1、1.1.理解单调函数的定义；理解单调函数的定义；（重点）（重点） 2.2.理解增函数、减函数的定义；理解增函数、减函数的定义；（重点）（重点） 3.3.掌握定义法判断函数单调性的步骤；掌握定义法判断函数单调性的步骤；（难点）（难点） 4.4.会用函数单调性的定义证明简单的函数的单调性，会用函数单调性的定义证明简单的函数的单调性， 求函数的单调区间求函数的单调区间. . 1.3.11.3.1函数的单调性函数的单调性 我们通过几个函数的图象观察函数值随自我们通过几个函数的图象观察函数值随自 变量而变化的规律变量而变化的规律. . 函函数数值值在在（，）上上 随随着着自自变变量量的的增增大大而而增增
2、大大. . 0) 0 函函数数值值在在（， 上上随随自自变变量量的的 增增大大而而减减少少，在在 ，）上上随随 自自变变量量的的增增大大而而增增大大. . 探究探究; ;函数单调性的定义函数单调性的定义 如何用函数的解析如何用函数的解析 式和数学语言进行式和数学语言进行 描绘？描绘？ 一般地，设函数一般地，设函数f(x)f(x)的定义域为的定义域为I:I: 如果对于定义域如果对于定义域I I内某个区间内某个区间D D上的任意两个自变上的任意两个自变 量的值量的值 ，当，当 时，都有时，都有_，那，那 么就说函数么就说函数 在区间在区间D D上是减上是减函数函数 12 xx， 12 xx f(x
3、) 函数单调性的相关概念函数单调性的相关概念 f(xf(x1 1)f(x2 2) ) 如果函数如果函数y=f(x)y=f(x)在区间在区间D D上是上是_， 那么就说函数那么就说函数y=f(x)y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调在这一区间具有（严格的）单调 性，区间性，区间D D叫做叫做y=f(x)y=f(x)的单调区间的单调区间 增函数或减函数增函数或减函数 对函数单调性的理解对函数单调性的理解 第一、第一、 “定义域“定义域I I内的某个区间内的某个区间D”, D”, 即说明函即说明函 数的单调区间是定义域的子集数的单调区间是定义域的子集. . 12 ,x x 有三个特征：一是任意性
4、，二是 有大小，三是同属于一个区间. 第二、第二、 例例1.1.下图是定义在区间下图是定义在区间 - -5,55,5上的函数上的函数y=f(x)y=f(x)，根据，根据 图象说出函数的单调区间，以及在每一个单调区间上，图象说出函数的单调区间，以及在每一个单调区间上， 它是增函数还是减函数它是增函数还是减函数? ? 解：解：函数函数 的单调区间有的单调区间有 yf(x) 52) 2,1),1,3),3,5,， 其中其中 在区间在区间 上是减函数，在区间上是减函数，在区间 上是增函数上是增函数 yf(x) 52) 1,3)， 2,1),3,5 例例2 2：证明函数证明函数f(x)=xf(x)=x2
5、 2+2+2在在( (,0),0)上是减函数上是减函数 【解析解析】设设x x1 1,x,x2 2为区间为区间( (,0),0)上的任意两个实数且上的任意两个实数且x x1 10， 即即f(xf(x1 1) )- -f(xf(x2 2)0)0， f(xf(x1 1)f(x)f(x2 2),),所以函数所以函数f(x)=xf(x)=x2 2+2+2在在( (,0),0)上是减函数上是减函数. . 2 1 x 2 2 x 画出反比例函数画出反比例函数f(x)= f(x)= 的图象的图象. . （1 1）这个函数的定义域）这个函数的定义域I I是什么？是什么？ （2 2）它在定义域）它在定义域I I
6、上的单调性是怎样的？上的单调性是怎样的？ 证明你的结论证明你的结论. . 1 x 探究实践探究实践 1( )( )函函数数的的定定义义域域是是(- ,0) (0,+ ).(- ,0) (0,+ ). 200( )函函数数在在（， ）上上和和（ ，）上上 都都是是减减函函数数. . 函数图象如图函数图象如图 1212 0证证明明：任任取取且且,(, ),x xxx 21 12 1212 11 ()(). xx f xf x xxx x 则则 1 )0.根据函数单调性的定义，函数（在（，）上是减函数f x x 12 ( )(.f xf x即） 函函数数在在（- - ，0 0）上上单单调调递递减减的
7、的证证明明如如下下： 000 0 12121221 12 由x ,x (-, )得x x ;由x . 所以f(x )-f(x ) ， 1.( )(2 1) 1111 2222 f xaxbR设函数在 上是严格单调减函数，则有（ ） A.a . 解析：解析：直线直线y=kx+by=kx+b在在k0k0时，单调递减时，单调递减. . 2a2a- -10,10,即即aa D D 1 2 2.2.函数函数 的单调增区间是的单调增区间是_._. 2 361yxx （1 1，+） 3.3.函数函数 f(x)=xf(x)=x2 2- -2ax+32ax+3在在( (- -，44上是减函数，则上是减函数，则
8、a a的取值范围为的取值范围为_ 4，+) 4.4.根据下图说出函数的单调区间，以及在每一个单根据下图说出函数的单调区间，以及在每一个单 调区间上，函数是增函数还是减函数调区间上，函数是增函数还是减函数. . 解：解：函数的单调区间是函数的单调区间是 - -1,01,0）,0,2,0,2）,2,4,2,4）,4,5.,4,5. 在区间在区间 - -1,01,0）,2,4,2,4）上，函数是减函数；）上，函数是减函数； 在区间在区间0,20,2）,4,5,4,5上，函数是增函数上，函数是增函数. . 5.5.证明函数证明函数 在区间在区间 上是增函数上是增函数. . f x2x( ) 2,) 证
9、明：证明：任取任取 ，且，且 ， 12 , 2,) x x 12 xx 则则 1212 ()()22f xf xxx 1212 12 1212 (22)(22) . 2222 xxxxxx xxxx 因为因为 1212 0,220 ，xxxx 得得 12 ()()f xf x 所以函数所以函数 在区间在区间 - -2,+)2,+)上是增函数上是增函数 ( )2f xx 1.1.函数的单调性定义的内涵与外延：函数的单调性定义的内涵与外延： 内涵内涵: :是用自变量的大小变化来刻画函数值的变化是用自变量的大小变化来刻画函数值的变化 情况；情况； 外延外延: :一般规律：自变量的变化与函数值的变化一
10、般规律：自变量的变化与函数值的变化 一致时是单调递增，自变量的变化与函数值的变化一致时是单调递增，自变量的变化与函数值的变化 相反时是单调递减相反时是单调递减. . 几何特征：在自变量取值区间上，若函数的图象几何特征：在自变量取值区间上，若函数的图象 上升，则为增函数，图象下降则为减函数上升，则为增函数，图象下降则为减函数. . 3. 3. 证明函数的单调性的基本步骤是：证明函数的单调性的基本步骤是： （1 1）取值；）取值； （2 2）作差变形；）作差变形； （3 3）定号；）定号； （4 4）判断）判断. . 2.2.函数的单调性是函数在其定义域上的“局部”性函数的单调性是函数在其定义域上的“局部”性 质，即函数可能在其定义域上的某个区间内递增，质，即函数可能在其定义域上的某个区间内递增， 在另外的区间上递减，研究函数的单调性一定要注在另外的区间上递减，研究函数的单调性一定要注 意在定义域的哪个区间内意在定义域的哪个区间内. .
