人教B版必修2数学课件：1.2.1 点、线、面之间的位置关系.ppt

1、-1- 1.2 点、线、面之间的位置关系 -2- 1.2.1 平面的基本性质与推论 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 SUITANG LIANXI 随堂练习 课程目标课程目标 学习脉络学习脉络 1.理解平面的三个基本性质与三个推论, 并会用三种语言表示性质和推论. 2.了解异面直线的概念,能用符号语言描 述点、直线、平面之间的相互位置关系. 3.能进行文字语言、图形语言、符号语言 之间的相互转化. JICHU ZHISHI 基础知识 首 页 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 SUITANG LIANXI 随堂练习 1.点、线、

2、面之间的位置关系及表示 文字语言 图形语言 数学符号 点 A 在直线 l上 Al 点 A 不在直线 l 上 Al 点 A 在平面 内 A JICHU ZHISHI 基础知识 首 页 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 SUITANG LIANXI 随堂练习 续表 文字语言 图形语言 数学符号 点 A 不在平面 内 A 直线 l 在平面 内 l 直线 l 不在平面 内 l JICHU ZHISHI 基础知识 首 页 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 SUITANG LIANXI 随堂练习 续表 文字语言 图形语言 数学符号 直线 l 和直线 m 相交于点 A lm=A 平面

3、 与平面 相交于直线 a =a JICHU ZHISHI 基础知识 首 页 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 SUITANG LIANXI 随堂练习 思考 1“直线l 不在平面 内”就是说“直线l 与平面 平行”对吗? 提示:不对,直线 l 不在平面 内说明直线 l 与平面 平行或者直线 l 与 平面 相交. JICHU ZHISHI 基础知识 首 页 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 SUITANG LIANXI 随堂练习 2.平面的基本性质 文字语言 图形语言 符号语言 基本 性质 1 如果一条直线上的两点在 一个平面内,那么这条直线 上的所有点都在这个平面 内.这

4、时就说,直线在平面 内或平面经过直线 若 Al,Bl,A,B ,则 l 基本 性质 2 经过不在同一条直线上的 三点,有且只有一个平面, 简称为不共线的三点确定 一个平面 若A,B,C 三点不共 线,则有且只有一 个平面 ,使 A,B,C JICHU ZHISHI 基础知识 首 页 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 SUITANG LIANXI 随堂练习 基本 性质 3 如果不重合的两个平面有 一个公共点,那么它们有且 只有一条过这个点的公共 直线.这条公共直线叫做这 两个平面的交线 若 A,A,则 =l,且 Al JICHU ZHISHI 基础知识 首 页 ZHONGDIAN N

5、ANDIAN 重点难点 SUITANG LIANXI 随堂练习 思考 2经过三点能确定几个平面? 提示:当三点共线时,有无数个平面,当三点不共线时,有且只有一个平 面. JICHU ZHISHI 基础知识 首 页 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 SUITANG LIANXI 随堂练习 3.平面基本性质的推论 文字语言 图形语言 符号语言 推 论1 经过一条直线和直 线外的一点,有且只 有一个平面 点 A直线 BC存在唯一的平 面 ,使 A,直线 BC 推 论2 经过两条相交直线, 有且只有一个平面 直线 AB直线 AC=A存在唯 一的平面,使直线AB,且直 线 AC 推 论3 经

6、过两条平行直线, 有且只有一个平面 lm存在唯一的平面 ,使 l,且 m JICHU ZHISHI 基础知识 首 页 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 SUITANG LIANXI 随堂练习 思考3对于基本性质2及其平面基本性质的三个推论你是怎样理 解的? 提示:基本性质 2 和平面基本性质的三个推论可作为确定平面的依据, 还可作为判定两个平面重合的依据.“确定”和“有且只有一个”是同义 词.“有”说明存在性,“只有一个”说明唯一性.数学中的“只有一个”并不保 证符合条件的图形一定存在,所以不能用“只有一个”来代替“有且只有一 个”.符合某一条件的图形既存在,而且只能有一个,就说明

7、这个图形是完全 确定的. JICHU ZHISHI 基础知识 首 页 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 SUITANG LIANXI 随堂练习 4.空间两条直线的位置关系 位置关系 共面情况 公共点个数 相交直线 在同一平面内 有且只有一个 平行直线 在同一平面内 没有 异面直线 不同在任何一个平面内 没有 JICHU ZHISHI 基础知识 首 页 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 SUITANG LIANXI 随堂练习 特别提醒 若直线a,b是异面直线,则在空间中找不到一个平面,使其同时经过a,b两条 直线.例如,如图所示的长方体ABCD-A1B1C1D1中,棱AB

8、和B1C1所在的直线 既不平行又不相交,找不到一个平面同时经过这两条棱所在的直线.要注意 分别在两个平面内的直线不一定是异面直线,可以平行,可以相交,也可以异 面. ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 SUITANG LIANXI 随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四 探究一 文字语言、图形语言和符号语言的转换 我们在立体几何中使用符号语言时,还应明确符号语言在代数与几何 中的差异.首先是结合集合知识了解规定符号的背景,找出它们的区别与联 系: (1)“, , ,”等符号来源于集合符号,但在读法上用几何语言,例 如,A,读作“点 A 在

9、平面 内”,a 读作“直线 a 在平面 内”,=l 读 作“平面 , 相交于直线 l”. (2)在“A,A ,l ,l ”中“A”视为平面 (集合)内的点(元素),直 线 l(集合)视为平面 (集合)的子集.明确这一点,才能正确使用集合符号. ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 SUITANG LIANXI 随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四 【典型例题 1】 如图所示,写出图形中的点、直线和平面之间的关系. 图(1)可以用几何符号表示为 . 图(2)可以用几何符号表示为 . ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 首 页 JI

10、CHU ZHISHI 基础知识 SUITANG LIANXI 随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四 解析:图(1)可以用几何符号表示为 =AB,a ,b ,aAB,bAB. 即平面 与平面 相交于直线 AB,直线 a 在平面 内,直线 b 在平面 内,直线 a 平行于直线 AB,直线 b 平行于直线 AB. 图(2)可以用几何符号表示为 =MN,ABC 的三个顶点满足条件 AMN,B,C,B MN,C MN. 即平面 与平面 相交于直线MN,ABC的顶点 A在直线MN上,点 B 在 内但不在直线 MN 上,点 C 在平面 内但不在直线 MN 上. 答案:=AB,a ,b ,aAB,bAB

11、=MN,ABC 的三个顶 点满足条件 AMN,B,C,B MN,C MN ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 SUITANG LIANXI 随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四 探究二 点线共面问题 (1)证明点线共面的主要依据: 如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上的所有点都 在这个平面内(基本性质 1); 经过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面(基本性质 2 及推 论). (2)证明点线共面的常用方法: 纳入平面法:先确定一个平面,再证明有关点、线在此平面内; 辅助平面法:先证明有关的点、 线确定平面 ,再证明其余

12、元素确定平 面 ,最后证明平面 , 重合. ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 SUITANG LIANXI 随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四 【典型例题 2】 (1)有下列四个说法: 过三点确定一个平面; 矩形是平面图形; 三条直线两两相交则确定一个平面; 两个相交平面把空间分成四个区域. 其中错误的序号是( ) A.和 B.和 C.和 D.和 解析:不共线的三点确定一个平面,故错;三条直线两两相交,交于三 点时,确定一个平面,交于一点时,可确定一个或三个平面,故错. 答案:B ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 首 页

13、 JICHU ZHISHI 基础知识 SUITANG LIANXI 随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四 (2)如图所示,已知直线 a 与两平行直线 b,c 都相交.求证:a,b,c 三线共面. 思路分析:有两种方法.先用两平行直线 b,c 确定一个 平面,再证a也在这个平面内;先由两条相交直线a,b确定一 个平面,再证 c 也在这个平面内. 证法一:因为 bc,则 b,c 确定一个平面,设为 ,如图, 令 ab=A,ac=B, 所以 A,B, 所以 AB ,即直线 a . 所以 a,b,c 三线共面. ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 首 页 JICHU ZHISHI 基础知

14、识 SUITANG LIANXI 随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四 证法二:因为 a 与 b 是相交直线,则 a,b 确定一个平面,设为 ,如图, 设 ac=A,过 A 点在 内作直线 cb, 因为 cb,cb,所以 cc. 又因为 c 与 c相交于点 A, 所以 c 与 c重合.所以 a,b,c 三线共面. ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 SUITANG LIANXI 随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四 点评本题为我们证明共面问题提供了多角度的思维模式,但整体 套路都是先用部分对象确定一个平面,再证明剩余对象都在这个平面

15、内. ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 SUITANG LIANXI 随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四 探究三 点共线、线共点问题 证明多点共线,通常是过其中两点作一条直线,然后证明其他的点也在 这条直线上,或者根据已知条件设法证明这些点同时在两个相交平面内,然 后根据基本性质 3 就得到这些点在两个平面的交线上.证明三线共点问题, 可把其中一条作为分别过其余两条直线的两个平面的交线,然后再证另两 条直线的交点在此直线上,此外还可先将其中一条直线看做某两个平面的 交线,证明该交线与另两条直线分别交于两点,再证这两点重合,从而得到三

16、 线共点. ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 SUITANG LIANXI 随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四 【典型例题 3】 (1)如图,=l,在梯形 ABCD 中,ADBC,且 AB ,CD .求证:AB,CD,l 共点(相交于一点). 证明:如图,在梯形 ABCD 中,设 ABCD=E, 因为 AB ,CD ,所以 E,E. 又 =l,所以 El,即 AB,CD,l 共点(相交于一点). ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 SUITANG LIANXI 随堂练习 探究一

17、探究二 探究三 探究四 (2)如图所示,已知ABC 的三个顶点都不在平面 内,它的三边 AB,BC,AC 延长后分别交平面 于点 P,Q,R.求证:点 P,Q,R 在同一条直线上. ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 SUITANG LIANXI 随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四 证明:已知 AB 的延长线交平面 于点 P,根据基本性质 3,平面 ABC 与 平面 必相交于一条直线,设为 l. 因为 P直线 AB,所以 P平面 ABC. 又直线 AB=P,所以 P. 所以 P 是平面 ABC 与平面 的公共点. 因为平面 ABC平面

18、 =l,所以 Pl. 同理,Ql,Rl. 所以点 P,Q,R 在同一条直线 l 上. ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 SUITANG LIANXI 随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四 探究四 交线问题 画两平面的交线时,关键是找到这两个平面的两个公共点,这两个公共 点的连线即是.在找公共点的过程中往往要借助于基本性质 1 和基本性质 3,一般是用基本性质 1 找到,再用基本性质 3 证明. ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 SUITANG LIANXI 随堂练习 探究一 探究

19、二 探究三 探究四 【典型例题 4】 如图所示,G 是正方体 ABCD-A1B1C1D1的棱 DD1延长 线上一点,E,F 是棱 AB,BC 的中点.试分别画出过下列点、直线的平面与正 方体表面的交线. (1)过点 G 及直线 AC; (2)过三点 E,F,D1. 思路分析:找出两个平面的两个公共点,则过这两个公共点的直线为两 平面的交线. ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 SUITANG LIANXI 随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四 解:(1)画法:连接GA交A1D1于点M;连接GC交C1D1于点N;连接MN,AC 则 MA,

20、CN,MN,AC 为所求平面与正方体表面的交线.如图所示. (2)画法:连接 EF 交 DC 的延长线于点 P,交 DA 的延长线于点 Q;连接 D1P 交 CC1于点 M,连接 D1Q 交 AA1于点 N;连接 MF,NE,则 D1M,MF,FE,EN,ND1为所求平面与正方体表面的交线.如图所示. ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 SUITANG LIANXI 随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四 点评(1)在平面几何中,凡是所引的辅助线都要画成虚线. (2)在立体几何中,被遮挡的部分画成虚线,没被遮挡的部分则画成实 线.在学习时

21、,一定要正确添加辅助线,否则将影响空间立体感的形成,不利 于空间想象力的培养. SUITANG LIANXI 随堂练习 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 1 2 3 4 5 1.如果直线 a 平面 ,直线 b 平面 ,Ma,Nb,且 Ml,Nl,那么( ) A.l B.l C.l=M D.l=N 解析:因为 Ma,Nb,a,b ,所以 M,N,根据基本性质 1 可知 l .故选 A. 答案:A SUITANG LIANXI 随堂练习 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 1 2 3 4

22、5 2.若两个不重合的平面有公共点,则公共点有( ) A.1 个 B.2 个 C.1 个或无数个 D.无数个且在同一条直线上 解析:利用基本性质 3 可知如果两个平面有一个公共点,则它们就一定有一 条交线,而线是由无数个点构成的,所以这两个平面有无数个在同一直线上 的交点. 答案:D SUITANG LIANXI 随堂练习 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 1 2 3 4 5 3.平面 =l,点 A,点 B,且 C l,但 C,又 ABl=R,如图,由 A,B,C 三点确定的平面为 ,则 是( ) A.直线 AC B.直线 BC C.直线

23、 CR D.直线 AR 解析:由已知条件可知,C,A,B,所以 AB .而 RAB,所以 R.又因 为 C,R,故 CR=. 答案:C SUITANG LIANXI 随堂练习 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 1 2 3 4 5 4.如图所示,在直角梯形 ABDC 中,ABCD,ABCD,S 是直角梯形 ABDC 所 在平面外一点,画出平面 SBD 和平面 SAC 的交线. SUITANG LIANXI 随堂练习 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 1 2 3 4 5 解:很明显,点

24、S 是平面 SBD 和平面 SAC 的一个公共点,即点 S 在交线上.由 于 ABCD,则分别延长 AC 和 BD 交于点 E,如图所示. 因为 EAC,AC 平面 SAC,所以 E平面 SAC. 同理,可证 E平面 SBD. 所以点E 在平面SBD 和平面 SAC的交线上.连接SE,直线SE就是平面 SBD 和平面 SAC 的交线. SUITANG LIANXI 随堂练习 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 1 2 3 4 5 5.如图所示,在正方体 ABCD-A1B1C1D1中,E 为 AB 的中点,F 为 A1A 的中点. 求证: (

25、1)E,F,D1,C 四点共面; (2)CE,D1F,DA 三线共点. SUITANG LIANXI 随堂练习 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 1 2 3 4 5 证明:(1)如图所示,连接 EF,A1B,D1C. 因为 E,F 分别是 AB 和 AA1的中点, 所以 EF1 2A1B. 又 A1D1B1C1BC, 所以四边形 A1BCD1为平行四边形. 所以 A1BCD1, 所以 EFCD1. 所以 EF 与 CD1确定一个平面, 所以 E,F,D1,C 四点共面. SUITANG LIANXI 随堂练习 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 1 2 3 4 5 (2)因为 EF1 2CD1,所以直线 D1F 和 CE 必相交. 设 D1FCE=P,如上图所示. 因为 D1F 平面 ADD1A1,PD1F, 所以 P平面 ADD1A1. 又因为 CE 平面 ABCD,PCE, 所以 P平面 ABCD. 所以 P 是平面 ABCD 与平面 ADD1A1的公共点. 又平面 ABCD平面 ADD1A1=AD, 所以 PAD,所以 CE,D1F,DA 三线共点.