1、勾股定理的最新考点 勾股定理是一个重要的工具性定理，它能为解决多方面的数学问题提供工具支持.下面举例展示其具体应用.应用1：“赵爽弦图”中，探求面积问题例1 （2020年金华）如图1，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形ABCD与正方形EFGH连结EG，BD相交于点O、BD与HC相交于点P若GO=GP，则S正方形ABCDS正方形EFGH的值是 （）A1+2B2+2C5-2D154解析：EG是正方形EFGH的对角线，OGP=45，GO=GP，BPG=67.5，BD是正方形ABCD的对角线，DBC=45，BCP=67.5，BP=BC，BGP=90，PG=GC,根据赵爽弦图的意义，得AF
2、-BF=FG，设BF=x,AF=y,则EG=2x，在直角三角形EFG中，根据勾股定理，得，EF=FG，EF=x，AF=（+1）x，在直角三角形ABF中，根据勾股定理，得，即，,=2+，选B.点评：赵爽弦图是勾股定理的一个典型图形，是证明勾股定理的典型图形之一，本题的解决也是勾股定理的一个重要应用.例2（2020年绍兴）如图2，直角三角形纸片的一条直角边长为2，剪四块这样的直角三角形纸片，把它们按图3放入一个边长为3的正方形中（纸片在结合部分不重叠无缝隙），则图3中阴影部分面积为 解析：根据题意，得，直角三角形的斜边长为3，直角边长为2，根据勾股定理，得另一直角边长为：=，直角三角形的面积为 =
3、，阴影部分的面积为4，应该填4.点评：这是赵爽弦图的一个新应用.应用2：动态变化中，探索三角形的面积例3（2020年黔东南）如图4，ABC和DCE都是等边三角形探究发现（1）BCD与ACE是否全等？若全等，加以证明；若不全等，请说明理由拓展运用（2）若B、C、E三点不在一条直线上，ADC=30，AD=3，CD=2，求BD的长（3）若B、C、E三点在一条直线上（如图5），且ABC和DCE的边长分别为1和2，求ACD的面积及AD的长思路剖析：第一问是三角形全等的判定问题，是有部分公共角的“蝴蝶三角形”模型的具体运用，确定模型，就能确定结论，就能作出正确的判断；第二问是在全等三角形基础上，利用全等三
4、角形的性质，把所求线段等量代换成直角三角形的斜边长，利用勾股定理可实现问题的破解；第三问，是一般与特殊思想的化身，是智慧思维的载体，是创新解法的“法宝”，是培养数学核心思维的广阔空间“抽屉”，是一题多解的肥沃土壤.本题给人以耳目一新的感觉，结构简洁，问题明确，导向清晰，注重数学思想方法，落实学科素养.思路简播：(1)BCD与ACE全等.证明略.（2）DCE是等边三角形，ADC=30,CDE=60，ADE=90,AD=3，CD=2，AE=,BD=（3）解法1：如图6，过点D作DMCE，垂足为点M，CA=CM=1，易证ADCMDC，AD=DM=，=.解法2：如图7，过点D作DFCE，交CA的延长线
5、于点F，易证DCF是等边三角形，AF=AC=1，ADAC，AD=，=.结论引申如图8，ABC和DCE都是等边三角形，且三角形的边长分别为1和n，则ACD的面积为，AD的长为解：如图8，过点D作DFBE，垂足为点F，在直角三角形CDF中，DF=，CF=，在CE上截取CG=CA=1,易证ADCGDC，=.在直角三角形DGF中，GF=-1，AD=DG=.应用3：动态变化中，探索线段的最小值例4（2020年广东）有一架竖直靠在直角墙面的梯子正在下滑，一只猫紧紧盯住位于梯子正中间的老鼠，等待与老鼠距离最小时扑捉.把墙面、梯子、猫和老鼠都理想化为同一平面内的线或点，模型如图9，点，分别在射线，上，长度始终
6、保持不变，为的中点，点到，的距离分别为4和2.在此滑动过程中，猫与老鼠的距离的最小值为_.解析：仔细观察梯子的运动过程，不难发现BE，BD都是定长，生成了动态三角形DEB，根据两点之间线段最短原理，可知，当B,E,D三点一线时，线段DE有最小值，如图10所示，过点D作DFBC，垂足为F，在直角三角形BMN中，根据斜边上的中线等于斜边的一半，得BE=2；在直角三角形BDF中，根据勾股定理，得BD=，所以DE的最小值为-2.点评：解答时，把握好三个关键点：一是直角三角形斜边中线原理；二是勾股定理；三是线段最短原理，又称三角形退化原理.特别是三角形退化原理，是求一类最值的常用工具，要熟练掌握，科学驾驭，灵活运用，继而提高解题效率.
