1、1二、积分上限的函数及其导数二、积分上限的函数及其导数 三、牛顿三、牛顿 莱布尼兹公式莱布尼兹公式 一、引例一、引例 第四节微积分的基本公式 第六六章 2 在上一节我们已经看到，直接用定义在上一节我们已经看到，直接用定义计算定积分是十分麻烦的，因此我们期计算定积分是十分麻烦的，因此我们期望寻求一种计算定积分的简便而又一般望寻求一种计算定积分的简便而又一般的方法。我们将会发现定积分与不定积的方法。我们将会发现定积分与不定积分之间有着十分密切的联系，从而可以分之间有着十分密切的联系，从而可以利用不定积分来计算定积分。利用不定积分来计算定积分。3变速直线运动中位置函数与速度函数的联系变速直线运动中位
2、置函数与速度函数的联系变速直线运动中路程为变速直线运动中路程为 21)(TTdttv另一方面这段路程可表示为另一方面这段路程可表示为)()(12TsTs).()()(1221TsTsdttvTT ).()(tvts 其中其中 一、问题的提出一、问题的提出4 xadxxf)(考察定积分考察定积分 xadttf)(.)()(xadttfx记记 变上限积分函数变上限积分函数或或积分上限函数积分上限函数 二、变上限积分函数及其导数二、变上限积分函数及其导数ya0 xxy=f(x)(x)b5abxyo变上限变上限积分积分函数的性质：函数的性质：xx 证证dttfxxxxa )()()()(xxx dtt
3、fdttfxaxxa )()()(x x6 dttfdttfdttfxaxxxxa )()()(,)(xxxdttf由积分中值定理得由积分中值定理得xf )(,xxx xx ,0),(fx )(limlim00 fxxx ).()(xfx abxyoxx )(x xdttfdttfxaxxa )()(7注注1.此定理表明连续函数取变上限定积分再对此定理表明连续函数取变上限定积分再对上限自变量上限自变量 x求导，其结果就等于被积求导，其结果就等于被积函数在上限自变量函数在上限自变量x处的函数值。处的函数值。若上限不是若上限不是x而是而是x的函数的函数a(x)，则求导时必则求导时必须按复合函数的求
4、导法则进行须按复合函数的求导法则进行,即：即：bxttfxd)(dd)(xf 定理证明了连续函数的原函数是存在的定理证明了连续函数的原函数是存在的.同时为同时为通过原函数计算定积分开辟了道路通过原函数计算定积分开辟了道路.2.3.若上限不是若上限不是x而是常数，下限是而是常数，下限是x的函数的函数变变限函数，限函数，则求导时必须先换限，即：则求导时必须先换限，即：d)(dd xbttfx xbttfxd)(dd4.8一般情况一般情况)()(d)(ddxbxattfx )()()()(xaxafxbxbf )()()()(ddd)(ddd)(ddxaauaxauxaxafxuttfuttfx可导
5、，则可导，则连续，连续，如果如果)(),()(xbxatfd)(d)(dd)(0)(0 xaxbttfttfxd)(d)(dd0)()(0ttfttfxxaxb 5.?d)(dd baxxfx思考：思考：09例例1 1 求求.delim21cos02xtxtx 00分析分析：这是这是 型不定式，应用洛必达法则型不定式，应用洛必达法则.解解 1cosdedd2xttx,deddcos12 xttx)(cose2cos xx,esin2cos xx 21cos0delim2xtxtx xxxx2esinlim2cos0 .e21 10例例2.确定常数确定常数 a,b,c 的值的值,使使).0(d)
6、1ln(sinlim20 ccttxxaxbx解解:,0sin0 xxax时,0 c.0 b00原式原式=)1ln(coslim20 xxax cxxax 20coslim c 0,故故221cos1xx.21 c.1 a11.)4(2cos212sin21)()()(2 0 fxxxxxdttfxfxfx为任意实数，求为任意实数，求其中其中，满足满足处处连续，且处处连续，且设设 解解)2cos212sin21()(2 0 xxxxdttfxxxxxxxf2sin2cos22sin2)(即即xxx2cos22 2cos22)4(f故故.2 例例3.12 ttf txfxd)()(0例例4.,0
7、)(,),0)(xfxf且内连续在设证明)(xFttf txd)(0ttfxd)(0在),0(内为单调递增函数.证证:)(xF20d)(ttfxttfxfxxd)()(020d)(ttfxttfxfxd)()(0)(tx0.)0)(内为单调增函数，（在xF只要证0)(xF 20d)(ttfxxfx)()()(xf)0(x13证证令令,1)(2)(0 dttfxxFx,1)(xf,0)(2)(xfxF)(xF在在1,0上上为为单单调调增增加加函函数数.,01)0(F 10)(1)1(dttfF 10)(1dttf所以所以0)(xF即原方程在即原方程在1,0上只有一个解上只有一个解.0 14 前述
8、变速直线运动的路程问题表明：定积前述变速直线运动的路程问题表明：定积分的值等于被积函数的一个原函数在时间区分的值等于被积函数的一个原函数在时间区间上的增量，这个事实启发我们去考察一般间上的增量，这个事实启发我们去考察一般的情况，得到肯定的回答。这就是微积分基的情况，得到肯定的回答。这就是微积分基本公式。本公式。定理定理（微积分基本公式）（微积分基本公式）三、三、Newton-LeibnizNewton-Leibniz公式公式15 已知已知)(xF是是)(xf的一个原函数，的一个原函数，又又 dttfxxa )()(也也是是)(xf的的一一个个原原函函数数,CxxF )()(,bax 令令ax
9、,)()(CaaF 0)()(dttfaaa,)(CaF,)()(CdttfxFxa ),()()(aFxFdttfxa 令令 bx).()()(aFbFdxxfba 牛顿牛顿莱布尼茨公式莱布尼茨公式 证证16dxxfba)(baxF)(注注微积分基本公式表明：微积分基本公式表明：（2 2）N-LN-L公式揭示了积分学两类基本问题即不公式揭示了积分学两类基本问题即不定积分与定积分两者之间的内在联系定积分与定积分两者之间的内在联系.（3 3）求定积分问题转化为求原函数的问题）求定积分问题转化为求原函数的问题.（4 4）为定积分的计算提供了一个普遍、有效而又为定积分的计算提供了一个普遍、有效而又简
10、便的方法，使得定积分的计算大为简化。简便的方法，使得定积分的计算大为简化。注意注意当当ba 时，时，)()()(aFbFdxxfba 仍成立仍成立.)()(aFbF 17 102dxx例例1 求的一个原函数，的一个原函数，是被积函数是被积函数因为因为233xx 解.3130313d 33103102 xxx莱布尼茨公式，有莱布尼茨公式，有根据牛顿根据牛顿显然比用定义的方法简便得多显然比用定义的方法简便得多18.)1sincos2(20 dxxx解解 原式原式20cossin2）（xxx .23 例例2 2 求求 ）（）（00cos0sin2cossin2222 例例3.计算计算.1d312 x
11、x解解:xxxarctan1d312 13)1arctan(3arctan 3 127)4(19例例4 4 求求 .,max222 dxxx解解由图形可知由图形可知xyo2xy xy 122,max)(2xxxf,21100222 xxxxxx 21210022dxxxdxdxx原原式式.211 213102023312131xxx 20例例5.计算正弦曲线计算正弦曲线轴所围成轴所围成上与上与在在xxy,0sin 的图形的面积的图形的面积.解解:0dsinxxAxcos 0112yoxxysin21例例6 计算计算 30 3dxex解解 30 3dxex 30 )3(33xdex3033xe)
12、1(3 e例例7 计算计算 10 241dxx解解 10 241dxx102arcsin）（x 6.arcsind122Caxxxa 22例例8 计算计算 edxxx1 ln1 解解 edxxx1 ln1 exdx1 )ln1()ln1(ex 1 22)ln1(212 23 例例9 计算计算 462cos xdx 462cos xdx解解 4622cos1 dxx23 4646)2(cos2 21 21xxddx)sin221)64(2146x（)211(211221 8124 4622cos1 dxx241.积分上限函数积分上限函数 xadttfx)()(2.积分上限函数的导数积分上限函数的
13、导数)()(xfx 3.微积分基本公式微积分基本公式)()()(aFbFdxxfba 牛顿莱布尼茨公式沟通了微分学与积分学牛顿莱布尼茨公式沟通了微分学与积分学之间的关系称之为微积分基本公式。之间的关系称之为微积分基本公式。注意注意 使用公式的条件使用公式的条件:（1 1）被积函数）被积函数 f(x)连续连续;（2 2）F(x)是是 f(x)在该区间上的任一原函数在该区间上的任一原函数四、小结四、小结25作业作业P184.5.单号 6.26练习题计算下列各定积分：计算下列各定积分：1 1.2122)1(dxxx;2;2.111dxeexx;3 3.012241133dxxxx;4;4.20sin
14、dxx .27练习题解答练习题解答dxxx 2122)1(.1dxxdxx 212122121213131xx 652 dxeexx 111.2 111)1(xxeed11)1ln(xe1 28 012341133.3dxxxx 0122)113(dxxx 010122113dxxdxx01013arctan xx41 20sin.4dxx 20sinsindxxdxx 20sinsinxdxxdx 20coscosxx4 29习题5-21.1.求下列函数在指定点的导数求下列函数在指定点的导数)1(,1)()2()2(,11)()1(2312 求设求设dttxdttxxx2.2.求下列极限求下
15、列极限200020arctanlim)2(coslim)1(xtdtxtdtxxxx 303.3.求下列定积分求下列定积分 2025010322021102121231221021221)10(42)9()1()8()cos3(sin)7(ln)6(11)5(11)4(11)3()1()2()1()1(dxxxdxxdxxxdxxxdxxxdxxdxxdxxdxxdxxe31习题习题5-2答案答案1)10(13)9(815)8(121)7(21)6(2ln)5(3)4(12)3(31)2(0)1.(321)2(1)1.(22)2(51)1.(1 32例例6.汽车以每小时 36 km 的速度行驶
16、,速停车,2sm5a解解:设开始刹车时刻为,0t则此时刻汽车速度0v)(10sm)(sm3600100036刹车后汽车减速行驶,其速度为tavtv0)(t510当汽车停住时,0)(tv即,0510 t得(s)2t故在这段时间内汽车所走的距离为20d)(ttvs20d)510(tt22510tt(m)1002)(36hmk刹车,问从开始刹到某处需要减设汽车以等加速度车到停车走了多少距离?333234)(2xxxf备用题备用题解解：1.设,d)(2d)()(20102xxfxxfxxxf求).(xf定积分为常数,d)(10axxf设bxxf20d)(abxxxf2)(2,则10d)(xxfa33x
17、22bxax20120d)(xxfb33x22bxax202ab2231ab4238,31a34b故应用积分法定此常数.342.求解解：20dsin2sinxxnxIn的递推公式(n为正整数).由于,dsin)1(2sin201xxxnIn因此1nnII20d)12cos(2xxn20dsinsin)12cos(2xxxxn12)1(21nn1nnII12)1(21nn所以),3,2(n2dcos2201xxI其中35一一、填填空空题题：1 1、baxdxedxd22=_ _ _ _ _ _ _ _ .2 2、xadxxfdxd)(_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .3 3、223)
18、1ln(xdtttdxd_ _ _ _ _ _ _ _ .4 4、20)(dxxf_ _ _ _ _，其其中中 21,210,)(2xxxxxf .5 5、设、设 ,coscos1nxdxmxI dxnxmx sinsin，练练 习习 题题36（1 1）、当）、当nm 时，时，1I=_,2I=_ _，（2 2）、当）、当nm 时，时，1I=_,_,2I=_.6 6、设、设,sincos nxdxmx（1 1）、当）、当nm 时，时，3I=_ _,（2 2）、当）、当nm 时，时，3I=_.7 7、94)1(dxxx_.8 8、33121xdx_.9 9、xdttxx020coslim_.37二
19、、二、求导数：求导数：1 1、设函数设函数)(xyy 由方程由方程0cos00 xyttdtdte所确所确定，求定，求dxdy ；2 2、设设 12122,ln,lnttuduuyuduux)1(t,求求22dxyd ；3 3、xxdttdxdcossin2)cos(；4 4、设、设 2031)(xxdxxg，求，求)1(g .38三三、计计算算下下列列各各定定积积分分：1 1、2122)1(dxxx;2 2、212121xdx;3 3、012241133dxxxx;4 4、20sindxx .四、四、求下列极限：求下列极限：1、xtxtxdtedte022022)(lim;2、2502021
20、)cos1(limxdttxx .39五、五、设设)(xf为连续函数，证明为连续函数，证明:xxtdtduufdttxtf000)()(.六、六、求函数求函数 xdttttxf02113)(在区间在区间 1,0上的最上的最大值与最小值大值与最小值.七、七、设设 时，时，或或，当，当时，时，当当 xxxxxf000,sin21)(求求 xdttfx0)()（在在),(内的表达式内的表达式 .40八、八、设设 baxf,)(在在上连续且上连续且,0)(xf xaxbtfdtdttfxF)()()(,证明：证明：（1 1）、）、2)(xF ;（2 2）、方程）、方程0)(xF在在),(ba内有且仅有一个根内有且仅有一个根.41一、一、1 1、0 0；2 2、)()(afxf；3 3、)1ln(23 xx ；4 4、65；5 5、(1)(1),；(2)0,0 (2)0,0；7 7、;6145 8 8、6；9 9、1.1.二、二、1 1、1sincos xx；2 2、tt ln212；3 3、)sincos()cos(sin2xxx ；4 4、2.三、三、1 1、852；2 2、3；3 3、14 ；4 4、4.4.练习题答案练习题答案42四、四、1 1、0 0；2 2、101.六、六、335,0.,0.七、七、xxxxx,10,)cos1(210,0)(.
