1、2.1.2 求曲线的方程 “天宫一号天宫一号”运行要经过两次轨道控制，运行要经过两次轨道控制， 从入轨时的椭圆轨道进入近圆轨道从入轨时的椭圆轨道进入近圆轨道. 在这里我们必须要知道“天宫一号”运行的轨在这里我们必须要知道“天宫一号”运行的轨 道（轨迹），那么科学家们是如何进行计算的呢？道（轨迹），那么科学家们是如何进行计算的呢？ 接下来我们就来探究一下轨迹方程的求法接下来我们就来探究一下轨迹方程的求法. . 1.1.理解坐标法的作用及意义理解坐标法的作用及意义. . 2.2.掌握求曲线方程的一般方法和步骤，能根据所给掌握求曲线方程的一般方法和步骤，能根据所给 条件，选择适当坐标系条件，选择适当
2、坐标系. .（重点、难点）（重点、难点） 探究探究 求曲线的方程的步骤求曲线的方程的步骤 上一节，我们已经学习了曲线的方程与方程的曲上一节，我们已经学习了曲线的方程与方程的曲 线的概念线的概念. .利用这两个重要概念，就可以借助于坐标利用这两个重要概念，就可以借助于坐标 系，用坐标表示点，把曲线看成满足某种条件的点的系，用坐标表示点，把曲线看成满足某种条件的点的 集合或轨迹，用曲线上点的坐标集合或轨迹，用曲线上点的坐标（x, y）所满足的方所满足的方 程程f(x, y)=0表示曲线，通过研究方程的性质间接地来表示曲线，通过研究方程的性质间接地来 研究曲线的性质研究曲线的性质. . 我们把借助于
3、坐标系研究几何图形的方法我们把借助于坐标系研究几何图形的方法 叫做坐标法叫做坐标法. 在数学中，用坐标法研究几何图形在数学中，用坐标法研究几何图形 的知识形成的学科叫做解析几何的知识形成的学科叫做解析几何.因此，解析几因此，解析几 何是用代数方法研究几何问题的一门数学学科何是用代数方法研究几何问题的一门数学学科. 问题问题1 1：解析几何与坐标法：解析几何与坐标法. . 问题问题2 2：平面解析几何研究的两个基本问题：平面解析几何研究的两个基本问题. . （1 1）根据已知条件，求出表示平面曲线的方程；）根据已知条件，求出表示平面曲线的方程； （2 2）通过曲线的方程，研究平面曲线的性质）通过
4、曲线的方程，研究平面曲线的性质. . 【例例1 1】设设A,BA,B两点的坐标分别是两点的坐标分别是( (1,1,1)1)，(3,7)(3,7)， 求线段求线段ABAB的垂直平分线的方程的垂直平分线的方程. . 解析：解析：设点设点M(x,y)是线段是线段ABAB的垂直平分的垂直平分 线上的任意一点，也就是点线上的任意一点，也就是点M属于集合属于集合 .PM MAMB 由两点间的距离公式，点由两点间的距离公式，点M适合的条件可表示为适合的条件可表示为 2222 (x 1)(y 1)(x 3)(y 7) . 上式两边平方，并整理得上式两边平方，并整理得 x+2y7=0. 我们证明方程是线段我们证
5、明方程是线段ABAB的垂直平分线的方程的垂直平分线的方程. . （1 1）由求方程的过程可知，垂直平分线上每一）由求方程的过程可知，垂直平分线上每一 点的坐标都是方程的解；点的坐标都是方程的解； （2 2）设点）设点M1的坐标的坐标（x1,y1）是方程的解，即是方程的解，即 x1+2y17=0, x1=72y1. 点点M1到到A，B的距离分别是的距离分别是 11 ,M AM B 所所以以 2222 11111 2 11 11821 5613 ()() ()() (); M Axyyy yy 2222 11111 2 11 37427 5613 ()()()() (). M Bxyyy yy 即
6、点即点M在线段在线段ABAB的垂直平分线上的垂直平分线上. . 由由(1)(1)、(2)(2)可知可知, ,方程是线段方程是线段ABAB的垂直平分线的垂直平分线 的方程的方程. . 由上述例子可以看出，求曲线的方程，一般有下面由上述例子可以看出，求曲线的方程，一般有下面 几个步骤：几个步骤： (1)(1)建系设动点：建系设动点：建立适当的坐标系建立适当的坐标系, ,用有序实数对用有序实数对 （x,yx,y）表示所求曲线上任意一点）表示所求曲线上任意一点M M的坐标；（求谁设谁）的坐标；（求谁设谁） (2)(2)列几何条件列几何条件: :写出适合条件写出适合条件p p的点的点M M的集合的集合
7、P=M|p(M);P=M|p(M); (3)(3)坐标代换坐标代换: :用坐标表示条件用坐标表示条件p(M),p(M),列出方程列出方程f(x,y)=0;f(x,y)=0; 说明：说明：一般情况下，化简前后方程的解集是相同的，一般情况下，化简前后方程的解集是相同的， 步骤步骤（5 5）可以省略不写，如有特殊情况，可适当可以省略不写，如有特殊情况，可适当 予以说明予以说明. 另外，也可以根据情况省略步骤另外，也可以根据情况省略步骤（2 2），）， 直接列出曲线方程直接列出曲线方程. (4)(4)化简化简: :化方程化方程f(x,y)=0f(x,y)=0为最简形式；为最简形式； (5)(5)证明证
8、明: :说明以化简后的方程的解为坐标的点都在说明以化简后的方程的解为坐标的点都在 曲线上曲线上. . 【例例2 2】已知一条直线已知一条直线l和它上方的一个点和它上方的一个点F F，点，点F F到到l 的距离是的距离是2.2.一条曲线也在一条曲线也在l的上方，它上面的每一的上方，它上面的每一 点到点到F F的距离减去到的距离减去到l的距离的差都是的距离的差都是2,2,建立适当的建立适当的 坐标系，求这条曲线的方程坐标系，求这条曲线的方程. . 分析：分析：在建立坐标系时，一般应当充分在建立坐标系时，一般应当充分 利用已知条件中的定点、定直线等，利用已知条件中的定点、定直线等， 这样可以使问题中
9、的几何特征得到更好的这样可以使问题中的几何特征得到更好的 表示，从而使曲线方程的形式简单一些表示，从而使曲线方程的形式简单一些. . 解：解：如图，取直线如图，取直线l为为x轴轴,过点过点F且垂直于直线且垂直于直线l的直线的直线 为为y轴轴, 建立坐标系建立坐标系xOy.xOy. 设点设点M(x,y)M(x,y)是曲线上任意一点，作是曲线上任意一点，作MBxMBx轴，轴， 垂足为垂足为B，那么点，那么点M属于集合属于集合 2.PM MFMB 由两点间的距离公式，点由两点间的距离公式，点M适合的条件可表示为适合的条件可表示为 22 22(),xyy 将式移项后两边平方，得将式移项后两边平方，得
10、,)2()2( 222 yyx . 8 1 2 xy 化简得化简得 因为曲线在因为曲线在x轴的上方，所以轴的上方，所以y0.虽然原点虽然原点O的坐的坐 标（标（0,0）是这个方程的解，但不属于已知曲线，所）是这个方程的解，但不属于已知曲线，所 以曲线的方程应是以曲线的方程应是 .0 8 1 2 ）（ xxy 通过上述两个例题了解坐标法的解题方法，通过上述两个例题了解坐标法的解题方法， 明确建立适当的坐标系是求解曲线方程的基础；明确建立适当的坐标系是求解曲线方程的基础； 同时，根据曲线上的点应适合的条件列出等式，同时，根据曲线上的点应适合的条件列出等式， 是求曲线方程的重要环节，严格按步骤解题是
11、基是求曲线方程的重要环节，严格按步骤解题是基 本能力本能力. . 【提升总结提升总结】 【变式练习变式练习】 6 26 M M . 两两个个定定点点的的距距离离为为 ，点点到到这这两两个个定定点点 的的距距离离的的平平方方和和为为，求求点点的的轨轨迹迹方方程程 x y M AB O 33 22 A(-3,0)B(3,0)M( , ), |MA|MB|26 , x y 如如图图建建立立坐坐标标系系，设设两两定定点点 ，动动点点 则则 解解： 即即 222 22 3326 4 2 ()() . xyxy xy ， 化化简简得得 【提升总结提升总结】 建立建立适当适当坐标系的基本原则坐标系的基本原则
12、: : （1 1）定点、定线段常选在坐标轴上）定点、定线段常选在坐标轴上; ; (2(2）原点有时选在定点）原点有时选在定点; ; （3 3）充分利用对称性，坐标轴可选为对称轴）充分利用对称性，坐标轴可选为对称轴. . 另外注意：另外注意：坐标系不同虽曲线形状一样其方程坐标系不同虽曲线形状一样其方程 却不同；要注意选择几何图形与坐标系的适当却不同；要注意选择几何图形与坐标系的适当 相对位置，以简化方程形式相对位置，以简化方程形式. . 1.1.圆心在直线圆心在直线x x- -2y+7=02y+7=0上的圆上的圆C C与与x x轴交于两点轴交于两点 A(A(- -2,0)2,0)，B(B(- -
13、4,0),4,0),则圆则圆C C的方程为的方程为_._. 答案：答案：(x+3)(x+3)2 2+(y+(y- -2)2)2 2=5=5 2.在在ABC中，中，B，C 坐标分别为（坐标分别为（-3，0），）， （3，0），且三角形周长为），且三角形周长为16，则点，则点A的轨迹方的轨迹方 程是程是_. 2222 xyxy +=1(x+=1(x5)5) 25162516 答答案案： 3.3.在平面直角坐标系在平面直角坐标系xOy中，点中，点B与点与点A(1，1)关关 于原点于原点O对称，对称，P是动点，且直线是动点，且直线AP与与BP的斜率之的斜率之 积等于积等于 .求动点求动点P的轨迹方程的
14、轨迹方程. 3 1 解析：解析：因为点因为点B与点与点A(1,1)关于原点对称，得关于原点对称，得B 点坐标为点坐标为(1，1) 设设 P 点坐标为点坐标为(x，y)，则，则 kAPy 1 x1， ，kBPy 1 x1， ， 由题意得由题意得y y 1 1 x x1 1 y y 1 1 x x1 1 1 1 3 3， ， 化简得：化简得：x x 2 2 3y3y 2 2 4(x4(x1)1) 即即 P P 点轨迹方程为：点轨迹方程为：x x 2 2 3y3y 2 2 4 4(x(x1)1) 1.1.本节学习了一种方法本节学习了一种方法-直接法求曲线方程直接法求曲线方程; ; 2 2. .直接法
15、求曲线方程五个步骤的实质是将产直接法求曲线方程五个步骤的实质是将产 生曲线的几何条件逐步转化为含动点坐标生曲线的几何条件逐步转化为含动点坐标 的代数方程的过程的代数方程的过程. .(因此求曲线方程时要因此求曲线方程时要 注意挖掘题中形成曲线的等量关系注意挖掘题中形成曲线的等量关系) ); ; 3.3.求曲线方程时求曲线方程时, ,五个步骤不一定要全部实施五个步骤不一定要全部实施. .如如 第二步、第五步；第二步、第五步； 4.4.注意注意: :(1)(1)建系要适当；建系要适当； (2)(2)化简变形要考查等价与否化简变形要考查等价与否( (即考察曲线即考察曲线 的完备性和纯粹性的完备性和纯粹性).). 时间是最公开合理的，它从不多给谁 一份，勤劳者能叫时间留给串串的果实，懒 惰者时间给予他们一头白发，两手空空.
