1、 路边苦李路边苦李 王戎王戎7岁时岁时,与小与小 伙伴们外出游玩伙伴们外出游玩,看看 到路边的李树上结满到路边的李树上结满 了果子了果子.小伙伴们纷小伙伴们纷 纷去摘取果子纷去摘取果子,只有只有 王戎站在原地不动王戎站在原地不动 王戎回答说王戎回答说:“树在道边而多子树在道边而多子,此必苦李此必苦李.” 小伙伴摘取一个尝了一下果然是苦李小伙伴摘取一个尝了一下果然是苦李. 王戎是怎样知道李子是苦的呢王戎是怎样知道李子是苦的呢?他运用了怎样他运用了怎样 的推理方法的推理方法? 假设假设李子李子不是不是苦的，即李子是甜的，苦的，即李子是甜的， 那么这长在人来人往的大路边的李子会不会被那么这长在人来人
2、往的大路边的李子会不会被 过路人摘去解渴呢过路人摘去解渴呢？ 那么，树上的李子还会这么多吗那么，树上的李子还会这么多吗？ 这与事实这与事实矛盾吗？矛盾吗？ 说明李子是甜的这个假说明李子是甜的这个假 设是错的还是对的设是错的还是对的？ 所以，所以，李子是苦的李子是苦的学.科.网zxxk.组卷网 王戎的推理方法是王戎的推理方法是: 假设假设李子不苦李子不苦, 则则因树在“道”边因树在“道”边,李子早就被李子早就被 别别 人采摘人采摘, 这与“多子”产生这与“多子”产生矛盾矛盾. 所以假设所以假设不成立不成立,李为苦李李为苦李. 发生在身边的例子发生在身边的例子: 妈妈妈妈:小华小华,听说邻居小芳全
3、家这几天在外听说邻居小芳全家这几天在外 地旅游地旅游. 小华小华:不可能不可能,我上午还在学校碰到了她和我上午还在学校碰到了她和 她妈妈呢她妈妈呢! 上述对话中上述对话中,小华要告诉妈妈的命题是什么小华要告诉妈妈的命题是什么? 他是如何推断该命题的正确性的他是如何推断该命题的正确性的?学.科.网zxxk. 小芳全家没外出旅游小芳全家没外出旅游. 小芳全家没外出旅游小芳全家没外出旅游. 假设假设小芳全家外出旅游小芳全家外出旅游, 那么今天不可能碰到小芳那么今天不可能碰到小芳, 与上午在学校碰到小芳和她妈妈与上午在学校碰到小芳和她妈妈矛盾矛盾, 所以假设所以假设不成立不成立, 所以小芳全家没有外出
4、旅游所以小芳全家没有外出旅游. 在证明一个命题时在证明一个命题时, ,有时有时先假设命题先假设命题 不成立不成立, ,从从这样的这样的假设出发假设出发, ,经过推理经过推理得出得出 和已知条件矛盾和已知条件矛盾, ,或者与定义或者与定义, ,公理公理, ,定理定理 等等矛盾矛盾, ,从而得出从而得出假设命题不成立是错误假设命题不成立是错误 的的, ,即所求证的命题正确。这种证明方法即所求证的命题正确。这种证明方法 叫做叫做反证法反证法。学.科.网 一、提出假设一、提出假设 二、推理论证二、推理论证 三、得出矛盾三、得出矛盾 四、结论成立四、结论成立 什么时什么时 候运用候运用 反证法反证法 呢
5、？呢？ 例例 求证：在同一平面内求证：在同一平面内, ,如果一条直线如果一条直线 和两条平行直线中的一条相交和两条平行直线中的一条相交, ,那么那么 和另一条也相交。和另一条也相交。 已知：如图，已知：如图，abab，c c与与a a相交于点相交于点P P 求证：求证： c c与与b b相交相交 a b c P 试一试试一试 已知：如图，直线已知：如图，直线a,b被直线被直线c所截，所截， 1 2 求证：求证：ab a b c 1 2 1=2 (两直线平行两直线平行,同位角相等同位角相等) 这与已知的这与已知的12矛盾矛盾 假设不成立假设不成立 证明：假设结论不成立，则证明：假设结论不成立，则
6、ab ab 求证求证: :在同一平面内在同一平面内, ,如果两条直线都和第三条直线平行如果两条直线都和第三条直线平行, , 那么这两条直线也互相平行那么这两条直线也互相平行. . (1)(1)你首先会选择哪一种证明方法你首先会选择哪一种证明方法? ? (2)(2)如果你选择反证法如果你选择反证法, ,先怎样假设先怎样假设? ?结果和什么产生矛盾结果和什么产生矛盾? ? 定理定理 已知已知: :如图，如图，l1l2 ,l 2 l 3 求证：求证： l l l l l l l , l l , 则过点 则过点p就有两条直线就有两条直线l 、 l 都与 都与l 平行，这与 平行，这与“经过直线外一点，
7、有经过直线外一点，有 且只有一条直线平行于已知直线且只有一条直线平行于已知直线”矛盾矛盾 证明：假设证明：假设l 不平行 不平行l ，则 ，则l 与 与l 相交，设交点为 相交，设交点为p. p 所以所以假设假设不成立，所求证的结论成立，不成立，所求证的结论成立， 即即 l l 求证求证: :在同一平面内在同一平面内, ,如果两条直线都和第三条直线平行如果两条直线都和第三条直线平行, , 那么这两条直线也互相平行那么这两条直线也互相平行. . 定理定理 (3)(3)能不用反证法证明吗能不用反证法证明吗? ?你是怎样证明的你是怎样证明的? ? 已知已知: :如图，如图，l1l2 ,l 2 l 3
8、 求证求证: : l1l3 l1 l2 l3 l p l1l2 ,l 2l 3 直线直线l必定与直线必定与直线l1， ，l3相交（ 相交（在同一平面内，在同一平面内， 如果一条直线和两条平行直线中的一条相如果一条直线和两条平行直线中的一条相 交，那么和另一条直线也相交交，那么和另一条直线也相交） 证明证明: :作直线作直线l交直线交直线l2于点于点p p， 2 =1=3（两直线平行，同位角相等）（两直线平行，同位角相等） l1l3 （同位角相等，两直线平行）同位角相等，两直线平行） 2 1 3 定理定理:在同一平面内在同一平面内,如果两条直线都如果两条直线都 和第三条直线平行和第三条直线平行,
9、那么这两条那么这两条 直线也互相平行直线也互相平行. 几何语言几何语言表示表示: ab,bc, ac a b c 已知已知: :如图如图, ,直线直线l与与l1 1, ,l2 2, ,l3 3都相交都相交, , 且且 l1 1l3 3, ,l2 2l3 3, , 求证求证:1=2:1=2 l1 l2 l3 l 1 1 2 2 证明证明: : l1l3,l2l3( (已知已知) ) l1l2 ( (在同一平面内 在同一平面内, ,如果两条直线都和第如果两条直线都和第 三条直线平行三条直线平行, ,那么这两条直线也互相平行那么这两条直线也互相平行) ) 1=2( (两直线平行两直线平行, ,同位角
10、相等同位角相等) ) 1、写出下列各结论的反面：、写出下列各结论的反面： （1）a/b （2）a0 （3）b是正数是正数 （4）ab ( 5 )至多有一个至多有一个 （6）至少有一个）至少有一个 a0 b是是0或负数或负数 a不垂直于不垂直于b ab 一个也没有一个也没有 至少有两个至少有两个 变式训练变式训练 1、“、“ab”的反面应是（的反面应是（ ） （A）ab （B）a b （C）a=b （D）a=b或或a b 2、用反证法证明命题“三角形中最多有、用反证法证明命题“三角形中最多有 一个是直角”时，应如何假设？一个是直角”时，应如何假设？ _ D 假设三角形中有两个或三个角是直角假设三
11、角形中有两个或三个角是直角 常用的互为否定的表述方式：常用的互为否定的表述方式： 是是不是；存在不是；存在不存在不存在 平行平行不平行；垂直不平行；垂直不垂直不垂直 等于等于不等于；都是不等于；都是不都是不都是 大于大于不大于；小于不大于；小于不小于不小于 至少有一个至少有一个一个也没有一个也没有 至少有三个至少有三个至多有两个至多有两个 至少有至少有n个个至多有至多有(n-1)个个 至多有一个至多有一个 至少有一个至少有一个 一个也没有一个也没有 至少有两个至少有两个 如图，在如图，在ABC中中,若若C是直角，是直角， 那么那么B一定是锐角一定是锐角. 你能用反证法证明以下命题吗？你能用反证
12、法证明以下命题吗？ 延伸拓展延伸拓展 证明：假设结论不成立证明：假设结论不成立,则则B是是_或或_. 这与这与_矛盾；矛盾； 当当B是是_时，则时，则_ 这与这与_矛盾；矛盾； 综上所述综上所述,假设不成立假设不成立. B一定是锐角一定是锐角. 直角直角 钝角钝角 直角直角 B+ C= 180 三角形的三个内角和等于三角形的三个内角和等于180 钝角钝角 B+ C180 三角形的三个内角和等于三角形的三个内角和等于180 当当B是是_时，则时，则_ 用反证法证题时用反证法证题时,应注意的事项应注意的事项 : （1）周密考察原命题结论的否定事项，）周密考察原命题结论的否定事项， 防止否定不当或有
13、所遗漏；防止否定不当或有所遗漏； （2）推理过程必须完整，否则不能说）推理过程必须完整，否则不能说 明命题的真伪性；明命题的真伪性； （3）在推理过程中，要充分使用已知条）在推理过程中，要充分使用已知条 件，否则推不出矛盾，或者不能断件，否则推不出矛盾，或者不能断 定推出的结果是错误的。定推出的结果是错误的。 归纳归纳: 宜用反证法证明的题型宜用反证法证明的题型 （1）以否定性判断作为结论的命题；）以否定性判断作为结论的命题； （2）某些定理的逆命题；）某些定理的逆命题； （3）以“至多”、“至少”或“不多于”等形式）以“至多”、“至少”或“不多于”等形式 陈述的陈述的 命题；命题； （4）关于“唯一性”结论的命题；）关于“唯一性”结论的命题； （5）解决整除性问题；）解决整除性问题； （6）一些不等量命题的证明；）一些不等量命题的证明； （7）有些基本定理或某一知识体系的初始阶段；）有些基本定理或某一知识体系的初始阶段； （8）涉及各种“无限”结论的命题等等。）涉及各种“无限”结论的命题等等。
