1、18.2 18.2 勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理 第18章 勾股定理 第第2 2课时课时 勾股定理的逆定理的应用勾股定理的逆定理的应用 1.勾股定理的逆定理的内容：勾股定理的逆定理的内容： 如果三角形的三边长如果三角形的三边长a,b,c满足满足 ,那么这那么这 个三角形是直角三角形个三角形是直角三角形. a2+b2=c2 3.在在ABC中，中，AB=7，BC=24，AC=25. .则则 =90.=90. B 2.三角形三边长分别为三角形三边长分别为8，15，17，那么最短边上，那么最短边上 的高为的高为( ) 17 120 .D8.C15.B17.A B 复习引入复习引入 引例引例 判断以
2、线段判断以线段a,b,c为边组成的三角形是否为边组成的三角形是否 是直角三角形，其中是直角三角形，其中a= ,b=1, c= . 65 小明的解法是：小明的解法是： a2+b2=( 6)2 +12=7,c2=( 5)2 , a2+b2= c2, 由由 a,b,c 为边组成的三角形不是直角三角形为边组成的三角形不是直角三角形. 请问小明的解法对吗？如对，请说明其依据是什么？请问小明的解法对吗？如对，请说明其依据是什么？ 如不对，错在哪里？写出正确的解答过程如不对，错在哪里？写出正确的解答过程. 合作探究合作探究 活动：探究活动：探究用勾股定理的逆定理的应用用勾股定理的逆定理的应用 a2 +b2
3、c2 答：不对，错在没有分清最长边答：不对，错在没有分清最长边. 正确解答如下：正确解答如下： a2+c2=( 5)2 +12=6,b2=( 6)2 =6, a2+c2= b2, 由由 a,b,c 为边组成的三角形为边组成的三角形是直角三角形是直角三角形. 判断判断a,b,c能否构成直角三角形，必须判断两较小边的能否构成直角三角形，必须判断两较小边的 平方和是否等于最长边的平方和平方和是否等于最长边的平方和.不能简单地看某两边的不能简单地看某两边的 平方和是否等于第三边的平方，否则容易作出误判平方和是否等于第三边的平方，否则容易作出误判. 勾股定理逆定理使用勾股定理逆定理使用“误区”“误区”
4、勾股定理及其逆定理勾股定理及其逆定理使用方法使用方法 解题时，注意勾股定理及其逆定理运用的区别解题时，注意勾股定理及其逆定理运用的区别.勾股定勾股定 理是在直角三角形中运用的，而勾股定理的逆定理是判断理是在直角三角形中运用的，而勾股定理的逆定理是判断 一个三角形是否是直角三角形的一个三角形是否是直角三角形的. 知识要点知识要点 例例1 已知：如图已知：如图，四边形四边形ABCD中中，B900， AB3，BC4，CD12，AD13,求四边形求四边形 ABCD的面积的面积? A D B C 3 4 13 12 连接连接AC，把四边形分成两个三角形，把四边形分成两个三角形.先用勾股定先用勾股定 理求
5、出理求出AC的长度，再利用勾股定理的逆定理判的长度，再利用勾股定理的逆定理判 断断ACD是直角三角形是直角三角形. 提示提示 例例2 已知：如图已知：如图，四边形四边形ABCD中中，B900 ，AB3，BC4，CD12，AD13,求四边形求四边形 ABCD的面积的面积? A D B C 3 4 13 12 连接连接AC. 解解: 在在 RtABC 中，中， ACB= AB2+BC2= 32+42 =5 在在ACD 中，中， AC2+CD2=52+122=169，AD2=169， 所以所以ACD 是直角三角形，是直角三角形， 且且ACD=90。 所以四边形所以四边形 ABCD 的面积的面积 =S
6、Rt ABC+S RtACD=6+30=36. 例例3 如图，如图，南北方向南北方向PQ以东为我国领海，以西为公海，以东为我国领海，以西为公海， 晚上晚上10时时28分，我边防反偷渡巡逻分，我边防反偷渡巡逻101号艇在号艇在A处发现其处发现其正西正西 方向方向的的C处有一艘可疑船只正向我沿海靠近，便立即通知下处有一艘可疑船只正向我沿海靠近，便立即通知下 在在PQ上上B处巡逻的处巡逻的103号艇注意其动向，经检测，号艇注意其动向，经检测，AC=10海里，海里， BC=8海里，海里，AB=6海里，若该船只的速度为海里，若该船只的速度为12.8海里海里/小时，小时， 则可疑船只最早何时进入我领海？则
7、可疑船只最早何时进入我领海？ 东东 北北 P A B C Q D 分析：根据勾股定理的逆定可得出分析：根据勾股定理的逆定可得出 ABC是直角三角形，然后利用勾股定是直角三角形，然后利用勾股定 理的逆定理及直角三角形的面积公式可理的逆定理及直角三角形的面积公式可 求出求出PD的值，然后再利用勾股定理便的值，然后再利用勾股定理便 可求出可求出CD的长的长. 东东 北北 P A B C Q D 解：解：AC=10，AB=6，BC=8， AC2=AB2+BC2， 即即ABC是直角三角形。是直角三角形。 设设PQ与与AC相交于点相交于点D，根据三角形，根据三角形 面积公式有面积公式有BC AB=AC B
8、D 即即68=10BD，解得，解得BD=24/5 在在RtBCD中，中， 2222 24 8()6.4 5 CDBCBD 又又该船只的速度为该船只的速度为12.8海里海里/小时，小时， 需要需要6.412.8=0.5（小时）（小时）=30（分钟）进入我领海，（分钟）进入我领海， 即最早晚上即最早晚上10时时58分进入我领海分进入我领海. 解题反思：解题反思： 找出找出CD是为该船只进入我领海的最短路线，是为该船只进入我领海的最短路线， 也就是解题的关键所在也就是解题的关键所在.在解决航海的问题上，南在解决航海的问题上，南 北方向和东西方向是互相垂直的，可知北方向和东西方向是互相垂直的，可知PQ
9、AC， 又由又由ABC三边的数量关系可判定三边的数量关系可判定ABC是直角是直角 三角形，于是本题便构造成直角三角形应用勾及三角形，于是本题便构造成直角三角形应用勾及 其逆定理其逆定理. 运用勾股定理的逆定理解决问题有哪些收获？运用勾股定理的逆定理解决问题有哪些收获？ （1）要正确使用勾股定理的逆定理，只有弄清楚满足的关）要正确使用勾股定理的逆定理，只有弄清楚满足的关 系式系式a2+b2=c2,其中其中a,b是两较短边，是两较短边，c是最长边；最长边所对是最长边；最长边所对 的角才是直角的角才是直角. （2）在使用勾股定理的逆定理解决问题时，它与勾股定理）在使用勾股定理的逆定理解决问题时，它与勾股定理 是”黄金搭挡”，经常配套使用，即有时先用勾股定理，再是”黄金搭挡”，经常配套使用，即有时先用勾股定理，再 用其逆定理；有时先用其逆定理再用勾股定理，要视具体情用其逆定理；有时先用其逆定理再用勾股定理，要视具体情 况而定况而定. 课堂小结课堂小结 （3）勾股定理及其逆定理在解决航海问题时，理解方位角）勾股定理及其逆定理在解决航海问题时，理解方位角 的含义是前提，画出符合题意的图形，标明已知条件，转化的含义是前提，画出符合题意的图形，标明已知条件，转化 为解决直角三角形问题所需的条件为解决直角三角形问题所需的条件.
