1、数数 列列 第二章第二章 2.2 等差数列等差数列 第二章第二章 第第1课时课时 等差数列的概念及通项公式等差数列的概念及通项公式 课前自主预习课前自主预习 汉朝的天文著作周髀算经中有记载，大意如下：在平 地上立八尺高的髀，日中测影，在二十四节气中：冬至影长1 丈3尺5寸，以后每一节气影长递减9寸9 1 6 分；夏至影最短，仅 长1尺6寸，以后每一节气影长递增9寸9 1 6 分如果把这些影长 记录下来，会构成一个什么样的数列呢？ 1等差数列的定义 一般地，如果一个数列从_起，每一项 与它的前一项的差等于_，那么这个 数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列 的_，公差通常用字母d表示若公差d
2、0，则这个数列为_ 第2项 同一个常数 公差 常数列 2等差数列的递推公式与通项公式 已知等差数列an的首项为a1，公差为d，则有： 3.等差中项 如果三个数a，A，b成等差数列，那么A叫做a与 b的_即A_. 递推公式 通项公式 anan1d(n2) an_ a1(n1)d 等差中项 ab 2 1.下列数列是等差数列的是( ) A.1 3， 1 5， 1 7， 1 9 B1， 3， 5， 7 C1，1,1，1 D0,0,0,0 答案 D 解析 1 5 1 3 1 7 1 5，故排除A； 31 5 3， 故排除B； 111(1)，故排除C，选D. 2等差数列1，1，3，5，89， 它的项数为(
3、 ) A92 B47 C46 D45 答案 C 解析 a11，d112，an1 (n1)(2)2n3， 由892n3，得n46. 3方程x26x10的两根的等差中项为 ( ) A1 B2 C3 D4 答案 C 解析 设方程x26x10的两根为 x1、x2，则x1x2 6. 其等差中项为x 1x2 2 3. 4已知a，b，c成等差数列，那么二次函数y ax22bxc的图象与x轴的交点有_ 个 答案 1或2 解析 a，b，c成等差数列，2ba c， 又4b24ac(ac)24ac(ac)20. 5(2013重庆文，12)若2，a，b，c,9成等差 数列，则ca_. 答案 7 2 解析 设公差为d，
4、则924d， d7 4. ca2d7 2. 6已知a，b，c成等差数列，证明：a2(b c)，b2(ac)，c2(ab)成等差数列 解析 a，b，c成等差数列，2bac. a2(bc)c2(ab)2b2(ac)a2ba2c ac2bc22ab22b2ca2cac2ab(a2b) bc(c2b)ac(ac)2abc2abc2abc 0， a2(bc)，b2(ac)，c2(ab)成等差数列 课堂典例讲练课堂典例讲练 已知数列的通项公式为an6n1， 问这个数列是等差数列吗？若是等差数列， 其首项与公差分别是多少？ 解析 an1an6(n1)1(6n1) 6(常数)， an是等差数列，其首项a161
5、15， 公差为6. 点评 判断一个数列an是否为等差数列， 只要依据定义验证an1and(d为常数)是否 成立 等差数列的定义及判定 若 1 bc ， 1 ac ， 1 ab 成等差数列，求证：a2，b2，c2成等 差数列 解析 由已知得 1 bc 1 ab 2 ac， 即 2bac bcab 2 ca. 即(2bac)(ca)2(bc)(ab) a2c22b2， a2，b2，c2成等差数列. 在等差数列an中： (1)已知a51，a82，求a1与d； (2)已知a1a612，a47，求a9. 分析 根据等差数列的通项公式ana1(n 1)d，由条件可建立关于a1、d的二元一次 方程组解出a1
6、、d. 等差数列的通项公式 解析 (1)由题意知 a151d1 a181d2 ， 解得 a15 d1 . (2)由题意知 a1a161d12 a141d7 ， 解得 a11 d2 . a9a1(91)d18217. an是首项为a11，公差d3的等差数列， 如果an22，则n等于( ) A6 B7 C8 D9 答案 C 解析 由题意，得ana1(n1)d13(n 1)3n2， 又an22， 3n222，n8. 甲公司2009年经销一种数码产品， 获利200万元，从2010年起，预计其利润每年 比上一年减少20万元，按照这一规律，如果 公司不开发新产品，也不调整经营策略，从 哪一年起，该公司经销
7、这一产品将亏损？ 分析 由题意知每年获利构成等差数列 an，不难知道a1200，anan120， n2，nN，然后可以求出通项公式an.由题 意知数列为递减数列，令an0，解不等式即 可获得答案 等差数列的实际应用 解析 记2009年为第一年，由题设可知第1 年获利200万元，第2年获利180万元，第3年 获利160万元，每年获利构成等差数列 an，且当an0时，该公司会出现亏损 设从第1年起，第n年的利润为an，且a1 200，公差d20. 所以ana1(n1)d22020n.由题意知数 列为递减数列，故令an0，即an220 20n11，即从第12年起，也就是从 2020年开始，该公司经销
8、此产品将亏损 某地区2002年底沙漠面积为9105km2.地质 工作者为了解这个地区沙漠面积的变化情况， 从2003年开始进行了连续5年的观测，并在每 年底将观测结果记录如下表： 观测年份 该地区沙漠面积比原有面积增加数/km2 2003 2 000 2004 4 000 2005 6 001 2006 7 999 2007 10 001 请根据上表所给的信息进行预测如果不采 取任何措施，到2015年底，这个地区的沙漠 面积将大约变成多少？ 解析 从表中的数据看，该地区每年沙漠面 积比原有面积的增加数是一个等差数列，公 差约为d2 000，a2 015a2 0078d10 001 2 0008
9、0.26105km2，再加上原有的沙漠 面积9105km2，到2015年底，该地区的沙漠 面积大约变成9.26105km2. 易错疑难辨析易错疑难辨析 已知数列an，a1a21，anan12(n 3) (1)判断数列an是否为等差数列？说明理由； (2)求an的通项公式 错解 (1)anan12， anan12(为常数)，an是等差数列 (2)由上述可知，an12(n1)2n1. 辨析 忽视首项与所有项之间的整体关系，而 判断特殊数列的类型是初学者易犯的错误事 实上，数列an从第2项起，以后各项组成等差 数列，而an不是等差数列，anf(n)应该表示为 “分段函数”型 正解 (1)当n3时，anan12， 即anan12. 当n2时，a2a10不满足上式 an不是等差数列 (2)a21，anan12(n3)， a3a223.a3a22. 当n3时，anan12. ana2(n2)d12(n2)2n3， 又a11不满足式 an 1n1 2n3n2 .
