1、义务教育教科书（沪科）九年级数学下册义务教育教科书（沪科）九年级数学下册 第第24章章 圆圆 圆的基本性质圆的基本性质 圆圆 圆的对称性圆的对称性 弧、弦圆心角之间的关系弧、弦圆心角之间的关系 同弧上的圆周角与圆心角的关系同弧上的圆周角与圆心角的关系 与圆有关的位置关系与圆有关的位置关系 正多边形和圆正多边形和圆 有关圆的计算有关圆的计算 点和圆的位置关系点和圆的位置关系 切线切线 直线和圆的位置关系直线和圆的位置关系 三角形的外接圆三角形的外接圆 等分圆等分圆 三角形的内切圆三角形的内切圆 弧长弧长 扇形的面积扇形的面积 圆（柱）锥的侧面积和全面积圆（柱）锥的侧面积和全面积 第第1 1部分部
2、分 圆的基本性质圆的基本性质 第第2 2部分部分 与圆有关的位置关系与圆有关的位置关系 第第3 3部分部分 正多边形和圆正多边形和圆 第第4 4部分部分 弧长和面积的计算弧长和面积的计算 第第5 5部分部分 有关作图有关作图 一一. .圆的基本概念圆的基本概念: : 1.1.圆的定义圆的定义: :到定点的距离等于定长的点的到定点的距离等于定长的点的 集合叫做圆集合叫做圆. . 2.2.有关概念有关概念: : (1)(1)弦、直径弦、直径( (圆中最长的弦圆中最长的弦) ) (2)(2)弧、优弧、劣弧、等弧弧、优弧、劣弧、等弧 (3)(3)弦心距弦心距 O O 二二. . 圆的基本性质圆的基本性
3、质 1.1.圆的对称性圆的对称性: : (1)(1)圆是轴对称图形圆是轴对称图形, ,经过圆心的每一条直经过圆心的每一条直 线都是它的对称轴线都是它的对称轴. .圆有无数条对称轴圆有无数条对称轴. . (2)(2)圆是中心对称图形圆是中心对称图形, ,并且绕圆心旋转并且绕圆心旋转 任何一个角度都能与自身重合任何一个角度都能与自身重合, ,即圆具即圆具 有旋转不变性有旋转不变性. . 2.2.同圆或等圆中圆心角、弧、弦之间的关系同圆或等圆中圆心角、弧、弦之间的关系: : (1)(1)在同圆或等圆中在同圆或等圆中, ,如果圆心角相等如果圆心角相等, ,那么它那么它 所对的弧相等所对的弧相等, ,所
4、对的弦相等所对的弦相等. . (2)(2)在圆中在圆中, ,如果弧相等如果弧相等, ,那么它所对的圆心角那么它所对的圆心角 相等相等, ,所对的弦相等所对的弦相等. . (3)(3)在一个圆中在一个圆中, ,如果弦相等如果弦相等, ,那么它所对的弧那么它所对的弧 相等相等, ,所对的圆心角相等所对的圆心角相等. . A B D C O COD =AOBCOD =AOB ABAB CDCD = = AB=CDAB=CD 3.3.垂径定理垂径定理: : 垂直于弦的直径平分这条弦垂直于弦的直径平分这条弦, ,并且并且 平分弦所对的两条弧平分弦所对的两条弧. . A A D D B B P P C C
5、 CDCD是圆是圆O O的直径的直径 ,CDAB,CDAB AP=BP,AP=BP, ACAC BCBC = = ADAD BDBD = = 对于一个圆中的弦长对于一个圆中的弦长a a、圆心到弦的距离、圆心到弦的距离d d、 圆半径圆半径r r、弓形高、弓形高h h，这四个量中，只要已知其中，这四个量中，只要已知其中 任意两个量，就可以求出另外两个量，如图有：任意两个量，就可以求出另外两个量，如图有： d + h = rd + h = r 222 ) 2 ( a dr 垂径定理的垂径定理的 应用应用 4.4.圆周角圆周角: : 定义定义: :顶点在圆周上，两边和圆相交的顶点在圆周上，两边和圆相
6、交的 角，叫做圆周角角，叫做圆周角. . 性质性质:(1):(1)在同一个圆中在同一个圆中, ,同弧所对的圆同弧所对的圆 周角等于它所对的圆心角的一半周角等于它所对的圆心角的一半. . O A B C BAC= BOCBAC= BOC 1 1 2 2 O B A D E C 在同圆或等圆中在同圆或等圆中, ,同弧或等弧所对的所有的同弧或等弧所对的所有的 圆周角相等圆周角相等. .相等的圆周角所对的弧相等相等的圆周角所对的弧相等. . 圆周角的性质圆周角的性质(2)(2) ADBADB与与AEB AEB 、ACB ACB 是是 同弧所对的圆周角同弧所对的圆周角 ADB=AEB =ACBADB=A
7、EB =ACB 性质性质 3:3:半圆或直径所对的圆周角都半圆或直径所对的圆周角都 相等相等, ,都等于都等于90900 0( (直角直角).). 性质性质4: 904: 900 0的圆周角所对的弦是圆的直径的圆周角所对的弦是圆的直径. . OA B C ABAB是是O O的直径的直径 ACB=90 ACB=900 0 圆周角的性质圆周角的性质: : (2)(2)点在圆上点在圆上 (3)(3)点在圆外点在圆外 (1)(1)点在圆内点在圆内 1.1.点和圆的位置关系点和圆的位置关系 A A C C B B 如果规定点与圆心的距离为如果规定点与圆心的距离为d,d,圆的半径圆的半径 为为r,r,则则
8、d d与与r r的大小关系为的大小关系为: : 点与圆的位置关点与圆的位置关 系系 d d与与r r的关系的关系 点在圆内点在圆内 点在圆上点在圆上 点在圆外点在圆外 dr dr dr 三三. .与圆有关的位置关系与圆有关的位置关系: : 2.2.直线和圆的位置关系直线和圆的位置关系: : O O O O O O l l l l l l (1) (1) 相离相离: : (2) (2) 相切相切: : (3) (3) 相交相交: : 一条直线与一个圆没有公共点一条直线与一个圆没有公共点, ,叫做叫做 直线与这个圆相离直线与这个圆相离. . 一条直线与一个圆只有一个公共点一条直线与一个圆只有一个公
9、共点, ,叫叫 做直线与这个圆相切做直线与这个圆相切. . 一条直线与一个圆有两个公共点一条直线与一个圆有两个公共点, ,叫叫 做直线与这个圆相交做直线与这个圆相交. . O O O O l l (1)(1)当直线与圆相离时当直线与圆相离时d dr;r; (2)(2)当直线与圆相切时当直线与圆相切时d =r;d =r; (3)(3)当直线与圆相交时当直线与圆相交时d dr.r. 3.3.直线与圆位置关系的识别直线与圆位置关系的识别: : d d r r l l d d r r O O l l d d r r 设圆的半径为设圆的半径为r r, ,圆心到直线的距离为圆心到直线的距离为d d, ,则
10、则: : 1.1.与圆有一个公共点的直线。与圆有一个公共点的直线。 2.2.圆心到直线的距离等于圆的半径的直圆心到直线的距离等于圆的半径的直 线是圆的切线。线是圆的切线。 3.3.经过半径的外端且垂直于这条半径的经过半径的外端且垂直于这条半径的 直线是圆的切线。直线是圆的切线。 O O A A l l OAOA是半径是半径,OA l,OA l 直线直线l l是是O O的切线的切线. . 4 4. .切线切线: : 切线的性质切线的性质: : (1)(1)圆的切线垂直于经过切点的半径圆的切线垂直于经过切点的半径. . (2)(2)经过圆心垂直于切线的直线必经过切点经过圆心垂直于切线的直线必经过切
11、点. . (3)(3)经过切点垂直于切线的直线必经过圆心经过切点垂直于切线的直线必经过圆心. . O O A A l l OA l OA l 直线直线l l是是O O的切线的切线, , 切点为切点为A A 切线长定理：切线长定理： 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切从圆外一点引圆的两条切线，它们的切 线长相等；这点与圆心的连线平分这两条切线长相等；这点与圆心的连线平分这两条切 线的夹角。线的夹角。 B B A A P P O O PAPA、PBPB为为O O的切线的切线 PA=PB,PA=PB, APO= BPOAPO= BPO 不在同一直线上的三点确定一个圆不在同一直线上的三点确定一个圆.
12、. O O C C B B A A 三角形的外接圆与内切圆三角形的外接圆与内切圆: : 三角形的外心就是三角形各边垂直平分线的交点三角形的外心就是三角形各边垂直平分线的交点. . O O A A B B C C 三角形的内心就是三角形各角平分线的交点三角形的内心就是三角形各角平分线的交点. . 等边三角形的外心与内心重合等边三角形的外心与内心重合. . 特别的特别的: : 内切圆半径与外接圆半径的比是内切圆半径与外接圆半径的比是1:2.1:2. O O A A B B C C D D 四四.正多边形与圆正多边形与圆: 2.2.半径：正多边形外接圆的半径叫做这半径：正多边形外接圆的半径叫做这 个
13、正多边形的半径个正多边形的半径 . .中心：一个正多边形外接圆的圆心中心：一个正多边形外接圆的圆心 叫做这个正多边形的中心叫做这个正多边形的中心 3.3.中心角：正多边形每一边所对的外接圆中心角：正多边形每一边所对的外接圆 的圆心角叫做这个正多边形的中心角的圆心角叫做这个正多边形的中心角 4.4.边心距：中心到正多边形一边的距离边心距：中心到正多边形一边的距离 叫做这个正多边形的边心距叫做这个正多边形的边心距 O A B F D C E G 1.1.圆的周长和面积公式圆的周长和面积公式 2.2.弧长的计算公式弧长的计算公式 3.3.扇形的面积公式扇形的面积公式 S = = 360360 n n
14、r r2 2 L L = = 180180 n n r r = = 1 1 2 2 lrlr S 或或 圆中的有关计算圆中的有关计算: : 周长周长C=2C=2 r r 面积面积s=s= r r2 2 O O r r 4.4.圆柱的展开图圆柱的展开图: : D D B B C C A A r r h h S侧 侧 =2r h S全 全=2r h+2 r2 5.5.圆锥的展开图圆锥的展开图: : 底面底面 侧面侧面 a a h r S侧 侧 =r a S全 全=r a+ r2 E E C C B B A A O O D D 常见的基本图形及结论常见的基本图形及结论: : 1.1.如图如图, ,在
15、以在以O O为圆心的为圆心的 两个同心圆中两个同心圆中, ,大圆的大圆的 弦弦ABAB交小圆于交小圆于C C、D,D,则则: : AC=BDAC=BD 若大圆的弦切小圆于若大圆的弦切小圆于C,C,则则 O O A A C C B B AC=BCAC=BC 两圆之间的环形面积两圆之间的环形面积 S S= = ABAB2 2 4 1 1 1. .如图如图, ,以等腰以等腰ABCABC的腰的腰ABAB为直径作为直径作 O O交底边交底边BCBC于点于点D,D,则则: : O O C B A A D 点点D D是是BCBC的中点的中点. . O O P P B B A A D D C C 2 2. .
16、如图如图, ,已知已知PAPA、PBPB切圆切圆O O于点于点A,B,A,B,过过 弧弧ABAB上任一点上任一点E E作圆作圆O O的切线的切线, ,交交PA,PBPA,PB 于点于点C,D,C,D,则则: : (1) (1) PCDPCD的周长的周长=2PA=2PA (2) COD= 90(2) COD= 900 0- - APBAPB 2 1 E E O O A A B B C C O O A A B B C C D D F F E E D D F F E E 3 3. .如图如图, , ABCABC各边分别各边分别 切圆切圆O O于点于点D D、E E、F.F. (1) DEF= 90(
17、1) DEF= 900 0- - AA 2 1 (3) S (3) S ABCABC= (a+b+c)r = (a+b+c)r 2 1 (2) BOC= 90(2) BOC= 900 0+ A+ A 2 1 O B D C A E 4 4. .如图如图,AB,AB是圆是圆O O的直径的直径,AD,BC,DC,AD,BC,DC均为均为 切线切线, ,则则: : (1)DC=AD+BC(1)DC=AD+BC (2) DOC=90(2) DOC=900 0 五五.与圆有关的辅助线的作法：与圆有关的辅助线的作法： 辅助线，辅助线， 莫乱添，莫乱添， 规律方法记心间；规律方法记心间； 圆半径，圆半径，
18、不起眼，不起眼， 角的计算常要连，角的计算常要连， 构成等腰解疑难；构成等腰解疑难； 切点和圆心，切点和圆心， 连结要领先；连结要领先； 遇到直径想直角，遇到直径想直角， 灵活应用才方便。灵活应用才方便。 弦与弦心距，弦与弦心距， 亲密紧相连；亲密紧相连； 如图如图, O, O的直径的直径AB=12,AB=12,以以OAOA为直径的为直径的 O O1 1交大圆的弦交大圆的弦ACAC于于D,D,过过D D点作小圆的切点作小圆的切 线交线交OCOC于点于点E,E,交交ABAB于于F.F. E E O O1 1 O O D D C C B B A A F F (2)(2)猜想猜想DFDF与与OCOC的位的位 置关系置关系, ,并说明理由并说明理由. . (1)(1)说明说明D D是是ACAC的中点的中点. . (3)(3)若若DF=4,DF=4,求求OFOF的长的长. . 一份耕耘，一份收获，同学们，体一份耕耘，一份收获，同学们，体 验到成功的喜悦了吗？验到成功的喜悦了吗？
