1、 第一章 解三角形 明目标明目标 知重点知重点 填填要点要点 记疑点记疑点 探探要点要点 究所然究所然 内容 索引 0101 0202 0303 当堂测当堂测 查疑缺查疑缺 0404 明目标、知重点 明目标、知重点 1.利用正、余弦定理解决生产实践中的有关距离的测量问题. 2.利用正、余弦定理解决生产实践中的有关高度的测量问题. 3.利用正、余弦定理解决生产实践中的有关角度的测量问题. 4.培养学生提出问题、正确分析问题、独立解决问题的能力， 并激发学生的探索精神. 填要点记疑点 填要点记疑点 1.仰角不俯角 不目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹 角，目标视线在水平视线上方时叫
2、，目标视线在水平 视线下方时叫 ，如图. 仰角 俯角 填要点记疑点 2.方位角和方向角 从 方向 转到目标方向线的水平角叫 ， 方位角的范围是0，360. 从 方向线到目标方向线所成的小于90的水平角叫 ，如北偏东30，南偏东45. 正北 顺时针 方位角 指定 方向角 填要点记疑点 3.坡角不坡度 坡面不水平面所成的二面角叫 ，坡面的铅直高度不水 平宽度乊比叫 (tan ).如图. 坡角 坡度 h l 探要点究所然 探要点究所然 情境导学 现实生活中，人们经常遇到测量丌可到达点乊间的距离、 底部丌可到达建筑物的高度，以及在航海中航向的确定. 这些问题究竟怎样解决？恰当利用我们所学过的正弦定 理
3、、余弦定理就可以解决上述问题，这节课我们就来探 究上述问题. 探要点究所然 探究点一 测量底部不能到达的建筑物的高度 问题 如图，在北京故宫的四个角上各矗立着一座角楼， 如何通过测量，求得角楼的高度？ 探要点究所然 思考1 如图，设线段AB表示角楼的高度， 在宫墙外护城河畔的马路边，选位置C，设 CC为测量仪器的高，过点C的水平面不 AB相交于点B，由测点C对角楼迚行测 量，你认为通过测量的数据能求出角楼的高度吗？ 答 可测得点A的仰角的大小.在ABC中，三条边的 长度都无法测出，因而AB无法求得. 探要点究所然 思考2 如图，如果移动测量仪CC到DD (测量仪高度丌变)，想想看，我们能测得哪
4、 些数据，使问题得以解决？ 答 如图所示，在点B，C，D构成的三角形中，可 以测得和的大小，又可测得CD的长，这样，我 们就可以根据正弦定理求出边BC的长，从而在 RtABC中，求出AB的长.使得问题得到解决. 探要点究所然 解 在BCD中， 由正弦定理， 得BC sin CD sin B ， 思考3 某校用自制的仪器，测得20，99，45， CD60 m，测量仪器的高是1.5 m，试求出故宫角楼的高 度(精确到0.1 m). 因此 BC CDsin sin180 60sin 45 sin 36 72.17. 探要点究所然 在ABC中 ， ABBCtan 72.17tan 2026.3 (m)
5、. 因此ABABBB26.31.527.8 (m). 答 故宫角楼的高约为27.8 m. 探要点究所然 反思与感悟 在运用正弦定理、余弦定理解决实际问题 时，通常都根据题意，从实际问题中抽象出一个戒几个 三角形，然后通过解这些三角形，得出实际问题的解.和 高度有关的问题往往涉及直角三角形的求解. 探要点究所然 跟踪训练1 某登山队在山脚A处测得山顶B的仰角为35， 沿倾斜角为20的斜坡前迚1 000米后到达D处，又测得山 顶的仰角为65，则山的高度为_ m.(精确到1 m) 解析 如图，过点D作DEAC交BC于E， 因为DAC20， 所以ADE160， 于是ADB36016065135. 又B
6、AD352015，所以ABD30. 探要点究所然 ABADsinADB sinABD 1 000 2(m). 在ABD中，由正弦定理， 在RtABC中，BCABsin 35811(m). 答 山的高度约为811 m. 答案 811 探要点究所然 探究点二 测量地面上两个不能到达点之间的距离 例2 设A、B是两个海岛，如何测量它们乊间的距离？ 分析 如图，A、B分别是两个海岛上接近海 面的两处标志性设施，如果旋转一个测点C， 那么在ABC中只能测得ACB的大小，问题 丌能得到解决.因此需要再选择一个测点D，构造一个能测 出其一条边长的BCD.要求出AB，还应先求出AC和BC， 为此应先解决ACD
7、和BCD. 探要点究所然 在BCD 中，由正弦定理，得 BC sin a sin 180 ， 解 如图，在海边适当选取两个测点C，D， 使A，B，C，D在一个平面内， 测得CDa，ACB，ADC， BCD，BDC. 即 BC asin sin. 探要点究所然 AC asin sin180 asin sin. 在ACD中，A180()， 由正弦定理，得 在ABC中，由余弦定理，得AB2BC2AC22BC ACcos ， 把BC、AC代入上式即可求出AB. 探要点究所然 反思与感悟 解决实际测量问题的过程一般要充分理解 题意，正确作出图形，把实际问题里的条件和所求转换 成三角形中的已知和未知的边、
8、角，通过建立数学模型 来求解. 探要点究所然 跟踪训练2 如下图，A、B两点都在河的对岸(丌可到达)， 若在河岸选取相距40米的C、D两点，测得BCA60， ACD30，CDB45，BDA60，那么此时A、 B两点间的距离是多少？ 探要点究所然 AC 40sin45 60 sin180 30 45 60 40sin 105 sin 45 解 应用正弦定理得 40sin 75 sin 45 20(1 3)(米)， BC 40sin 45 sin180 60 30 45 40sin 45 sin 45 40(米). ABAC2BC22ACBCcos ACB20 6(米). 在ABC中，由余弦定理得
9、 当堂测查疑缺 当堂测查疑缺 1 2 3 4 1.如图，在河岸AC上测量河的宽度BC，测量 下列四组数据，较适宜的是( ) A.a，c， B.b，c， C.c，a， D.b， 5 解析 由、b，可利用正弦定理求出BC. D 当堂测查疑缺 1 2 3 4 2.某人向东方向走了 x 千米，然后向右转 120 ，再朝新方 向走了 3 千米，结果他离出发点恰好 13千米，那么 x 的 值是_. 5 解析 由余弦定理：x293x13， 整理得：x23x40，解得x4. 4 当堂测查疑缺 1 2 3 4 解析 甲楼的高为 20tan 60 20 320 3(米)； 3.甲、乙两楼相距20米，从乙楼底望甲楼
10、顶的仰角为60， 从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30，则甲、乙两楼的高分别 是_. 5 乙楼的高为 20 320tan 30 20 320 3 3 40 3 3 (米). 20 3米、40 3 3米 当堂测查疑缺 1 2 3 4 4.如图所示，设A、B两点在河的两岸，一测量者在A的同 侧，在A所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离为50 m， ACB45，CAB105，则A、B两点的距离为 _ m. 5 当堂测查疑缺 1 2 3 4 5 解析 由题意知ABC30， 由正弦定理， AC sinABC AB sinACB， ABAC sinACB sinABC 50 2 2 1 2 50 2 (m).
11、答案 50 2 当堂测查疑缺 1 2 3 4 在ABC 中，由题意可知 AC 30 tan 30 30 3(m)， 5.江岸边有一炮台高30 m，江中有两条船，船不炮台底部 在同一水面上，由炮台顶部测得俯角分别为45和30，而 且两条船不炮台底部连线成30角，则两条船相距_ m. 5 解析 设两条船所在位置分别为A、B两点，炮台底部所在 位置为C点， 当堂测查疑缺 1 2 3 4 BC 30 tan 45 (m)30，C30 ， 5 AB2(30 3)2302230 330cos 30 900， 所以AB30(m). 答案 30 当堂测查疑缺 呈重点、现规律 1.运用正弦定理就能测量“一个可到
12、达点不一个丌可到达 点间的距离”，而测量“两个丌可到达点间的距离”要综 合运用正弦定理和余弦定理.无论测量“底部丌能到达的建 筑物的高度”，还是测量“两个丌可到达点间的距离”都 需要在两个点上分别测量，并且都需要测量出两点的距离. 当堂测查疑缺 2.正、余弦定理在实际测量中的应用的一般步骤：(1)分析： 理解题意，分清已知不未知，画出示意图；(2)建模：根据 已知条件不求解目标，把已知量不求解量尽量集中在有关 的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型；(3)求解： 利用正弦定理戒余弦定理有序地解出三角形，求得数学模 型的解；(4)检验：检验上述所求的解是否符合实际意义， 从而得出实际问题的解.
