1、向量数量积的坐标运算向量数量积的坐标运算 复习：复习：向量数量积的定义是什么？向量数量积的定义是什么？ 如何求向量夹角？如何求向量夹角？ 向量的运算律有哪些？向量的运算律有哪些？ 平面向量的数量积有那些性质平面向量的数量积有那些性质? ? 答：答： ba ba baba cos,cos 运算律有：运算律有： )()().(2bababa abba. 1 cbcacba ).(3 数量积性质数量积性质: 0 cos)1( aeaae 0)2( baba 2 2 a aaaa aa(3)或 ba ba cos)4( baba )5( 0 0 设设a a与与b b都都是是非非零零向向量量， e e是
2、是单单位位向向量量， 是是a a与与e e 的的夹夹角角， 是是a a与与b b的的夹夹角角。 1 1 0 0 二、新课讲授二、新课讲授 问题问题1 1： ),(),( 2211 yxbyxa已知已知 怎样用怎样用 ba, 的坐标表示的坐标表示 呢？请同学们看下呢？请同学们看下 列问题列问题. ba 设设x轴上单位向量为轴上单位向量为 ，Y轴上单位向量为轴上单位向量为 请计算下列式子请计算下列式子： i j = ii = jj = ji = ij ），（），），（已知两非零向量已知两非零向量 2211 yxbyxa ，则有，则有轴方向相同的单位向量轴方向相同的单位向量轴和轴和分别为与分别为与，
3、设设yxji jyixa 11 jyixb 22 ）（）（jyixjyixba 2211 2 211221 2 21 jyyijyxjiyxixx ，11 22 j i 0 ijji 2121 yyxxba 两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和。两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和。 问题问题2：推导出推导出 的坐标公式的坐标公式. ba 问题问题3：写出向量夹角公式的坐标表示式，向量写出向量夹角公式的坐标表示式，向量 平行和垂直的坐标表示式平行和垂直的坐标表示式. （1）两向量垂直条件的坐标表示）两向量垂直条件的坐标表示 0 baba ），（），），（已知两非零向量已知两非零向量
4、 2211 yxbyxa 0 2121 yyxxba 注意记忆向量注意记忆向量垂直与平行的坐标表示区别垂直与平行的坐标表示区别。 （2）两平面向量共线条件的坐标表示）两平面向量共线条件的坐标表示 babba 使得使得存在唯一的存在唯一的）（0/ 1221 /0abx yx y （3）向量的长度（模）向量的长度（模） 22 11 axy ），那么），那么，），（），（，为（为（ 点的坐标分别点的坐标分别的有向线段的起点和终的有向线段的起点和终若表示向量若表示向量 2211 yxyx a 2 12 2 12 ）（）（yyxxa （两点距离公式） （4）两向量的夹角）两向量的夹角 cos a b a
5、 b 夹角为夹角为），（），），（两非零向量两非零向量, 2211 yxbyxa 2 1 2 1 2 1 2 1 2121 yxyx yyxx 例例1(1)已1(1)已知知a= （a= （5，5， -7）-7）， b= （b= （-6，-6， -4）-4），求求a b。a b。 解(1)：）（）（）（4765 ba 2830 2 则实数 为 （2）2）已已知知a= （a= （3，3，4）4）， b = （b = （2，2， -1）-1），且且（ a+mb ）a+mb ） （ a-b ）a-b ）， m何m何值值？ 则实数 为 （3）3）已已知知a= （a= （1，1，2）2）， b= （b=
6、（n，n，1）1），且且（ a+2b ）a+2b ） /（/（2a-b ）2a-b ）， n何n何值值？ 1例例23421ab amba bm （ ）已知（ ， ）， （ ， ），且 （）（），则实数 为何值？ 解：解：2（ ） ），（mmbma 423），（ 51 ba ）（）（babma 0 ）（）（babma 054123 ）（）即（即（mm 3 23 m 1例例 则实数 为 （3）3）已已知知a= （a= （1，1，2）2）， b = （b = （n，n，1）1），且且 （ a+2b ）a+2b ）/（/（2a-b ）2a-b ），n何n何值值？ 解：解： ）（）（baba 2/2 3
7、 21 2 4abn（）（， ） ），（322nba 024321 ）（）（nn 2 1 n .4,3,90 , 2 ,2, (1) c (2) c (3)? abab cab dakbk dd cd 已知与 的夹角为 且问 为何值时 与 的 变： 夹角为锐角 形 .0 :的夹角为锐角的夹角为锐角与与不能保证向量不能保证向量注注baba !同向的情况同向的情况与与还要考虑向量还要考虑向量ba 4 2 10 11 33 1 3 1ab ab （）若（， ）， （，） 则 与 的夹角为 21231ab ab （ ）若（， ）， （ ， ） 则 与 的夹角的余弦值为 练习 65 63 .D 65 3
8、3 . B 65 33 .C 65 63 . A （3 3）、若）、若 则则 与与 夹角的余弦值为夹角的余弦值为 （ ） ),12, 5 (),4 , 3(ba a b B 2 3 （- ，- ） (4)、已知向量已知向量 ， 且且 的夹角为钝角的夹角为钝角，则则x的取值范的取值范 围是围是 . )4, 3(), 2(bxa ba, 例例2：求与向量：求与向量 的夹角为的夹角为45o的的 单位向量单位向量. ) 13, 13(a 解：解：设所求向量为设所求向量为 ,由定义知：由定义知： 2 2 2 845cosxaxa ),(nmx 另一方面另一方面 nmxa) 13() 13( 待定系数法待
9、定系数法 分析：分析： 可设可设x=（m, n)，只需求，只需求m, n. 易知易知 1 22 nm 再利用再利用 （数量积的（数量积的 坐标法）即可！坐标法）即可！ xaxa )(定义 由，知由，知 2) 13() 13(nm 1 22 nm 解得：解得： 或或 2 3 1 m 2 3 2 n 2 1 1 n 2 1 2 m ) 2 1 , 2 3 (x ) 2 3 , 2 1 (x 或或 例例3：已知：已知A（1, 2）,B（2,3）,C（2,5）, 求证求证:ABC是直角三角形是直角三角形. 031) 3(1ACAB ABC是直角三角形是直角三角形 证明：证明： ) 1 , 1 ()23
10、 , 12(AB )3 , 3()25 , 12(AC )2 , 4()35 , 22(BC (2,3),(1, ),ABACk ABC ：在 ABC中，设且 是直角三角形 变形 ，求k的值。 :( 1,3) 1)90 ,0 ( 2, 3) ( 1,3)0 23(3)0 11 3 BCACABk ABC ABCBABC BA BC k k k 解 又是直角三角形 即 当当 K还有其他情还有其他情 况吗？若有，况吗？若有， 算出来算出来。 要注意要注意 分类讨论！分类讨论！ 顶点别为 边为 例例4、4、已已知知ABC的ABC的分分A（A（2，2，1）1），B（B（3，3，2）2）， C（C（-3
11、，-3， -1）-1），BC上BC上的的高高AD，AD，求求： ADD点的坐标以及点的坐标以及）（ 1 的形状，并说明理由的形状，并说明理由）判断）判断（ABC 2 解：解： ,Dx y设 点的坐标为 (2,1), ( 6, 3),(3,2) ADxy BCBDxy BCAD 边上的高边上的高是是BCAD 三点共线三点共线、又又CDB BDBC / A B C x y 顶点别为 边为 例例4、4、已已知知ABC的ABC的分分A（A（2，2，1）1），B（B（3，3，2）2）， C（C（-3，-3， -1）-1），BC上BC上的的高高AD，AD，求求： ADD点的坐标以及点的坐标以及）（ 1 0
12、)3()3()6()2( 0)3() 1()6()2( xy yx 5 7 5 9 y x 解得：解得： ），（ 5 2 5 1 AD 5 5 5 2 5 1 22 ）（）（AD 5 5 5 7 5 9 ADD），），点的坐标为（点的坐标为（ A B C x y 4ABCA2 1B 3 2 C-3 -1BCAD 例 、已知的顶点分别为 （ ， ）， （ ，）， （ ，），边上的高为，求： 的形状，并说明理由的形状，并说明理由）判断）判断（ABC 2 A B C x y )2(解：解： ABAC ABAC A cos ），（），），（1125 ABAC 71215 ）（）（ABAC 261)5(
13、 2 AC2 AB 52 7 0 为钝角为钝角A 为钝角三角形为钝角三角形ABC 例例5:已知已知 ，且存在实且存在实 数数k和和t，使得使得 且且 ，试求试求 的最小值的最小值. ) 2 3 , 2 1 (),1, 3(ba 2 (3) ,xatb ykatb yx 2 kt Z t 解：由题意有解：由题意有: 13 2,1,310 22 aba b ab 2 ,30xyx yatbka tb 又 3 3 4 tt k 2 2 2 117 432 444 kt ttt t 2 7 2. 4 kt t t 当时，有最小值 说明：说明：本题考查平面的数量积及相关知识本题考查平面的数量积及相关知识
14、，与函数联与函数联 系在一起系在一起，具有综合性具有综合性。要注意观察揭示题中的隐含要注意观察揭示题中的隐含 条件条件，然后根据垂直条件列出方程得出然后根据垂直条件列出方程得出k与与t的关系的关系， 利用二次函数求最值利用二次函数求最值。 解解: : cd,c d =0, 即即(sin3)(sin )0abkab 也即也即 2 sinkaa b (sin3)ka b+ 2 sin (sin3)0b, 变形变形 1 1：已知平面向量已知平面向量( 3, 1)a ,b=( 2 1 , 2 3 ),若存在若存在 不 为 零 的 实 数不 为 零 的 实 数k和 角和 角, 使 向 量使 向 量 (s
15、in3)cab,(sin)dkab ,且且cd， 试求实数， 试求实数 k 的取值范围的取值范围. 又( 3, 1)a ,b=( 2 1 , 2 3 ),a b =0,且 2 a= 2 a= 4, 2 4a , 2 2 1bb, 4k+sin (sin3) =0, k= 2 139 (sin) 4216 , 1sin1, 当当sin1时，时， k取最大值取最大值1;当当sin1时，时， k取最小值取最小值 1 2 . 所以所求所以所求 k 的取值范围为的取值范围为 1 ,00,1 2 变变形形 2：平面直角坐标系有点平面直角坐标系有点)cos, 1 (xP，(cos ,1)xQ， x 4 ,
16、4 求向量求向量OP和和OQ的夹角的夹角的余弦用的余弦用x表示的函数表示的函数);(xf 求求的最值的最值. 解解: : ()2cosOP OxQ, 2 1 cosOP Ox Q, 2 2cos cos 1 cos OP Ox x OP O Q Q , 2 2cos ( )(,) 1 cos4 4 x f xx x 解解: : 2 2cos cos( )(,) 1 cos4 4 x f xx x , 2 cos,1 2 tx 令, 2 22 cos( )(,1 ) 12 t tt t , 变形变形 2：平面直角坐标系有点平面直角坐标系有点)cos, 1 (xP，(cos ,1)xQ， x 4
17、, 4 求向量求向量OP和和OQ的夹角的夹角的余弦用的余弦用x表示的函数表示的函数 );(xf 求求 f(x)的最值的最值. 2 2 ( ) 1 t t t 在在 2 ,1 2 上是增函数上是增函数. . 2 2 cos1 3 课堂小结：课堂小结： 这节课我们主要学习了平面向量数量积这节课我们主要学习了平面向量数量积 的坐标表示以及运用平面向量数量积性质的坐的坐标表示以及运用平面向量数量积性质的坐 标表示解决有关垂直、平行标表示解决有关垂直、平行、长度、角度等几长度、角度等几 何问题。何问题。 （1）两向量垂直条件的坐标表示）两向量垂直条件的坐标表示 0 2121 yyxxba （2）两向量平行条件的坐标表示）两向量平行条件的坐标表示 122 1 /0abx yx y 1122 axybxy设（ ， ），（ ， ） 2121 yyxxba （3）向量的长度（模）向量的长度（模） 2 1 2 1 2 2 yxaa 2 1 2 1 yxa 或或 （4）两向量的夹角）两向量的夹角 ba ba cos 1212 2222 1122 x x +y y = x +yx+y 1122 axybxy设（ ， ），（ ， ）
