1、-1- 1.1.7 柱、锥、台和球的体积 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 SUITANG LIANXI 随堂练习 课程目标课程目标 学习脉络学习脉络 1.理解棱柱、 棱锥和棱台体积公式的推 导,利用“祖暅原理”将空间问题转化为 平面问题. 2.了解球的体积公式,会计算球的体积. 3.熟练运用体积公式求多面体和简单 旋转体的体积. 4.掌握柱体、锥体、台体体积公式之间 的关系,了解求几何体体积的几种技 巧. JICHU ZHISHI 基础知识 首 页 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 SUITANG LIANXI 随堂练习 1
2、.祖暅原理 (1)“幂势既同,则积不容异”,即“夹在两个平行平面间的两个几何体,被 平行于这两个平面的任意平面所截,如果截得的两个截面的面积总相等,那 么这两个几何体的体积相等”. (2)作用:等底面积、等高的两个柱体或锥体的体积相等. (3)说明:祖暅原理充分体现了空间与平面问题的相互转化思想,是推导 柱、锥、台体积公式的理论依据. JICHU ZHISHI 基础知识 首 页 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 SUITANG LIANXI 随堂练习 思考 1运用祖暅原理来证明两个几何体的体积相等,需要几 个条件?分别是什么? 提示:需要三个条件,分别是: (1)这两个几何体夹在两
3、个平行平面之间. (2)平行于两个平行平面的每一个平面可截得两个截面. (3)两个截面的面积总相等. JICHU ZHISHI 基础知识 首 页 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 SUITANG LIANXI 随堂练习 2.柱、锥、台的体积 柱体、锥体、台体的体积公式如下表,其中 S,S 分别表示上、下底面的 面积,h 表示高,r和 r 分别表示上、下底面圆的半径. 名称 体积(V) 柱体 棱柱 Sh 圆柱 r2h 锥体 棱锥 1 3Sh 圆锥 1 3r 2h 台体 棱台 1 3h(S+ S S+S) 圆台 1 3h(r 2+rr+r2) JICHU ZHISHI 基础知识 首 页
4、 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 SUITANG LIANXI 随堂练习 思考 2求三棱锥的体积时有什么技巧? 提示:因为三棱锥的任何一个面都可以作为它的底面,因此求三棱锥的 体积时可以更换三棱锥的顶点和底面,寻求底面积与高易求的三棱锥. JICHU ZHISHI 基础知识 首 页 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 SUITANG LIANXI 随堂练习 思考 3台体可以还原为锥体,那么台体的体积可以怎样求? 提示:台体是由锥体用平行于底面的平面截得的几何体,所以它的体积 也可以转化为两个锥体的体积之差.求解过程如下: 如图所示,设台体(棱台或圆台)上、下底面面积分别
5、是 S,S,高是 h,设截 得台体时去掉的锥体的高是 x,则截得这个台体的锥体的高是 h+x,则 V台体 =V大锥体-V小锥体=1 3S(h+x)- 1 3Sx= 1 3Sh+(S-S)x,而 = 2 (+)2,所以 = +, 于是有 x= h - ,代入体积表达式, 得 V台体=1 3 + (-) - = 1 3h(S+ +S). JICHU ZHISHI 基础知识 首 页 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 SUITANG LIANXI 随堂练习 特别提醒柱体、锥体、台体之间的关系 JICHU ZHISHI 基础知识 首 页 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 SUIT
6、ANG LIANXI 随堂练习 3.球的体积 V球=4 3 R3,其中 R 为球的半径. 思考 4球的半径变为原来的 3 倍,则它的体积变为原来的多 少倍? 提示:27 倍. ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 SUITANG LIANXI 随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 探究一 柱体的体积 1.柱体(棱柱、圆柱)的体积等于它的底面积 S 和高 h 的积,即 V柱体=Sh. 底面半径是 r,高是 h 的圆柱体的体积的计算公式是 V圆柱=r2h. 2.平行六面体的体积求解是比较常见的,因为平行六面体的六个面都 是平行四边形,
7、故可以用任意一组平行的面作为底面,其余面作为侧面.解题 时,我们以解直棱柱的体积居多,故在平行六面体中选底面时,以构成直棱柱 为首选因素. ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 SUITANG LIANXI 随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 【典型例题 1】 (1)如图,某几何体的主视图是平行四边形,左视图和俯 视图都是矩形,则该几何体的体积为( ) A.6 3 B.9 3 C.12 3 D.18 3 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 SUITANG LIANXI 随堂练
8、习 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 解析:由三视图知,该几何体为平行六面体,由图知高 h= 22-12= 3. 底面积:S=33=9, 所以其体积 V=9 3. 答案:B ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 SUITANG LIANXI 随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 (2)用一块长4 m,宽2 m的矩形铁皮卷成一个圆柱形铁筒,如何制作可 使铁筒的体积最大? 解:若以矩形的长为圆柱的母线l,则l=4 m,此时圆柱底面周长为2 m, 即圆柱底面半径为 R=1 m,所以圆柱的体积为 V=R 2l= 1 2 4=4 (m
9、 3). 若以矩形的宽为圆柱的母线,同理可得 V=8 (m 3), 所以第二种方法可使铁筒体积最大. ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 SUITANG LIANXI 随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 探究二 锥体的体积 求锥体的体积常见的方法: (1)公式法:直接代入公式求解. (2)等积法:如四面体的任何一个面都可以作为底面,只需选用底面积和 高都易求的形式即可. (3)补体法:将几何体补成易求解的几何体,如棱锥补成棱柱、三棱柱补 成四棱柱等. (4)分割法:将几何体分割成易求解的几部分,分别求体积. ZHONGDIAN
10、 NANDIAN 重点难点 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 SUITANG LIANXI 随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 【典型例题 2】 圆锥底面半径为 3,母线长为 5,则这个圆锥的体积为 ( ) A.36 B.18 C.45 D.12 解析:V圆锥=1 3r 2h, 由于 r=3,h=4(其轴截面如图), 得 V=1 394=12. 答案:D ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 SUITANG LIANXI 随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 探究三 台体的体积 1.台体体积公式适用于棱台和
11、圆台. 2.圆台(棱台)的高是指两个底面之间的距离. 3.柱体、锥体、台体的体积关系如图所示. ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 SUITANG LIANXI 随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 【典型例题 3】 若某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则此几何体 的体积是( ) A.352 3 cm3 B.320 3 cm3 C.224 3 cm3 D.160 3 cm3 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 SUITANG LIANXI 随堂练习 探究一 探究二 探究
12、三 探究四 探究五 解析:由三视图可知该几何体上部分为一长方体,下部分为正四棱台. V=442+1 3(4 2+48+82)2=320 3 (cm3). 答案:B ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 SUITANG LIANXI 随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 探究四 球的体积 球的体积的计算常与其他几何体结合,将球的性质、 简单几何体的性质 融合在一起考查. 常见的有内切和外接问题,求解与球有关的切接问题时要认真分析题 中已知条件,明确切点或接点的位置,正确作出截面图,再分析相关量间的数 量关系. ZHONGDIAN N
13、ANDIAN 重点难点 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 SUITANG LIANXI 随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 【典型例题 4】 平面 截球 O 的球面所得圆的半径为 1,球心 O 到平 面 的距离为 2,则此球的体积为( ) A. 6 B.4 3 C.4 6 D.6 3 解析:利用截面圆的性质先求得球的半径长. 如图所示,设截面圆的圆心为 O,M 为截面圆 上任一点, 则 OO= 2,OM=1, 所以 OM= ( 2)2+ 1 = 3,即球的半径为 3. 所以 V=4 3 ( 3)3=4 3. 答案:B ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 首 页
14、 JICHU ZHISHI 基础知识 SUITANG LIANXI 随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 探究五 易错辨析 易错点:将几何体误认为锥体而致误 【典型例题 5】 如图所示,在三棱柱 ABC-A1B1C1中,若 E,F 分别为 AB,AC 的中点,平面 EB1C1F 将三棱柱分成了 AEF-A1B1C1和 BB1E-CC1F 两 部分,它们的体积分别为 V1,V2,那么 V1 V2= . ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 SUITANG LIANXI 随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 错解:由已知可
15、知几何体AEF-A1B1C1是三棱台,几何体BB1E-CC1F是四 棱锥. 设三棱柱的底面积为 S,高为 h, 则由锥、台的体积公式可得, V1=1 3 + 1 4 S + 4 = 7 12Sh, V2=1 3h 3 4S= 1 4Sh. 所以 V1 V2= 7 12Sh 1 4Sh=7 3. ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 SUITANG LIANXI 随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 错因分析:几何体 BB1E-CC1F 不是一个规则的几何体,而错解中将其看 成了锥体. 正解:设三棱柱的高为 h,底面的面积为 S,体
16、积为 V,则 V=V1+V2=Sh. 因为 E,F 分别为 AB,AC 的中点,所以 SAEF=1 4S, V1=1 3 + 1 4 S + 4 = 7 12Sh,V2=Sh-V1= 5 12Sh, 故 V1 V2=7 5. 答案:7 5 SUITANG LIANXI 随堂练习 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 1 2 3 4 5 1.若一个球的表面积为 4,则这个球的体积是( ) A. 3 B.4 3 C.8 3 D.32 3 答案:B SUITANG LIANXI 随堂练习 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 ZHONGDIA
17、N NANDIAN 重点难点 1 2 3 4 5 2.在棱长为1的正方体上,分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体, 则截去 8 个三棱锥后,剩下的凸多面体的体积是( ) A.2 3 B.7 6 C.4 5 D.5 6 解析:如图,去掉的一个棱锥的体积是1 3 1 2 1 2 1 2 1 2 = 1 48, 剩余几何体的体积是 1-8 1 48 = 5 6. 答案:D SUITANG LIANXI 随堂练习 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 1 2 3 4 5 3.正六棱锥 P-ABCDEF 中,G 为 PB 的中点,则三棱锥 D-G
18、AC 与三棱锥 P-GAC 的体积之比为( ) A.1 1 B.1 2 C.2 1 D.3 2 解析:如图所示,设正六棱锥的高为 h, VD-GAC=VG-DAC=1 3S ADC1 2h, VP-GAC=1 2VP-ABC=VG-ABC =1 3S ABC 2. 又 SADC SABC=2 1,所以 VD-GAC VP-GAC=2 1. 答案:C SUITANG LIANXI 随堂练习 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 1 2 3 4 5 4.正四棱台的斜高与上、下底面边长之比为 5 2 8,体积为 14 cm3,则该棱台 的高为 .
19、解析:如图所示,设正四棱台 AC的上底面边长为 2a,则斜高 EE、下底面边长分别为 5a,8a. 所以高 OO= (5)2-(4a-a)2=4a. 又因为 1 34a(64a 2+4a2+ 42 642)=14, 所以 a=1 2,所以棱台的高为 4 1 2=2(cm). 答案:2 cm SUITANG LIANXI 随堂练习 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 1 2 3 4 5 5.根据图中标出的尺寸,求各几何体的体积. SUITANG LIANXI 随堂练习 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 1 2 3 4 5 解:(1)该几何体是圆锥,高 h=10,底面半径 r=3,所以底面积 S=r2=9, 则 V=1 3Sh= 1 3910=30. (2)该几何体是正四棱台,两底面中心连线就是高 h=6, 上底面面积 S上=64,下底面面积 S下=144, 则 V=1 3(S 上+S下+ 上下)h =1 3(64+144+ 64 144)6=608.
