1、-1- 第一章第一章 立体几何初步立体几何初步 -2- 1.1 空间几何体 -3- 1.1.1 构成空间几何体的基本元素 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 SUITANG LIANXI 随堂练习 课程目标课程目标 学习脉络学习脉络 1.理解平面的抽象特征,并会表示平 面. 2.理解构成几何体的基本元素,并能从 运动的角度理解点、线、面、体之间 的关系. 3.了解简单几何体中点、线、面的位 置关系. 4.逐步掌握立体几何中的三种语言 文字语言、符号语言、图形语言 以及这三种语言之间的相互转化. JICHU ZHISHI 基础知识 首 页 Z
2、HONGDIAN NANDIAN 重点难点 SUITANG LIANXI 随堂练习 1.几何体的定义 如果我们只考虑一个物体占有空间部分的形状和大小,而不考虑其他 因素,则这个空间部分叫做一个几何体. 思考 1空的纸箱是空间几何体吗? 提示:是,虽然纸箱的内部是空的,但纸箱的壁仍然占有一定的空间,因 此它仍然是一个空间几何体. JICHU ZHISHI 基础知识 首 页 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 SUITANG LIANXI 随堂练习 2.构成空间几何体的基本元素 (1) (2)点、线、面是构成几何体的基本元素. JICHU ZHISHI 基础知识 首 页 ZHONGDIA
3、N NANDIAN 重点难点 SUITANG LIANXI 随堂练习 3.空间点、线、面的特征 (1)线有直线(段)和曲线(段)之分,面有平面(部分)和曲面(部分)之分.平 面是处处平直的面,而曲面就不是处处平直的. (2)在立体几何中,平面是无限延展的,通常画一个平行四边形表示一个 平面,并把它想象成无限延展的. 平面一般用希腊字母 ,来命名,还可以用表示它的平行四边形的 对角顶点的字母来命名,如图中的平面 、平面 、平面 ABCD 或平面 AC 等. JICHU ZHISHI 基础知识 首 页 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 SUITANG LIANXI 随堂练习 (3)在几
4、何中,可以把线看成点运动的轨迹,如果点运动的方向始终不 变,那么它的轨迹就是一条直线或线段;如果点运动的方向时刻在变化,则运 动的轨迹是一条曲线或曲线的一段. (4)一条线运动的轨迹可以是一个面,面运动的轨迹(经过的空间部分) 可以形成一个几何体. (5)直线平行移动,可以形成平面或曲面.固定射线的端点,让其绕着一 个圆弧转动,可以形成锥面. JICHU ZHISHI 基础知识 首 页 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 SUITANG LIANXI 随堂练习 思考2直线平移一定形成平面吗?若直线绕定点转动,一定能 形成锥面吗? 提示:直线平移不一定形成平面.如果直线运动的方向始终不
5、变,那么它 的轨迹就是一个平面;如果直线运动的方向时刻在变化,那么它的轨迹就是 一个曲面. 直线绕定点转动不一定能形成锥面,如果直线和转动方向总在同一个 平面内,那么它的轨迹就是一个平面. JICHU ZHISHI 基础知识 首 页 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 SUITANG LIANXI 随堂练习 4.空间中线与面、面与面的位置关系及距离 位置 关系 定义 图形 符号表 示 平 行 线 面 如果直线和平面没有公共点,则说直线和 平面平行 AB 面 面 如果两个平面没有公共点,则说这两个平 面平行 JICHU ZHISHI 基础知识 首 页 ZHONGDIAN NANDIAN
6、 重点难点 SUITANG LIANXI 随堂练习 续表 位置 关系 定义 图形 符号 表示 垂 直 线 面 如果一条直线和一个平面内的两条相交 直线都垂直,则说直线与平面垂直 l 面 面 如果两个平面相交,并且其中一个平面通 过另一个平面的一条垂线,则说这两个平 面互相垂直 JICHU ZHISHI 基础知识 首 页 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 SUITANG LIANXI 随堂练习 续表 位置 关系 定义 图形 符号表 示 距 离 点 面 点到平面的垂线段的长度,称作点到平 面的距离 两 平 面 夹在两平行平面间垂线段的长度称作 两平面间的距离 ZHONGDIAN NAN
7、DIAN 重点难点 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 SUITANG LIANXI 随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四 探究一 平面的概念及表示 1.在立体几何中,平面是无限延展的,是理想的、绝对平直的. 2.平面是抽象出来的,没有厚度、没有大小,因此无法度量.平面几何中 的平面图形,如三角形、四边形等都是有大小的,可以度量的,它们本身不是 平面. 3.任何一个平面都可以将空间分为两部分,如果想从平面的一侧到另 一侧,必须穿过这个平面. ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 SUITANG LIANXI 随堂练习 探究一 探究
8、二 探究三 探究四 【典型例题 1】 判断下列说法是否正确,并说明理由. (1)平面的形状是平行四边形; (2)任何一个平面图形都是一个平面; (3)圆和平面多边形都可以表示平面; (4)若 S ABCDSABCD,则平面 ABCD 大于平面 ABCD. 解:(1)不正确.我们常用平行四边形表示平面,但不能说平面的形状是 平行四边形,平面是无形状可言的. (2)不正确.平面和平面图形是两个完全不同的概念,平面图形是有大小 的,它是不可能无限延展的. (3)正确.通常情况下我们利用平行四边形来表示平面,但有时根据需要 也可以用圆或其他平面多边形来表示平面. (4)不正确.因为平面无大小、面积可言
9、. ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 SUITANG LIANXI 随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四 探究二 构成几何体的基本元素 空间中的几何体,一方面可以看作是由若干个面(平面的一部分或曲面 的一部分)围成的,另一方面也可以用运动的观点来看待,即我们常说的“点 动成线、线动成面、面动成体”. ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 SUITANG LIANXI 随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四 【典型例题 2】 (1)下列结论中正确的是( ) A.直线平行运动的轨迹一定
10、是平面 B.曲线运动的轨迹一定是曲面 C.平面图形运动的轨迹一定是几何体 D.点运动的轨迹一定是线 (2)如图所示,长方体 ABCD-A1B1C1D1中,下列说法 正确的有 .(填序号) 长方体的顶点一共有 8 个; 线段 AA1所在的直线是长方体的一条棱; 矩形 ABCD 所在的平面是长方体的一个面; 长方体由六个平面围成. ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 SUITANG LIANXI 随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四 解析:(1)直线平行移动可形成曲面,如图,故 A 错;曲线运动可以形成 平面,如图,故 B 错;平面图形运动
11、后的轨迹可能是一个面,不一定是几何 体,故 C 错;点运动的轨迹一定是线,故 D 对. (2)长方体一共有 8 个顶点; 长方体的一条棱为线段 AA1; 矩形 ABCD 为长方体的一个面; 长方体由六个矩形(包括它的)内部围成. 答案:(1)D (2) ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 SUITANG LIANXI 随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四 探究三 几何体中基本元素的位置关系 以长方体为例, 1.平行关系. (1)直线与直线的平行关系: 如图,在长方体的 12 条棱中,分成“长”“宽”“高”三组,其中 “高”AA1,BB1
12、,CC1,DD1相互平行;“长”AB,DC,A1B1,D1C1相互平 行;“宽”AD,BC,A1D1,B1C1相互平行. ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 SUITANG LIANXI 随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四 (2)直线与平面的平行关系: 在长方体的 12 条棱及表面中,若棱所在的直线与某一平面(棱不在该 平面内)不相交,就平行. (3)平面与平面的平行关系:长方体的对面相互平行. 2.垂直关系. (1)直线与平面的垂直关系: 在长方体的棱所在直线与各表面中,若直线与平面有且只有一个公共 点,则二者垂直. (2)平面与平
13、面的垂直关系: 在长方体的各表面中,若两平面有公共点,则二者垂直. ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 SUITANG LIANXI 随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四 【典型例题 3】 (1)在长方体 ABCD-A1B1C1D1中,与棱 A1A 既不平行也 不相交的棱有( ) A.1 条 B.2 条 C.3 条 D.4 条 (2)如图所示的长方体 ABCD-A1B1C1D1,在长方体的面与棱中, 与棱 BC 平行的棱是哪几条? 与棱 BC 平行的平面是哪几个? 与棱 BC 垂直的平面是哪几个? 与平面 BC1垂直的平面是哪几个? Z
14、HONGDIAN NANDIAN 重点难点 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 SUITANG LIANXI 随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四 (1)解析:与棱 A1A 平行的棱有 3 条,相交的有 4 条,故既不平行也不相 交的有 4 条. 答案:D (2)解:在长方体的面与棱中, 与棱 BC 平行的棱有:棱 B1C1,A1D1,AD. 与棱 BC 平行的平面有:平面 A1C1,平面 AD1. 与棱 BC 垂直的平面有:平面 AB1,平面 DC1. 与平面 BC1垂直的平面有:平面 AB1,平面 A1C1,平面 DC1,平面 AC. ZHONGDIAN NANDIAN 重点难
15、点 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 SUITANG LIANXI 随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四 探究四 易错辨析 易错点 1:不理解直线与平面的关系而致误 【典型例题 4】 能正确表示点 A 在直线 l 上且直线 l 在平面 内的是 ( ) 错解:B 错因分析:在平面内的直线一定要将表示它的线段画在表示平面的平 行四边形的内部. ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 SUITANG LIANXI 随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四 正解:选项 A 只表示点 A 在直线 l 上;选项 D 表示直线 l 与平面 相交
16、 于点 A;选项 B 中的直线 l 有部分在平行四边形的外面,所以不能表示直线 在平面 内,故选 C. 答案:C 点评点、线、面这三个原始概念各自具有三大特征: (1)点:最基本元素;只有位置;没有大小. (2)直线:没有粗细;绝对的直;向两方无限延伸. (3)平面:没有厚度;绝对的平;向周围无限延展. ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 SUITANG LIANXI 随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四 易错点 2 对“运动方向”认识不清而致误 【典型例题 5】 下列说法错误的是 .(填序号) (1)射线运动后的轨迹不可能是整个平面;
17、 (2)直线绕着一个点转动,只能形成曲面; (3)将一个矩形沿同一方向移动一段距离,其轨迹就是长方体. 错解:填(1)(2)或填(1)(3)或填(2)(3). ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 SUITANG LIANXI 随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四 错因分析:忽视了运动方向,或者说运动方向考虑不全面而致误. (1)没考虑射线绕顶点;(2)没考虑直线绕一点左右转动;(3)没考虑必须 沿铅垂线方向. 正解:(1)错误.水平放置的射线绕顶点在水平面内旋转一周,可形成平 面. (2)错误.直线绕一个点左右转动也能形成平面. (3)
18、错误.矩形上各点沿铅垂线方向移动相同的距离,其轨迹才形成长方 体. 答案:(1)(2)(3) SUITANG LIANXI 随堂练习 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 1 2 3 4 1.有下列说法: 长方体是由六个平面围成的几何体;长方体可以看作一个矩形 ABCD(水平放置)上各点沿铅垂线方向向上移动相同的距离到矩形 ABCD所形成的几何体;长方体一个面上任一点到对面的距离相等. 其中正确说法的序号是 . 解析:是错误的,面与矩形是有区别的. 答案: SUITANG LIANXI 随堂练习 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 Z
19、HONGDIAN NANDIAN 重点难点 1 2 3 4 2.如图所示是小明设计的某种产品的包装盒,但是少设计了其中一部分,请 你把它补上,使其能构成两边均有盖的正方体盒子. (1)共有 种方法. (2)任意画出一种正确的设计图. 解:(1)4 (2)设计图如图所示.(答案不唯一) SUITANG LIANXI 随堂练习 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 1 2 3 4 3.若线段AB与直线l 有如图所示的关系,请画出线段AB 旋转一周所形成的 几何图形. 解: SUITANG LIANXI 随堂练习 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 1 2 3 4 4.能用 12 根火柴组成 5 个正方形吗?能组成 6 个正方形吗? 分析:将12根火柴组成5个正方形,放在同一平面内可以做到,但在同一平面 内组成 6 个正方形是不可能的,故可以结合一些几何体找原型. 解:能用 12 根火柴组成 5 个正方形,如图(1)所示,包括中间 4 个小正方形和 外面一个大正方形;联想正方体有 12 条棱,6 个面都是正方形,故用 12 根火 柴组成 6 个正方形的情况如图(2)所示.
