复数)模的平方 此等式虽然结构很简单，但它将 z、z、|z|、|z|紧密地联系 在一起，并且等式左右具有实数化功能，右左具有分解因 式功能 3证明 z 为纯虚数的方法 (1)设 zabi，证明 a0 且 b0； (2)z20z 为纯虚数； (3)若 z0，则 zz0z 为纯虚数 4证明 zR 的方法 (1)设 zabi(a、bR)，证明 b0； (2)zRzz； (3)zRz20； (4)zR|z|2z2 5乘法、乘方的一些运算在实数
6、集、复数集内的差异 (1)实数集 R 中正整指数幂的运算律，在复数集 C 中仍然 成立若规定 z01，z m1 zm(zC，z0，mN)，则对于复 数的指数幂运算，可以把 m、n 推广到整数集(注意只推广到整 数集)，复数集中未定义分数指数幂，如(1i)41 4(1i)4 1 4 (2)实数集内乘法、乘方的一些重要结论和运算法则在复数 集内不一定成立如：zR 时，|z|2z2，而 zC 时，|z|2 R 时，而|z|2C， |z|2z2 如 z2 时，|2|2(2)2 而 z1i 时，|z|2|1i|2 z2(1i)22i，显然|z|2z2 z1、z2R 时，z2 1z 2 20z10 且 z
7、20 z1、z2C 时，z2 1z 2 20/ z10 且 z20 但 z10，z20z2 1z 2 20 即两个复数的平方和为零，是这两个复数同时为零的必要 不充分条件 如当 z112i，z22i 时，z2 1z 2 20，但 z10，z20 zR 时，zmznmn(z1)，而 zC 时，zmzn/ m n zR 时， |z|0)aza， 而 zC， |z|0)/ aza 1(2014新课标理，2)设复数z1，z2在复 平面内的对应点关于虚轴对称，z12i，则 z1z2( ) A5 B5 C4i D4i 答案 A 解析 z12i，z1与z2关于虚轴对称， z22i，z1z2145，故选 A
8、2(2015安徽文，1)设i是虚数单位，则复 数(1i)(12i)( ) A33i B13i C3i D1i 答案 C 解析 因为(1i)(12i)12ii2i23 i，故选C 3(1)2i 的共轭复数为_； (2)若 z32i，则| z |_ (3)i 的共轭复数为_ 答案 (1)2i (2) 13 (3)i 4若x2yi和3xi互为共轭复数，则实数 x_，实数y _ 答案 1 1 解析 由题意可得 x23x y1 ， x1 y1 5 (2014 全国大纲理， 1)设z 10i 3i， 则z的共轭复数为( ) A13i B13i C13i D13i 答案 D 解析 本题考查了复数的运算以及共
9、轭复数的概念，Z 10i3i 3i3i3i1，所以复数 Z 的共轭复数是 13i 6(2014 云南景洪市一中期末)复数 2i 12i的实部为( ) A0 B1 C1 D2 答案 A 解析 2i 12i 2i12i 12i12i 2i4i2 5 i， 实部为 0，选 A 71i 1i_， 1i 1i_ 答案 i i 课堂典例探究课堂典例探究 (2013浙江文)已知i是虚数单位， 则(2i)(3i)( ) A55i B75i C55i D75i 解析 本题考查了复数的乘法运算 (2i)(3i)65ii255i，选C 答案 C 复数的乘法与乘方 方法规律总结 复数的乘法运算可将i看作 字母按多项式
10、乘法的运算法则进行，最后将i2 1代入合并“同类项”即可 (2014山东文，1)已知a、bR，i是虚数单 位，若ai2bi，则(abi)2( ) A34i B34i C43i D43i 答案 A 解析 本题考查复数的相等的充要条件及复 数的乘法运算 ai2bi，a，bR，a2，b 1 故(abi)2(2i)2414i34i 若复数a3i 12i(aR， i 为虚数单位)是纯虚数， 则 实数 a 的值为( ) A2 B4 C6 D6 分析 复数为纯虚数，须先将复数写成代数 形式，因此必须先分母实数化，再化简 复数的除法 解析 a3i 12i a3i12i 12i12i a632ai 5 为纯虚
11、数， a60 32a0 ，a6 答案 C 方法规律总结 除数是虚数的复数的除法是 将分子、分母同乘以分母的共轭复数，再按 复数的乘法进行运算，最后化简 (2014 天津文，1)i 是虚数单位，复数 7i 34i( ) A1i B1i C17 25 31 25i D17 7 25 7 i 答案 A 解析 7i 34i 7i34i 25 2525i 25 1i (2014 云南景洪市一中期末)复数 2i 12i的共轭 复数是( ) A3 5i B3 5i Ci Di 分析 通过运算把复数写成abi(a、bR 的形式)，则其共轭复数为abi 共轭复数 解析 依题意： 2i 12i 2i1 12i i
12、 1 i i， 其共轭复数为i，选 C 答案 C 方法规律总结 1由比较复杂的复数运算 给出的复数，求其共轭复数，可先按复数的 四则运算法则进行运算，将复数写成代数形 式，再写出其共轭复数 2注意共轭复数的简单性质的运用 (2014 陕西文，3)已知复数 z2i，则 z z 的值为( ) A5 B 5 C3 D 3 答案 A 解析 z2i，z2i， z z(2i)(2i)4(1)5 解题思路探究 第一步，审题 一审条件，找解题信息已知z286i， 可设zabi(a、bR)求出a、b，也可看能否 整体代入； 二审结论确定解题目标求此表达式的值， 若已知z可代入利用复数的四则运算求解，也可 观察表
13、达式的特点，看能否适当变形，将条件 代入先化简 已知 z286i，求 z316z100 z 第二步，建立联系确定解题步骤 考虑到运算简便及待求表达式的特点可先将 表达式变形，将条件整体代入初步化简，再 设zabi(a、bR)求出a、b，再代入化 简 第三步，规范解答 解析 z316z100 z z 416z2100 z z 416z264164 z z 282164 z 6i 2164 z 200 z 设 zabi(a、bR)，则 z2a2b22abi86i， 所以 a2b28， 2ab6， 解得 a3， b1， 或 a3， b1. 即 z3i，或 z3i 当 z3i 时，原式 200 3i6
14、020i； 当 z3i 时，原式 200 3i6020i， 综上所述，z316z100 z 6020i， 或 z316z100 z 6020i 方法规律总结 1差异分析的意识 在解题时，要善于分析条件与结论之间的差异，通过差异 分析构建二者之间的联系，努力促使二者向统一的方向转化， 往往能够使问题获得简捷的解决 2化繁为简的意识 对于条件求值问题，何时使用条件，应根据具体的问题而 定，但在一般情况下，应该先化简再求值，如本例需要把所求 值的代数式先化简，然后再把复数 z 代入求解，而不是直接代 入求解 把复数 z 的共轭复数记作z，已知(12i)z43i，求 z 及 z z 答案 3 5 4
15、5i 解析 解法一：设 zabi(a，bR)，则zabi， 由已知得：(12i)(abi)(a2b)(2ab)i43i，由 复数相等的定义知， a2b4， 2ab3. 得 a2，b1， z2i z z 2i 2i 2i2 2i2i 34i 5 3 5 4 5i 解法二：由题意知z43i 12i 43i12i 5 2i， z2i，从而 z z 2i 2i 2i2 5 3 5 4 5i 计算要细致准确 复数 2i3 1 2i等于( ) Ai Bi C2 2i D2 2i 错解 2i3 1 2i 2i 1 2i 2i1 2i 1 2 2i 答案 D 辨析 错解中有两处错的地方：因为 i3i，所以 2 i3 2i，(1 2i)(1 2i)1( 2i)212 i2123 答案 A 正 解 2i3 1 2i 2i 1 2i 2i1 2i 1 2i1 2i 22ii 2i2 1 2i2 3i 12i故选 A
