1、导数及其应用导数及其应用 第三章第三章 3.3 导数的应用导数的应用 第第2课时课时 利用导数研究函数的极值利用导数研究函数的极值 第三章第三章 课堂典例探究课堂典例探究 2 课课 时时 作作 业业 3 课前自主预习课前自主预习 1 课前自主预习课前自主预习 在群山之中，各个山峰的顶端，虽然不一定是群山的最高 处，但它却是其附近所有点的最高点同样，各个谷底虽然不 一定是群山之中的最低处，但它却是附近所有点的最低点群 山的最高处是所有山峰中的最高者的顶部，群山中的最低处是 所有谷底中的最低者的底部. 1.求函数单调区间的步骤如下： (1)_ (2)_. 2函数 yx2lnx 的单调递增区间是(
2、) A(，0) B(2，) C(0,2) D(，0)，(2，) 答案： 1.(1)确定 f(x)的定义域， 求导数 f(x)； (2)由 f(x)0 或 f(x)0 时，f(x)在相 应区间上是增函数； 当 f(x)0， 右侧 f(x)0；当 x(1,3)时， y3 2时，f(x)0，所以 f(x)在( 3 2，)上为增函数， 因此，函数 f(x)在2，)上只有最小值115 4 ，无最大值 已知aR，函数f(x)2x33(a1)x26ax. (1)若a1，求曲线yf(x)在点(2，f(2)处的 切线方程； (2)若|a|1，求f(x)在闭区间0，2|a|上的最小 值 解析 (1)当 a1 时，
3、f(x)6x212x6， 所以 f(2)6. 又因为 f(2)4，所以切线方程为 y6x8. (2)记 g(a)为 f(x)在闭区间0,2|a|上的最小值 f(x)6x26(a1)x6a6(x1)(xa) 令 f(x)0，得到 x11，x2a. 当 a1 时， x 0 (0,1) 1 (1，a) a (a,2a) 2a f(x) 0 0 f(x) 0 单调 递增 极大值 3a1 单调 递减 极小值 a2(3a) 单调 递增 4a3 比较 f(0)0 和 f(a)a2(3a)的大小可得 g(a) 0， 13 . 当 a0)，且方程 f(x)9x0 的两个根分别为 1、4. (1)当 a3 且曲线
4、 yf(x)过原点时，求 f(x)的解析式； (2)若 f(x)在(，)内无极值点，求 a 的取值范围 解析 由 f(x)a 3x 3bx2cxd 得 f(x)ax22bxc f(x)9xax22bxc9x0 的两根为 1,4. a2bc90 16a8bc360 (*) (1)当 a3 时，由(*)式得 2bc60 8bc120 ， 解得 b3，c12. 又曲线 yf(x)过原点，d0. 故 f(x)x33x212x. (2)由于 a0，所以“f(x)a 3x 3bx2cxd 在(，) 内无极值点”等价于“f(x)ax22bxc0 在(，) 内恒成立” 由(*)式得 2b95a，c4a. 又(
5、2b)24ac9(a1)(a9) 解 a0 9a1a90 得 a1,9， 即 a 的取值范围为1,9 已知 f(x)x33ax2bxa2在 x1 时有极值 为 0，求常数 a、b 的值 误解 因为 f(x)在 x1 时有极值为 0， 且 f(x)3x26axb， 所以 f10 f10 ，即 36ab0 13aba20 ， 解得 a1 b3 或 a2 b9 . 因此常数 a1 时，b3；a2 时，b9. 辨析 根据极值的定义，函数先减后增为极 小值，函数先增后减为极大值，此题未验证x 1两侧函数的单调性 正解 由错解得当 a1，b3 时，f(x)3x26x3 3(x1)20， 所以 f(x)在 R 上为增函数，无极值，故舍去 当 a2，b9 时，f(x)3x212x93(x1)(x3) 当 x(3，1)时，f(x)为减函数， 当 x(1，)时，f(x)为增函数， 所以 f(x)在 x1 处取得极小值，因此 a2，b9. 利用导数 研究函数 的极值 函数的极 值理解 函数极值的概念 求函数极值的方法 可导函数存在极值的充要条件 函数的最 值理解 函数最值的概念 求函数最值的方法
