1、1.2.1 三角函数的定义三角函数的定义 课件（人课件（人 教教B版必修版必修4） 12 任意角的三角函数任意角的三角函数 12.1 三角函数的定义三角函数的定义 课堂互动讲练课堂互动讲练 知能优化训练知能优化训练 12.1 课前自主学案课前自主学案 学习目标学习目标 学习目标学习目标 1.理解任意角的余弦理解任意角的余弦、正弦和正切的定义正弦和正切的定义，了解了解 任意角的余切任意角的余切、正割和余割的定义正割和余割的定义 2能判断三角函数在各象限内的符号能判断三角函数在各象限内的符号 课前自主学案课前自主学案 温故夯基温故夯基 1与角与角终边相同的角的集合为：终边相同的角的集合为： _ 2
2、1弧度弧度_ |2k，kZ (180 ) 57.30 5718 360 _rad 180 _rad 1 _rad 3设扇形的半径为设扇形的半径为 r，弧长为，弧长为 l， 为其圆心角的为其圆心角的 弧度数弧度数 则则 l_，S扇 扇_ 2 180 r 1 2l r 1 2 r 2 知新益能知新益能 1三角函数的定义和定义域三角函数的定义和定义域 在平面直角坐标系中，设在平面直角坐标系中，设 的终边上任意一的终边上任意一 点点 P 的坐标是的坐标是(x，y)，它与原点的距离是，它与原点的距离是 r (r x2y20). 三角函三角函 数数 定义定义 定义域定义域 sin y r R cos x
3、r R tan y x |k 2， ，kZ sec r x |k 2， ，kZ csc r y |k，kZ cot x y |k，kZ 思考感悟思考感悟 1若上述定义中若上述定义中r1，会影响其正确性吗会影响其正确性吗？ 提示：提示：不会，由不会，由P点的任意性可知点的任意性可知r1时仍然时仍然 正确正确 2三角函数在各象限的符号三角函数在各象限的符号 (1)用图形表示：如图所示用图形表示：如图所示 (2)用表格表示用表格表示 的终的终 边边 x轴轴 正半正半 轴轴 第第 一一 象象 限限 y轴正轴正 半轴半轴 第第 二二 象象 限限 x轴轴 负负 半半 轴轴 第第 三三 象象 限限 y轴负轴
4、负 半轴半轴 第第 四四 象象 限限 sin 0 0 cos 0 0 tan 0 不存不存 在在 0 不存不存 在在 思考感悟思考感悟 2三角函数在各象限的符号由什么来确定三角函数在各象限的符号由什么来确定？ 提示：提示：由三角函数定义可知三角函数在各象限的由三角函数定义可知三角函数在各象限的 符号由角符号由角终边上任意一点的坐标来确定终边上任意一点的坐标来确定 课堂互动讲练课堂互动讲练 考点突破考点突破 三角函数的定义及应用三角函数的定义及应用 三角函数定义是学好三角函数的最基础工具，三角函数定义是学好三角函数的最基础工具， 利用定义解决问题是我们必须掌握的基本方利用定义解决问题是我们必须掌
5、握的基本方 法法 已知角已知角的终边过点的终边过点P(3a,4a)(a0)，求，求 2sincos的值的值 例例1 【思路点拨思路点拨】 【解】【解】 r 3a 2 4a 25|a| 若若 a0，则，则 r5a，角，角 在第二象限在第二象限 siny r 4a 5a 4 5， ，cosx r 3a 5a 3 5. 2sincos8 5 3 5 1 若若 a0. 210 360 150 ，210 是第二象限是第二象限 的角，的角， cos(210 )0，cos x0， tan x0， 原式原式sin x sin x cos x cos x tan x tan x 3. 当当 x 是第二象限的角时
6、，是第二象限的角时， sin x0， cos x0， tan x0， 原式原式sin x sin x cos x cos x tan x tan x 1. 当当 x 是第三象限的角时，是第三象限的角时， sin x0， cos x0， 原式原式 sin x sin x cos x cos x tan x tan x 1. 当当 x 是第四象限的角时，是第四象限的角时， sin x0， tan x0， 原式原式 sin x sin x cos x cos x tan x tan x 1. 综上可知，综上可知， sin x |sin x| cos x |cos x| tan x |tan x| 的
7、值为的值为 3 或或1. 求解含有三角函数式的函数的定义域问题，和求解含有三角函数式的函数的定义域问题，和 我们以前学过的求定义域的问题的解决方法是我们以前学过的求定义域的问题的解决方法是 一致的，需要注意的是，凡涉及到三角函数的一致的，需要注意的是，凡涉及到三角函数的 定义域问题，在求解时，必须考虑到三角函数定义域问题，在求解时，必须考虑到三角函数 本身一定有意义本身一定有意义 三角函数的定义域三角函数的定义域 【思路点拨思路点拨】 在本例在本例(1)中中，找出使找出使tanx成立成立 的的x的范围即可的范围即可，在在(2)中除了找出使中除了找出使tanx成立成立 的的x的范围的范围，还应考
8、虑分母不为还应考虑分母不为0这个条件这个条件 例例3 求下列函数的定义域：求下列函数的定义域： (1)ysinxtanx；(2)ysinx cosx tanx . 【解】【解】 (1)要使函数有意义，必须使要使函数有意义，必须使 sinx 与与 tanx 有意义，所以有有意义，所以有 xR xk 2 kZ ， 所以函数所以函数 ysinxtanx 的定义域为的定义域为x|xk 2， ， kZ (2)要使函数有意义，必须使要使函数有意义，必须使 tanx 有意义，且有意义，且 tanx0， 所以有所以有 xk 2 kZ xk ， 所以函数所以函数 ysinx cosx tanx 的定义域为的定义
9、域为x|xk 2 ， kZ 【点评点评】 求三角函数的定义域求三角函数的定义域，应熟悉各三角应熟悉各三角 函数在各个象限的符号函数在各个象限的符号，并要注意并要注意tanx本身的定本身的定 义域义域 变式训练变式训练 3 求下列函数的定义域求下列函数的定义域 (1)y sinx tanx； (2)ylgsinx9x2. 解：解：(1)sinx tanx0， sinx 与与 tanx 同号或同号或 sinx tanx0，故，故 x 是第是第 一、四象限的角或终边在一、四象限的角或终边在 x 轴上的角轴上的角 函数的定义域为函数的定义域为 x|2k 2 x2k 2或 或 xk，kZ (2)由题意得
10、由题意得 sinx0 9x20 ， 由由 sinx 0，得，得 2k x 2k (k Z)， 由由 9x 2 0，得，得3x3, 由由得得 0x3. 故函数的定义域为故函数的定义域为x|0x3 方法感悟方法感悟 1由于角的集合与实数之间可以建立一一对应由于角的集合与实数之间可以建立一一对应 关系， 三角函数可以看成是以实数为自变量的函关系， 三角函数可以看成是以实数为自变量的函 数，即实数数，即实数角角(其弧度数等于这个实数其弧度数等于这个实数)三角三角 函数值函数值(实数实数)也就是说，三角函数是以角为自也就是说，三角函数是以角为自 变量，以比值为函数值的函数变量，以比值为函数值的函数 2角角 的三角函数值的符号只与角的三角函数值的符号只与角 所在的象所在的象 限有关， 角限有关， 角 所在象限确定， 则三角函数值的符所在象限确定， 则三角函数值的符 号一定确定号一定确定 3在确定三角函数定义域时要特别注意某些三在确定三角函数定义域时要特别注意某些三 角函数有意义的范围，特别是角函数有意义的范围，特别是 tanx.
