1、导数及其应用导数及其应用 第三章第三章 3.3 导数的应用导数的应用 第第3课时课时 导数的实际应用导数的实际应用 第三章第三章 课堂典例探究课堂典例探究 2 课课 时时 作作 业业 3 课前自主预习课前自主预习 1 课前自主预习课前自主预习 城市街道路灯是一道亮丽的风景线，路灯的设计既要考虑 景观效果，又要实用和节能，因此路灯的高度、路灯之间的距 离与道路的宽度等等要有合适的比例，才能取得最好效果若 要取得良好效果，则设计人员需要一定的数学知识. 1.求可导函数 yf(x)在a，b上的最大(小)值步骤如下： (1)_； (2)_. 2解决优化问题的基本思路是： 答案：1.(1)求 f(x)在
2、开区间(a，b)内所有极值点 (2)计算函 数 f(x)在极值点和端点的函数值，其中最大的一个为最大值， 最小的一个为最小值. 一 导数的实际应用 在生产生活中，常常会遇到要求在一定条件下使得用料最 少、消耗最省、用力最省或经营利润最大、生产效率最高、强 度最大等问题，需要寻求相应的最佳方案或最佳策略，这些都 是最优化问题这类问题往往归结为求函数的最大值或最小 值导数是解决这类问题的方法之一 在利用导数解决实际问题时，往往就是求实际问题的最大 值或最小值，主要步骤如下： (1)建立实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的 函数关系 yf(x)，并求出其定义域 (2)求函数的导数 f(x)，
3、解方程 f(x)0，求出极值点 (3)比较函数在区间端点和极值点的取值大小， 确定最大(小) 值 要做一个圆锥形的漏斗，其母线长为 20 cm，要使其体积 最大，则高为( ) A. 3 3 cm B.10 3 3 cm C.16 3 3 cm D.20 3 3 cm 答案 D 解析 设圆锥的高为 x cm，则底面半径为 202x2(cm)， 其体积为 V1 3x(20 2x2)(00)等总之，在解题时要注意方法的灵活运 用 为了解决老百姓“看病贵”的问题，国家多次下调药品价 格，各大药厂也在积极行动，通过技术改造来提高生产能力， 降低能耗从而降低药品生产的成本某药厂有一条价值 a 万元 的药品
4、生产线，经过测算，生产成本降低 y 万元与技术改造投 入 x 万元之间满足：y 与(ax)和 x2的乘积成正比；当 x a 2时，ya 3，并且技术改造投入比率 x 2ax(0，t，t 为常数 且 t(0,2 (1)求yf(x)的表达式及定义域； (2)为了有更大的降价空间，要尽可能降低药 品的生产成本，求y的最大值及相应的x值 解析 (1)设 yf(x)k(ax)x2. 当 xa 2时，ya 3，即 a3k a2 4 a 2，所以 k8. 所以 f(x)8(ax)x2. 因为 0 x 2axt， 所以函数的定义域x|02a 3 时， f(x)0； 当 00 可得 r0，故 V(r)在(0,5
5、)上为增函数；当 r (5,5 3)时，V(r)0)，固定部分为a 元 (1)把全程运输成本y(元)表示为速度v(km/h) 的函数，并指出这个函数的定义域； (2)为了使全程运输成本最小，汽车应以多 大的速度行驶？ 误解 (1)依题意知汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间 为s v， 全程运输成本为 ya s vbv 2 s vs( a vbv)， 所以函数及其定义域为 ys(a vbv)，v(0，c (2)由题意知 s，a，b，v 均为正数， 令 ys(b a v2)0，得 v a b，但 0c，则 v(0，c，此时 yc 时，行驶速度 vc. 导数的实际应用 “利润最大”问题 “用料最省”问题 面积、体积的最大最小问题
