1、课前探究学习课前探究学习 课堂讲练互动课堂讲练互动 3 弧度制 课前探究学习课前探究学习 课堂讲练互动课堂讲练互动 【课标要求】 1了解角的另外一种度量方法弧度制 2能够熟练地在角度制和弧度制之间进行换算 3掌握弧度制中扇形的弧长公式和面积公式 【核心扫描】 1弧度制的概念(重点) 2扇形的弧长公式，面积公式(难点) 3函数思想在扇形面积公式中的应用(方法) 课前探究学习课前探究学习 课堂讲练互动课堂讲练互动 自学导引 1弧度的定义 在单位圆中长为1个单位长度的弧所对应的圆心角称为 ， 它的单位符号是 rad，读作 弧度把角度单位与长度单位 统一起来 1弧度的角 弧度 课前探究学习课前探究学习
2、 课堂讲练互动课堂讲练互动 2弧度制的定义 一般地， 任一正角的弧度数都是一个 ； 任一负角的弧度 数都是一个 ；零角的弧度数是 .这种以弧度作为单位 来度量角的单位制，叫做 3角度制与弧度制的互化 (1)360 rad；(2)180 rad；(3)1 180 rad； (4)1 rad 180 57.30 . 正数 负数 0 弧度制 2 课前探究学习课前探究学习 课堂讲练互动课堂讲练互动 4任意角的弧度数与实数的对应关系 (1)正角的弧度数是一个 ；负角的弧度数是一个 ； 零角的弧度数是 (2)弧度制确立了角的 ，与 成 关系 ：比值l r与所取的圆的半径大小是否有关？ 提示 比值 l r与
3、所取的圆的半径大小无关，而仅与角的大小有 关 正数 负数 零 弧度数 实数 一一对应 课前探究学习课前探究学习 课堂讲练互动课堂讲练互动 5弧长公式和扇形面积公式在弧度制下的表示 l|r ；S1 2lr 1 2r 2|a| (r 为圆的半径，|为弧度数，l 表示 弧长，S 为扇形面积) 课前探究学习课前探究学习 课堂讲练互动课堂讲练互动 名师点睛 1对弧度制定义的理解 (1)引入了弧度制后，统一了角度与长度的单位，使角的集合与 实数集之间建立了一一对应关系即每一个角都有唯一一个实 数(即这个角的弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有 唯一一个角(角的弧度数就等于这个实数)与它对应 (2)在
4、用公式| l r求圆心角时， 应注意其结果是圆心角的弧度数 的绝对值具体应用时，既要注意其大小，又要注意其正负 (3)同一个式子中，角度、弧度不能混合使用 课前探究学习课前探究学习 课堂讲练互动课堂讲练互动 2角度与弧度的互化 (1)弧度制与角度制的换算公式： rad 180 ； n n 180 rad. (2)一些特殊角的度数与弧度数的对应表： 度 0 15 30 45 60 75 90 120 135 150 弧度 0 12 6 4 3 5 12 2 2 3 3 4 5 6 度 180 210 225 240 270 300 315 330 360 弧度 7 6 5 4 4 3 3 2 5
5、 3 7 4 11 6 2 课前探究学习课前探究学习 课堂讲练互动课堂讲练互动 3.弧度制与角度制在表示角上的区别和联系 (1)两者的区别 弧度制是以“弧度”为单位度量角的单位制，角度制是以 “度”为单位度量角的单位制 1 弧度是等于半径长的圆弧所对的圆心角的大小，而 1 是圆 周的 1 360所对的圆心角的大小 课前探究学习课前探究学习 课堂讲练互动课堂讲练互动 (2)两者的联系 不管是以“弧度”还是以“度”为单位的角的大小都是一个 与圆的半径大小无关的定值，都是度量角的一种单位制 第一，用“弧度”为单位度量角时，“弧度”两字可以省略 不写， 但用“度”为单位度量角时， “度”(即“ ”)不
6、能省去； 第二，用“弧度”为单位度量角时，常常把弧度数写成多少 的形式，如无特别要求，不必把 写成小数， 例如 45 4弧度， 不必写成 45 0.785 弧度 课前探究学习课前探究学习 课堂讲练互动课堂讲练互动 题型一 角度制与弧度制的互化 【例 1】 将下列角转化为另一种形式表示： (1)18 ；(2) 3 10；(3)67 30；(4)2 rad. 思路探索 直接利用 1 180 rad,1 rad 180 进行转化 课前探究学习课前探究学习 课堂讲练互动课堂讲练互动 解 (1)18 180 rad(18) 10 rad. (2) 3 10 3 10 180 54 . (3)67 306
7、7.5 180 rad67.5 3 8 rad. (4)2 rad(2) 180 57.30 2114.60 . 规律方法 (1)进行角度与弧度换算时， 要抓住关系： rad180 ； (2)度数 180弧度数，弧度数 180 度数； (3)特殊角的度数与弧度数对应值要记熟 课前探究学习课前探究学习 课堂讲练互动课堂讲练互动 【训练 1】 (1)把 112 30化成弧度；(2)把 5 12 化成度 解 (1)112 30 225 2 225 2 180 5 8 . (2)5 12 5 12 180 75 . 课前探究学习课前探究学习 课堂讲练互动课堂讲练互动 题型二 弧长公式与扇形面积公式的应
8、用 【例 2】 已知扇形的周长为 8 cm，圆心角为 2 rad，求该扇形 的面积 思路探索 设出扇形的半径和弧长，利用弧长公式和扇形的周 长求出半径，问题即可解决 课前探究学习课前探究学习 课堂讲练互动课堂讲练互动 解 设扇形的半径为 r cm，弧长为 l cm，由圆心角为 2 rad，依 据弧长公式可得 l2r，从而扇形的周长为 l2r4r8，解得 r2，则 l4. 故扇形的面积 S1 2rl 1 2244(cm 2) 规律方法 有关扇形的弧长 l，圆心角 ，面积 S 的题目，一般 是知二求一的题目，解此类题目的关键在于灵活运用 l|r，S 1 2lr 1 2|r 2 两组公式，采用消元思
9、想 课前探究学习课前探究学习 课堂讲练互动课堂讲练互动 【训练 2】 一个扇形的面积为 1，周长为 4，求该扇形圆心角 的弧度数 解 设扇形的半径为 R，弧长为 l，则 2Rl4，l42R， 根据扇形面积公式 S1 2lR，得 1 1 2(42R) R， R1，l2， l R 2 12， 即扇形的圆心角为 2 rad. 课前探究学习课前探究学习 课堂讲练互动课堂讲练互动 题型三 用弧度表示区域角 【例 3】 (12 分)用弧度表示顶点在原点，始边重合于 x 轴的非 负半轴，终边落在阴影部分内的角的集合(不包括边界，如图所 示) 审题指导 用弧度表示区域角， 实质是角度表示区域角在弧度制 下的应
10、用，必要时，需进行角度与弧度的换算注意单位要统 一 课前探究学习课前探究学习 课堂讲练互动课堂讲练互动 【解题流程】 规范解答 (1)如图， 以 OA 为终边的角为 62k(kZ)； (2 分) 以 OB 为终边的角为2 32k(kZ)； (4 分) 阴影部分内的角的集合为 2 3 2k 62k，kZ . (6 分) 课前探究学习课前探究学习 课堂讲练互动课堂讲练互动 (2)如图，以 OA 为终边的角为 32k(kZ)； (7 分) 以 OB 为终边的角为2 32k(kZ)； (8 分) 不妨设右边阴影部分所表示的集合为 M1，左边阴影部分所表示的集 合为 M2，则 M1 2k 3 2k，kZ
11、 ，M2 2 3 2k2k，kZ . 阴影部分所表示的集合为： M1M2 2k 3 2k， 或2 3 2k2k， kZ. (12 分) 课前探究学习课前探究学习 课堂讲练互动课堂讲练互动 【题后反思】 一般解答本题易出现下列错误： (1)图的答案写成 6 2k4 3 2k，kZ ，此答案正 好表示图中除去阴影部分的区域(不含边界) (2)在一个集合中，角度制与弧度制混用 (3)对于图的结果能求并集但未求 课前探究学习课前探究学习 课堂讲练互动课堂讲练互动 【训练 3】 试求出图中所示阴影 区域所表示的角的集合 解 由于2 32 4 3，即 2 3 与 4 3 的 终边相同，因此阴影区域所表示的
12、角的集合为 42k 4 32k，kZ . 课前探究学习课前探究学习 课堂讲练互动课堂讲练互动 方法技巧 扇形的周长和面积中的函数思想 函数思想是中学数学的基本思想，函数思想方法也是历年高考 命题的重点 函数的思想是用运动和变化的观点，集合与对应的思想去分析 和研究数学问题中数量的关系，建立函数或构造函数，运用函 数的图像和性质去分析问题、 转化问题， 从而使问题获得解决 本节内容中， 求扇形的周长和面积的最值需用函数的思想解决 课前探究学习课前探究学习 课堂讲练互动课堂讲练互动 【示例】 扇形的周长 C 为定值，问当它的圆心角 取何值时 才能使该扇形面积 S 最大？最大值是多少？ 思路分析 由周长 C 列出关于半径 r 的面积表达式，再利用二 次函数求最值的方法求出其最值 解 设扇形半径为 r，则扇形的弧长为 C2r. S1 2(C2r) r r21 2Cr rC 4 2 C 4 2. 当 rC 4 即 C2r r 2 时，S 取最大值C 2 16. 课前探究学习课前探究学习 课堂讲练互动课堂讲练互动 方法点评 本题体现了函数与方程的思想 将变量 S 表达成关于 半径 r 的函数是解答本题的关键，同时优化了解题过程
