1、教教 学学 教教 法法 分分 析析 课课 前前 自自 主主 导导 学学 当当 堂堂 双双 基基 达达 标标 易易 错错 易易 误误 辨辨 析析 课课 后后 知知 能能 检检 测测 课课 堂堂 互互 动动 探探 究究 教教 师师 备备 选选 资资 源源 三维目标 1知识与技能 (1)理解并掌握平均变化率的概念； (2)会求函数在指定区间上的平均变化率； (3)能利用平均变化率解决或说明生活中的一些实际问题 11导导 数数 11.1 函数的平均变化率 2过程与方法 (1)通过观察直观的图形，培养学生的观察能力及抽象概括能力； (2)引导学生体会特殊到一般，具体到抽象的思想方法 3情感、态度与价值观
2、 (1)体会领悟不同曲线的变化率的区别； (2)通过合作交流，树立自信心，形成合作意识 重点难点 重点：在实际背景下，借助函数图象直观地理解平均变化率，得到平 均变化率的公式 难点：对生活现象中的变化情况作出相应的数学解释 课标课标 解读解读 1.通过实例了解函数平均变化率的意义通过实例了解函数平均变化率的意义. 2.掌握求函数掌握求函数f(x)在在x0到到x0x之间的平均变化率之间的平均变化率 的方法与步骤的方法与步骤(重点、难点重点、难点) 【问题导思】 假设图111是一座山的剖面示意图，并建立如图所示平面直角坐 标系A是出发点，H是山顶爬山路线用函数yf(x)表示自变量x 表示某旅游者的
3、水平位置，函数值yf(x)表示此时旅游者所在的高 度设点A的坐标为(x0，y0)，点B的坐标为(x1，y1) 函数的平均变化率函数的平均变化率 1若旅游者从点A爬到点B，且这段山路是平直的，自变量x和函数值 y的改变量分别是多少？ 【提示】 自变量x的改变量为x1x0，记作x，函数值的改变量为y1 y0，记作y. 图 111 2y的大小能否判断山坡陡峭程度？ 【提示】 不能 3怎样用数量刻画弯曲山路的陡峭程度呢？ 【提示】 对山坡 AB 来说，y x y1y0 x1x0可近似地刻画 4能用能用 y x刻画山路陡峭程度的原因是什么？ 刻画山路陡峭程度的原因是什么？ 【提示】【提示】 因因 y x
4、表示 表示 A，B 两点所在直线的斜率两点所在直线的斜率 k，显，显 然，然，“线段线段”所在直线的斜率越大，山坡越陡这就是说，所在直线的斜率越大，山坡越陡这就是说， 竖竖直位移与水平位移之比直位移与水平位移之比 y x越大，山坡越陡，反之，山坡 越大，山坡越陡，反之，山坡 越缓越缓 函数的平均变化率的定义 一般地，已知函数yf(x)，x0、x1是其定义域内不同的两点，记xx1 x0，yy1y0f(x1)f(x0) 称作函数yf(x)在区间x0，x0x(或x0x，x0)的平均变化率 已知函数f(x)3x1和g(x)2x21，分别计算f(x)与g(x)在3到 1之间和在1到1x之间的平均变化率
5、【思路探究】 先求自变量的增量和函数值的增量，然后代入公式求 解 求函数的平均变化率求函数的平均变化率 【自主解答】【自主解答】 (1)x1(3)2， yf(1)f(3)3(1)13(3)1 6， y x 6 2 3，即，即 f(x)在在3 到到1 之间的平均变化率为之间的平均变化率为 3. x1(3)2， yg(1)g(3)2(1)212(3)21 16， y x 16 2 8， 即即 g(x)在在3 到到1 之间的平均变化率为之间的平均变化率为8. (2)yf(1x)f(1)3(1x)1(311) 3 x， y x 3 x x 3， 即即 f(x)在在 1 到到 1x 之间的平均变化率为之
6、间的平均变化率为 3. yg(1x)g(1) 2(1x)21(2121)4 x2 (x)2， y x 4 x2 （x）2 x 42 x， 即即 g(x)在在 1 到到 1x 之间的平均变化率为之间的平均变化率为 42x. 用定义法求平均变化率的基本步骤是：用定义法求平均变化率的基本步骤是：(1)作差求作差求x； (2)求出求出y，对，对y 进行变形，通常用到的变形有：通分、配进行变形，通常用到的变形有：通分、配 方、分母方、分母(子子)有理化等；有理化等；(3)作商求出作商求出 y x. 已知函数f(x)x2x，分别计算f(x)在区间1，3，1，2，1，1.5， 1，1x的平均变化率 【解】【
7、解】 函数函数 f(x)在区间在区间1，3的平均变化率为的平均变化率为 f（3）f（1） 31 3 2 3（121） 2 5； 函函数数 f(x)在区间在区间1，2的平均变化率为的平均变化率为f（ （2）f（1） 21 222（121） 1 4； 函数函数 f(x)在区间在区间1， 1.5的平均变化率为的平均变化率为f（ （1.5）f（1） 1.51 1.521.5（121） 0.5 3.5. 函 数函 数f(x) 在 区 间在 区 间 1 ， 1 x 的 平 均 变 化 率 为的 平 均 变 化 率 为 f（1x）f（1） （1x）1 （1x）2（1x）（）（121） x 3 x（x）2 x
8、 3x. 平均变化率的大小比较平均变化率的大小比较 求函数 f(x)x2在 x1，2，3 附近的平均变化率， 取 x 的值为1 3，哪一点附近平均变化率最大？ 【思路探究】【思路探究】 先求出平均变化率先求出平均变化率 y x，再把 ，再把 x0，x 代入比较大小即可代入比较大小即可 【自主解答】 在 x1 附近的平均变化率为 k1 f（1x）f（1） x （1x） 21 x 2x； 在 x2 附近的平均变化率为 k2f（2x）f（2） x （2x） 222 x 4x； 在 x3 附近的平均变化率为 k3f（3x）f（3） x （3x） 232 x 6x. 若x1 3，则 k12 1 3 7
9、3，k24 1 3 13 3 ，k361 3 19 3 . 由于 k1k3， 函数f(x)x2在x1附近的平均变化率最大. 在 x3 附近的平均变化率为 k3f（3x）f（3） x （3x） 2（9） x 6x. 若x1 3，则 k12 1 3 7 3，k24 1 3 13 3 ，k3 61 3 19 3 . 已知某质点按规律s(2t22t)(单位：m)作直线运动，求： (1)该质点在前3 s内的平均速度； (2)质点在2 s到3 s内的平均速度 平均变化率的应用平均变化率的应用 【思路探究】 因为s是质点在t这段时间内的位移， 所以s t 就是质点在t 这段时间内的平均速度 【自主解答】 (
10、1)由题设知，t3 s， ss(3)s(0)24 m， 平均速度为 vs t 8 m/s. (2)由题设知：t321 s，ss(3)s(2)12 m. 平均速度为 vs t 12 m/s. 1求质点运动的平均速度，实质与求函数的平均变化率相同 2解答此类问题，首先要明确自变量与函数值的实际意义，弄清楚 函数的单调性，然后利用定义求平均变化率，并结合题意回答有关问 题 人们发现，在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h(单位：m) 与起跳后的时间t(单位：s)存在函数关系h(t)4.9t26.5t10. (1)求运动员在第一个0.5 s内高度h的平均变化率； (2)求高度h在1t2这段时间内的
11、平均变化率 【解】 (1)运动员在第一个 0.5 s 内高度 h 的平均变化 率为h（0.5）h（0） 0.50 4.05(m/s)； (2)在 1t2 这段时间内，高度 h 的平均变化率为 h（2）h（1） 21 8.2(m/s) 变量作差顺序不对应致误 已知曲线y2x32和这条曲线上的两个点P(1，0)、Q(2，14)， 求该曲线在PQ段的平均变化率 【错解】 x211，y0(14)14， y x 14 1 14. 【错因分析】 在函数的平均变化率的求法公式中，y必须对应于x， 即若xx1x2，则yf(x1)f(x2)；若xx2x1，则yf(x2) f(x1) 本题的错误之处在于变量作差顺
12、序不对应 【防范措施】 自变量x由x0变化到x1，相应的函数值由f(x0)变化到 f(x1)，分别得到xx1x0，y f(x1)f(x0)求平均变化率问题时，必须搞清是如何变化的，以免把 分子分母的作差顺序搞错 【正解】 x11，y10，x22，y214， xx2x11，yy2y114. 则y x 14 1 14. 1求函数平均变化率的步骤： (1)求函数值的增量 yf(x2)f(x1)； (2)计算平均变化率 y x f（x2）f（x1） x2x1 . 2平均变化率可以描述一个函数在某个范围内 的变化快慢 1在平均变化率的定义中，自变量的增量x满足( ) Ax0 Bx0 Cx0 Dx0 【解
13、析】 由平均变化率的定义知，x为改变量， x0. 【答案】 C 2设函数yf(x)，当自变量x由x0改变到x0x时，函数的改变量y为 ( ) Af(x0x) Bf(x0)x Cf(x0)x Df(x0x)f(x0) 【解析】 由平均变化率的定义知， yf(x0x)f(x0) 【答案】 D 3汽车行驶的路程s和时间t之间的函数图象如图112所示，在时 间段t0，t1，t1，t2，t2，t3上的平均速度分别为v1，v2，v3，则三者 的大小关系为_(按从大到小排列) 图 112 【解析】 v1 sA t1t0，v2 sBsA t2t1 ，v3s CsB t3t2 ，由图象 知 v3v2v1. 【答
14、案】 v3v2v1 4已知函数f(x)x3a，分别求出该函数在下列区间上的平均变化 率 (1)求1到1.1之间的平均变化率； (2)求2到2.1之间的平均变化率 【解】 yf(x0x)f(x0)(x0x)3x3 0 3 x2 0x3 x0(x) 2(x)3， y x3 x 2 03 x0x(x) 2. (1)在 1 到 1.1 之间的平均变化率为 312310.10.013.31. (2)在 2 到 2.1 之间的平均变化率为 322320.10.0112.61. (教师用书独具教师用书独具) 已知自由落体运动的方程为 s1 2gt 2.求： (1)下落物体在 t0到 t0 t 这段时间内的平
15、均速度 v； (2)下落物体在 t10 s 到 t10.1 s 这段时间内的平均速 度 【思路探究】 掌握平均速度的计算方法 【自主解答】 (1)s(t)1 2gt 2， ss(t0t)s(t0) 1 2g(t0t) 21 2gt 2 0 gt0t1 2g(t) 2. vs t gt01 2gt. (2)设 t110，t210.1， tt2t10.1， 又 s(t1)1 2g10 250g， s(t2)1 2g10.1 251.005g. ss(t2)s(t1)1.005g. 则 vs t 1.005g 0.1 10.05g. 自由落体运动的方程 s1 2gt 2 相当于函数 f(t)1 2g
16、t 2， 则平 均速度 vf（t） t s t . 很多人都吹过气球，回忆一下吹气球的过程，可以发现，随着气球内 空气容量的增加，气球的半径增加得越来越慢，从数学的角度，如何 描述这种现象呢？ 【解】 气体的体积 V(单位：L)与半径 r(单位：dm)之 间的函数关系式为 V(r)4 3r 3，若将半径 r 表示为体积 V 的 函数，则 r(V) 3 3V 4. 当空气容量 V 从 0 增加到 1 L 时，气球半径增加了 r(1) r(0)0.62(dm) ， 气 球 的 平 均 膨 胀 率 为 r（1）r（0） 10 0.62(dm/L) 类似地，当空气容量 V 从 1 L 增加到 2 L 时，气球半径增加 了 r(2)r(1)0.16(dm) 气球的平均膨胀率为r（2）r（1） 21 0.16(dm/L) 可以看出，随着气球体积逐渐变大，它的膨胀率逐渐变小
