1、数数 列列 第二章第二章 2.3 等比数列等比数列 第二章第二章 第第2课时课时 等比数列的性质等比数列的性质 课前自主预习课前自主预习 古埃及国王拉阿乌斯有位能干的文书阿默 斯他用象形文字写了一部算书，记录了 公元前2000年前1 700年间数学研究的一些成 果其中有这样一题，题中画了一个阶梯，其 各级注数为7,49,343,2 401,16 807.并在数旁依次 画了人、猫、鼠、大麦和量器原书上并无任 何说明，遂成为数学史上的一个难解之谜.2 000 多年中无人能解释你能解释吗？它们是否为 等比数列？ 1等比数列的项与序号的关系 (1)两项关系 通项公式的推广： anam_(m、nN*)
2、(2)多项关系 项的运算性质 若mnpq(m、n、p、qN*)， 则aman_. 特别地，若mn2p(m、n、pN*)， 则aman_. qnm ap aq a2 p 2等比数列的项的对称性 有穷等比数列中，与首末两项“等距离”的两项之积等于 首末两项的积(若有中间项则等于中间项的平方)，即 a1 an a2 _ak _ (n 为正奇数) an1 ank1 3等比数列的运算数列的性质 (1)若an是公比为 q 的等比数列，则 c an(c 是非零常数)是公比为_的等比数列； |an|是公比为_的等比数列 (2)若an、bn分别是公比为 q1、q2的等比数列，则数列 an bn是公比为_的等比数
3、列 cq |q| q1 q2 1.在等比数列an中，a116，a48，则a7( ) A4 B 4 C2 D 2 答案 A 解析 由等比数列的性质，得a2 4a1a7， a7a 2 4 a1 64 164. 2已知等比数列an的公比为正数，且a3 a92a 2 5 ，a2 1，则a1( ) A.1 2 B. 2 2 C. 2 D2 答案 B 解析 a3 a9a2 6，a 2 62a 2 5，(a 6 a5) 22，q22. 又q0，q 2.又a21，a1a2 q 1 2 2 2 . 3(20132014学年度山东济宁市微山一中 高二期末测试)已知等比数列an中，a1、a13 是方程x28x10的
4、两个根，则a7等于 ( ) A1或1 B1 C1 D2 答案 C 解析 由题意得 a1a138 a1a131 ，a10，a130. 又等比数列an中，a2 7a1a131， a7 1.又a7与a1、a13同号，a71. 4等比数列an中，a1a9256，a4a640， 则公比q的值为_ 答案 2，2，1 2或 1 2 解析 a4a6a1a9256，a4a640， a4与a6是方程x240x2560的两根， a432 a68 或 a48 a632 ， a6a4q2，q24或1 4，q 2，或 1 2. 5在等比数列an中，a33，a76，则a11 _. 答案 12 解析 a7a3q4，q4a7
5、a32， a11a7 q46212. 6已知数列an为等比数列 (1)若an0，且a2a42a3a5a4a636，求a3 a5的值； (2)若a1a2a37，a1a2a38，求数列an 的通项公式 解析 (1)解法一：an0，a10，q0. 又a2a42a3a5a4a636， a1q a1q32a1q2 a1q4a1q3 a1q536， 即a2 1q 42a2 1q 6a2 1q 836， a2 1q 4(12q2q4)36， 即a2 1q 4(1q2)236. 又an0，a1q2(1q2)6， a3a5a1q2a1q4a1q2(1q2)6. 解法二：a2a42a3a5a4a636， a2 3
6、2a3a5a 2 536， (a3a5)236， 又an0，a3a56. (2)a2 2a1a3， 代入已知，得a3 28，a22. 设数列an的前三项为2 q，2,2q， 则有2 q22q7. 整理得，2q25q20，q2或q1 2. a11 q2 ，或 a14 q1 2 . an2n 1，或a n4(1 2) n123n. 课堂典例讲练课堂典例讲练 等比数列的性质 在等比数列an中，(1)若已知a24，a5 1 2，求an；(2)若已知a3a4a58，求a2a3a4a5a6的值 分析 本题主要考查等比数列的定义、性质及等比中项 的灵活运用 解析 (1)设公比为q，则a5 a2q 3，即q3
7、1 8. q1 2，ana5q n5(1 2)( 1 2) n5 (1 2) n4. (2)a3a4a58，又a3a4a5a3 4，a42. a2a3a4a5a6a5 42 532. 点评 等比数列通项公式推广结论anamqn m适用于m、 nN*中任意值，可以nm，也可以nm. 在等比数列an中，已知a7a125，则 a8a9a10a11( ) A10 B25 C50 D75 答案 B 解析 解法一：a7 a12a8 a11a9 a105， a8 a9 a10 a115225. 解法二：由已知得a1q6 a1q11a2 1q 175， a8 a9 a10 a11a1q7 a1q8 a1q9
8、a1q10a4 1 q 34(a2 1q 17)225. 对称法设未知项 已知四个数前三个成等差，后三个成等比，中 间两数之积为16，首尾两个数之积为128，求这四个数 分析 求四个数，给出四个条件，若列四个方程组成方 程组虽可解，但较麻烦，因此可依据条件减少未知数的个 数设未知数时，可以根据前三个数成等差来设，也可以依据 后三个数成等比来设，还可以依据中间(或首尾)两数之积来 设，关键是要把握住未知量要尽量少，下一步运算要简捷 解析 设四个数为2a q a、a q、a、aq， 则由题意得 a2 q 16 2a q a aq128 ， 解得 a8 q4 或 a8 q4 . 因此所求的四个数为4
9、,2,8,32或4，2，8，32. 点评 (1)根据四个数中前3个成等差、后三个成等比列 方程时，可以据后三个成等比用a、q表示四个数，也可以据 前三个成等差，用a、d表示四个数，由于中间两数之积为 16，将中间两个数设为 a q ，aq这样既可使未知量减少，同时解 方程也较为方便 (2)注意到中间两数的特殊地位，可设第三个数为x，则第 二个数为 16 x ，则第一个数为 32 x x，最后一个数为 x3 16 ，再利用 首尾两数之和为128可列出关于x的方程 x3 16 32 x x 128， 解之得x 8，则更简捷 三个互不相等的数成等差数列，如果适当排 列三个数，又可成为等比数列，这三个
10、数的 和为6，则这三个数为_ 答案 4,2,8 分析 三个数适当排列，不同的排列方法有 6种，但这里不必分成6种，因为若以三个数 中哪一个数为等比中项分类，则只有三种情 况，因此对于分类讨论问题，恰当的分类是 解决问题的关键 解析 由已知，可设这三个数为ad，a， ad，则adaad6，a2， 这三个数可表示为2d,2,2d， 若2d为等比中项，则有(2d)22(2d)， 解之得d6，或d0(舍去)此时三个数为 4,2,8. 若2d是等比中项，则有(2d)22(2d)， 解之得d6，或d0(舍去)此时三个数为 8,2，4. 若2为等比中项，则22(2d)(2d)， d0(舍去) 综上可知此三数
11、为4,2,8. 运用等比数列性质anam qnm(m、nN) 解题 已知数列an是各项为正的等比数列，且q 1，试比较a1a8与a4a5的大小 解析 解法一：由已知条件a10，q0，且q1，这时 (a1a8)(a4a5)a1(1q7q3q4) a1(1q3) (1q4) a1(1q)2(1qq2)(1qq2q3)0， 显然，a1a8a4a5. 解法二：利用等比数列的性质求解 由于(a1a8)(a4a5)(a1a4)(a5a8) a1(1q3)a5(1q3)(1q3)(a1a5) 当0a4a5. 点评 这是一个等比数列基本题，要求灵活运用等比数 列的定义及通项公式，找出已知条件与所求结论之间的关
12、系， 解法1是直接利用a1与q来表示已知条件，解法2是利用等比数 列的性质anam qn m，建立已知条件与所求结论之间的直接关 系，使得运算简捷 已知等比数列an中，a2a6a101，求a3a9. 解析 解法一：由等比数列的性质，得 a3 a9a2 a10a2 6， 又a2 a6 a101，a3 61，a61，a3 a91. 解法二：由等比数列的通项公式，得 a2 a6 a10(a1q) (a1q5) (a1q9)a3 1 q 15(a 1q 5)31， a1q51，a3a9(a1q2) (a1q8)a2 1q 10(a 1q 5)21. 易错疑难辨析易错疑难辨析 三个正数能构成等比数列，它
13、们的积是27，平 方和为91，则这三个数为_ 错解 1,3,9或1,3，9 设三数为a q，a，aq，则 a q a aq27 a q 2a2a2q291 由得a3代入中得q 3或q 1 3. 当q3时，三数为1,3,9；当q3时，三数为1，3， 9；当q1 3时三数为9,3,1；当q 1 3时，三数为9,3，1. 综上可知此三数为1,3,9或1,3，9. 辨析 错解没有注意到“三个正数 成等比数列”，因此 应有公比 q0. 正解 1,3,9 设三数为a q，a，aq，则 a q a aq27 a q 2a2a2q291 由得a3，代入中得q 3或q 1 3， 三个数为正数，q0，q3或1 3. 当q3时，三数为1,3,9；当q1 3时，三数为9,3,1. 综上知，这三个数为1,3,9.
