1、第三章 函数的应用 3.1 函数与方程 3.1.1 方程的根与函数的零点 【学习目标】 1.结合二次函数的图象，判断一元二次方程根的存在性及 根的个数，从而了解函数的零点与方程的根的联系. 2.掌握零点存在的判定定理. 1.函数的零点 零点 实数根 横坐标 (1)对于函数 yf(x)，使 f(x)0 的实数 x 叫做函数 yf(x) 的_. 交点 零点 (2)函数 yf(x)的零点就是方程 f(x)0 的_，也就是 函数 yf(x)的图象与 x 轴的交点的_. (3) 方程 f(x) 0 有实数根 函数 y f(x) 的图象与 x 轴有 _函数 yf(x)有_. 练习 1：函数 f(x)x21
2、 的零点为_. 1 2.函数零点的存在性定理 0 如果函数 yf(x)在a，b上的图象是连续不断的一条曲线， 并且有 f(a)f(b)_0，那么 yf(x)在区间(a，b)内有零点，即 存在 c(a，b)，使得 f(c)_，c 也就是方程 f(x)0 的根. 练习2：函数 y3x2 在下列哪个区间内有零点( ) B.(0,1) D.(2,3) A.(1,0) C.(1,2) B 【问题探究】 函数 yf(x)的零点、方程 f(x)0 的实数根和函数 yf(x) 的图象与 x 轴的交点情况，三者有什么关系？ 答案：函数 yf(x)有零点方程 f(x)0 有实数根函数 y f(x)的图象与 x 轴
3、有交点 题型 1 求函数的零点 【例 1】 求下列函数的零点： (1)yx2x20； (2)y(x22)(x23x2)； (3)y2x1； (4)f(x)(x2x)2(x2x)2. 思维突破：将函数解析式转化为方程，通过方程求函数的 零点. 解：(1)令 y0，即x2x200， 解得 x15，x24.所求函数的零点为5,4. (2)令 y0，即(x22)(x23x2)0. 解得 x1 2，x2 2，x31，x42. 所求函数的零点为 2， 2，1,2. (3)解方程 2x10，得 x0， 所求函数的零点为 0. 一般可以借助求根公式、因式分解或换元等方 法求出方程的根，从而得到函数的零点. (
4、4)令f(x)0，tx2x，则t2t20， (t2)(t1)0.解得t12或t21. 若t12，即x2x20，x2或x1. 若t21，即x2x10. (1)2430， 2 a0， 解得 00， f332532a0， 1 5 213， 解得 4a17 4 . 【例 4】 已知 mx2x10 有且只有一个根在区间(0,1) 内，求实数 m 的取值范围. 易错分析：当方程 f(x)0 在区间(a，b)内有且只有一个根 时，则有可能是 f(a)f(b)0，也有可能是 f(a)f(b)0. 解：设 f(x)mx2x1， 当 m0 时，方程的根为1，不满足条件 当m0 时， mx2x10有且只有一个根在区
5、间(0,1) 内，又 f(0)10， 有两种可能情形：由 f(1)0，得 m2；由 0 且 0 1 2m1，得 m 不存在 综上所述，m2. 方法 规律 小结 1.准确理解函数的零点. (1)函数的零点是一个实数，当自变量取该实数时，其函数 值等于零；函数的零点不是点，它是函数 yf(x)与 x 轴交点的 横坐标，是方程 f(x)0 的根. (2)根据函数零点的定义，可知：函数 f(x)的零点就是方程 f(x)0 的根，因此判断一个函数是否有零点，或有几个零点， 就是判断方程 f(x)0 是否有实根，或有几个实根. (3)函数零点的存在性定理的条件是充分条件，即若 f(a)f(b) 0 不成立，函数 yf(x)在区间(a，b)内亦可能存在零点. 2.函数的零点、方程的根和函数图象与 x 轴交点坐标的关系. 三者之间是互相等价的关系.因此，求 yf(x)的零点： 从数的角度分析就是求 f(x)0 的根； 从形的角度分析就是求 yf(x)的图象与 x 轴交点的横坐标. 3.使用根的存在性定理要注意以下三点：函数 yf(x)在 区间a，b上连续；满足 f(a)f(b)0；该定理只能求变号零 点，对非变号零点不适用，因此只是零点存在的一个充分条件.
