1、7 简单几何体的再认识 7.1 柱、锥、台的侧面展开与面积 在初中已经学过了正方体和长方体的表面积，你在初中已经学过了正方体和长方体的表面积，你 知道正方体和长方体的展开图与其表面积的关系吗？知道正方体和长方体的展开图与其表面积的关系吗？ 1 1掌握柱体、锥体、台体的侧面积公式掌握柱体、锥体、台体的侧面积公式.( (重点重点) ) 2 2能应用公式求柱体、锥体、台体的侧面积能应用公式求柱体、锥体、台体的侧面积, ,熟悉熟悉 柱体与锥体、台体之间的转换关系柱体与锥体、台体之间的转换关系.( (难点难点) ) 思考思考1: 1: 把圆柱的侧面沿着一条母线展开，得到什把圆柱的侧面沿着一条母线展开，得
2、到什 么图形么图形? ?展开的图形与原图有什么关系？展开的图形与原图有什么关系？ 提示：提示：长方形长方形 长方形的面积等于圆柱的侧面积长方形的面积等于圆柱的侧面积 探究点探究点1 1 圆柱、圆锥、圆台的侧面积圆柱、圆锥、圆台的侧面积 r l r2 长长 宽宽 l 2 rSSl 圆圆柱柱侧侧长长方方形形 p= 长方形长方形 将空间图形问题转化为平面图形问题，是解立将空间图形问题转化为平面图形问题，是解立 体几何问题最基本、最常用的方法体几何问题最基本、最常用的方法. . 特别提醒特别提醒 思考思考2:2:把圆锥的侧面沿着一条母线展开，得到把圆锥的侧面沿着一条母线展开，得到 什么图形什么图形?
3、?展开的图形与原图有什么关系？展开的图形与原图有什么关系？ 提示：提示：扇形扇形 扇形的面积等于圆锥的侧面积扇形的面积等于圆锥的侧面积 r l 2 r 扇 l lR 扇扇 扇形扇形 SS 圆锥侧扇 1 2 l lrlp= 扇 思考思考3:3:把圆台的侧面沿着一条母线展开，得到把圆台的侧面沿着一条母线展开，得到 什么图形什么图形? ?展开的图形与原图有什么关系？展开的图形与原图有什么关系？ 提示：提示：扇环扇环 扇环的面积等于圆台的侧面积扇环的面积等于圆台的侧面积 1 r 2 r l 扇环扇环 SS 圆台侧扇环 12 )rr lp+（ 注意转化！注意转化！ 证明如下：证明如下： 因为因为 即 1
4、 21 , rl x rr 所以所以 21 11 22 22 Sr lxr x 扇环 221 221 r lr xr x r lrrx 21 12) . r lrl rr l（ 在 S0 A 和 S0B中 S A B x l 扇 环 2 2 rp 1 2 rp 2 r 1 r oo 思考思考4 4：将圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式进行比将圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式进行比 较，你能发现它们的联系和区别吗？较，你能发现它们的联系和区别吗？ Srl 圆锥侧 p= () 12 Srr l 圆台侧 p=+ 1 0r = 2Srl 圆柱侧 p= 12 rrr= 例例1.1.一个圆柱形的锅炉，底面直径一个圆
5、柱形的锅炉，底面直径 , ,高高 ，求锅炉的表面积（保留，求锅炉的表面积（保留2 2个有效数字）个有效数字）. . 1dm= 2.3hm= 解：解： () 2 2 SS2S2 () 2 1 1 2.328.8. 4 d dh m 侧面积底面积 =+=+ =创+椿 pp pp 答：锅炉的表面积约为答：锅炉的表面积约为 2 8.8m . 答：圆台的侧面积为答：圆台的侧面积为600 cm600 cm2 2. . 例例2 2 圆台的上、下底面半径分别是圆台的上、下底面半径分别是10 cm10 cm和和20 cm,20 cm,它它 的侧面展开图的扇环的圆心角是的侧面展开图的扇环的圆心角是180180，那
6、么圆台的侧，那么圆台的侧 面积是多少？（结果中保留面积是多少？（结果中保留 ） 12 (rr ) AB 解解: :如图，设上底面周长为如图，设上底面周长为c,c,因为扇环因为扇环 的圆心角是的圆心角是180180，所以，所以c= SAc= SA 又因为又因为c=2 c=2 10=20 ,10=20 ,所以所以SA=20.SA=20. 同理同理SB=40.SB=40.所以，所以，AB=SBAB=SB- -SA=20,SSA=20,S圆台侧 圆台侧= = 2 (1020)20600 ().cm 12 (rr ) AB 圆台的上、下底面半径分别为圆台的上、下底面半径分别为2 2和和4 4，高为，高为
7、 ， 求其侧面展开图扇环所对的圆心角求其侧面展开图扇环所对的圆心角. . 2 3 答：答：180180 分析：分析：抓住相似三角形中的相似比是解题的关键抓住相似三角形中的相似比是解题的关键. 互动探究互动探究 () 2 222Srrlr rlppp=+=+ 圆柱表 () 2 Srrlr rlppp=+=+ 圆锥表 圆柱的表面积为：圆柱的表面积为： 圆锥的表面积为：圆锥的表面积为： 圆台的表面积为：圆台的表面积为： () 22 1212 Srrrlr lp=+ 圆台表 【提升总结提升总结】圆柱、圆台、圆锥表面积公式圆柱、圆台、圆锥表面积公式 思考思考1 1：把直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面分别沿着
8、一把直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面分别沿着一 条侧棱展开，分别得到什么图形？侧面积是多少？条侧棱展开，分别得到什么图形？侧面积是多少？ 类比圆柱、圆类比圆柱、圆 锥、圆台！锥、圆台！ 探究点探究点2 2 直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积 ) ch Sabdhch 直棱柱侧（ 其中 为底面周长， 为高 h a b d ab hh d h h 1 Sch 2 正棱锥侧 c h 其中 为底面周长， 为斜高， 即侧面等腰三角形的高. h h 1 Scc)h 2 正棱台侧 （ C C C C c ,c h 其中分别为上、下底面周长, 为斜高，即侧面等腰梯形的高. 思考思考2 2
9、：将直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积公式进将直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积公式进 行比较行比较, ,你能发现它们的联系和区别吗？你能发现它们的联系和区别吗？ 1 cc) 2 Sh 正棱台侧 （ 1 2 Sch 正棱锥侧 Schch 直棱柱侧 = c0= cc= 思考思考3 3：直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积公式之间直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积公式之间 有什么关系？有什么关系？ 提示：提示：直直棱柱和正棱锥都可以看作是由正棱台变化棱柱和正棱锥都可以看作是由正棱台变化 而成的几何体而成的几何体. .直直棱柱可以看作是上下底面全等的正棱柱可以看作是上下底面全等的正 棱台，正棱锥可以看作是上底面缩小成
10、一个点的正棱台，正棱锥可以看作是上底面缩小成一个点的正 棱台棱台. .观察它们的侧面积公式不难发现：观察它们的侧面积公式不难发现：直直棱柱和正棱柱和正 棱锥的侧面积公式都可以看作是由正棱台的侧面积棱锥的侧面积公式都可以看作是由正棱台的侧面积 公式演变而来的公式演变而来的. . 例例3 3：一个正三棱台的上、下底面边长分别是：一个正三棱台的上、下底面边长分别是3 cm3 cm和和 6 cm6 cm，高是，高是 求三棱台的侧面积求三棱台的侧面积. . 分析：分析：关键是求出斜高，注意图中的直角梯形关键是求出斜高，注意图中的直角梯形 3 cm 2 ， B B1 1 A A B B C C C C1
11、1 A A1 1 O O1 1 O O D D D D1 1 E E 解解 如图如图 1, O O分别是上分别是上、下底面的中心下底面的中心, ,则则 1 OO = = 3 2 , , 连接连接 11 AO并并延延长交长交 11 BC于于 1 D, ,连接连接AO并并延延长长交交BC 于于D, ,过过 1 D作作 1 D EAD于于E. . 在在 1 Rt D ED中中, , 11 3 2 D EO O, , 11 133 (63) 322 DEDOOEDOD O, , 2222 11 33 () +()3 22 DDD EDE, , 所以所以 2 1 127 3 =()(). 22 SccD
12、Dcm 正三棱台侧 答答: :三棱台的侧面积为三棱台的侧面积为 2 27 3 2 cm. . 1 1(2014(2014陕西高考陕西高考) )将边长为将边长为1 1的正方形以其一边的正方形以其一边 所在的直线为旋转轴旋转一周所在的直线为旋转轴旋转一周, ,所得几何体的侧面积所得几何体的侧面积 是是( ( ) ) A.4A.4 B.8B.8 C.2C.2 D.D. 2.2.正四棱锥底面边长为正四棱锥底面边长为6 ,6 ,高是高是4 4，中截面把棱锥截成，中截面把棱锥截成 一个小棱锥和一个棱台，则棱台的侧面积为一个小棱锥和一个棱台，则棱台的侧面积为_._. 4545 C C 1:4:6 3.3.一
13、个直角梯形上底、下底和高之比是一个直角梯形上底、下底和高之比是1 1: :2: 2: ，将此，将此 直角梯形以垂直于底的腰所在直线为旋转轴，旋转一周直角梯形以垂直于底的腰所在直线为旋转轴，旋转一周 形成一个圆台，则这个圆台上底面积、下底面积和侧面形成一个圆台，则这个圆台上底面积、下底面积和侧面 积的比是积的比是_._. 3 4.4. 某几何体的三视图如图所示某几何体的三视图如图所示, ,该几何体的表面该几何体的表面 积是积是_. _. 【解析解析】由三视图可由三视图可 知知, ,原几何体是一个底原几何体是一个底 面是直角梯形面是直角梯形, ,高为高为4 4 的直四棱柱的直四棱柱, ,其底面积其
14、底面积 为为 28 ,28 ,侧面积为侧面积为64,64, 故表面积为故表面积为92. 92. 9292 5 5一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，求这个一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，求这个 圆柱的表面积与侧面积的比圆柱的表面积与侧面积的比 【解析解析】设底面圆半径为设底面圆半径为r r，母线即高为，母线即高为h h 所以所以h h2r2r . 2 表 侧 S2 r2 rhrh S2 rhh r2 r1 2 2 r2 简单几何体的侧面积简单几何体的侧面积 几何体几何体 侧面展开图侧面展开图 侧面积公式侧面积公式 圆柱圆柱 S S圆柱侧 圆柱侧=_ =_ r r为底面半径为底面半径 l为为_
15、圆锥圆锥 S S圆锥侧 圆锥侧=_ =_ r r为底面半径为底面半径 l为为_ 2 2 r rl 侧面母线长侧面母线长 r rl 侧面母线长侧面母线长 几何体几何体 侧面展开图侧面展开图 侧面积公式侧面积公式 圆台圆台 S S圆台侧 圆台侧=_ =_ r r1 1为上底面半径为上底面半径 r r2 2为下底面半径为下底面半径 l为为_ 直棱柱直棱柱 S S直棱柱侧 直棱柱侧=_ =_ c c为底面为底面_ h为为_ (r(r1 1+r+r2 2) )l 侧面母线长侧面母线长 chch 周长周长 高高 正棱锥正棱锥 S S正棱锥侧 正棱锥侧=_ =_ c c为底面为底面_ hh为为_，即侧，即侧 面等腰三角形的高面等腰三角形的高 正棱台正棱台 S S正棱台侧 正棱台侧= = _ cc为上底面为上底面_ c c为下底面为下底面_ hh为为_，即侧，即侧 面等腰梯形的高面等腰梯形的高 1 2 chch 周长周长 斜高斜高 1 2 (c+c)h(c+c)h 周长周长 周长周长 斜高斜高
