1、希腊数学的先行者希腊数学的先行者n从公元前从公元前2000年左右到公元前年左右到公元前30年，古代年，古代希腊人以巴尔干半岛、爱琴海诸岛和小亚希腊人以巴尔干半岛、爱琴海诸岛和小亚细亚沿岸为中心，在包括北非、西亚和意细亚沿岸为中心，在包括北非、西亚和意大利半岛南部及西西里岛的整个地中海地大利半岛南部及西西里岛的整个地中海地区建立起了一系列奴隶制国家。区建立起了一系列奴隶制国家。n希腊人在文明史上首屈一指，在数学史上希腊人在文明史上首屈一指，在数学史上至高无上。他们虽也取用了周围其他文明至高无上。他们虽也取用了周围其他文明世界的一些东西，但希腊人创造了他们自世界的一些东西，但希腊人创造了他们自己的
2、文明和文化，这是一切文明中最宏伟己的文明和文化，这是一切文明中最宏伟的，是对现代西方文化的发展影响最大的，的，是对现代西方文化的发展影响最大的，是对今日数学的奠基有决定作用的。是对今日数学的奠基有决定作用的。古今数学思想古今数学思想n奴隶制城邦奴隶制城邦n海滨移民海滨移民n他们具有典型的开拓精神，对于所接触的事物，他们具有典型的开拓精神，对于所接触的事物，不愿因袭传统；不愿因袭传统；n其次，他们身处与两大河谷毗邻之地，易于汲取其次，他们身处与两大河谷毗邻之地，易于汲取那里的文化。那里的文化。n通常把希腊开创的初等数学时期分为两个通常把希腊开创的初等数学时期分为两个阶段。阶段。n一是一是希腊早期
3、数学希腊早期数学，即，即古典时期古典时期的希腊数的希腊数学。这个阶段大约从公元前六世纪开始到学。这个阶段大约从公元前六世纪开始到公元前三世纪。公元前三世纪。n二是二是希腊后期数学希腊后期数学，即，即亚历山大时期亚历山大时期的希的希腊数学。这一时期大约从公元前三世纪到腊数学。这一时期大约从公元前三世纪到公元六世纪。公元六世纪。1 爱奥尼亚学派和演绎证明爱奥尼亚学派和演绎证明n以演绎证明为基本特征的以演绎证明为基本特征的 数学，最早诞生于古希腊数学，最早诞生于古希腊 爱奥尼亚地区的海滨城市爱奥尼亚地区的海滨城市米利都米利都。n“希腊科学之父希腊科学之父”泰勒斯泰勒斯 n古希腊第一个数学学派古希腊第
4、一个数学学派爱奥尼亚学派爱奥尼亚学派n米利都同时也是希腊哲学和科学的诞生地米利都同时也是希腊哲学和科学的诞生地1 爱奥尼亚学派和演绎证明爱奥尼亚学派和演绎证明n泰勒斯的五个命题：泰勒斯的五个命题：圆被任一直径二等分；圆被任一直径二等分；等腰三角形的两底角相等；等腰三角形的两底角相等；两条直线相交，对顶角相等两条直线相交，对顶角相等；两个三角形，有两个角和一条边对应相等，则这两个三角形，有两个角和一条边对应相等，则这两个三角形全等；两个三角形全等；内接于半圆的角必为直角。内接于半圆的角必为直角。n其中最后一个定理被人们称为其中最后一个定理被人们称为“泰勒斯定泰勒斯定理理”。1 爱奥尼亚学派和演绎
5、证明爱奥尼亚学派和演绎证明n从泰勒斯开始，人们已不再仅仅利用直观从泰勒斯开始，人们已不再仅仅利用直观和实验来寻求数学结论了。和实验来寻求数学结论了。n换句话说，实际上泰勒斯已经将逻辑学中换句话说，实际上泰勒斯已经将逻辑学中的演绎推理引入了数学，奠定了的演绎推理引入了数学，奠定了演绎数学演绎数学的基础的基础，这使得他获得了，这使得他获得了第一位数学家和第一位数学家和论证几何学家鼻祖论证几何学家鼻祖的美誉。的美誉。n关于泰勒斯，还有一些其他的零星传说。关于泰勒斯，还有一些其他的零星传说。n理性思维理性思维的观念，正是希腊科学精神的精的观念，正是希腊科学精神的精髓之所在。髓之所在。2 毕达哥拉斯学派
6、与毕达哥拉斯学派与“万物皆数万物皆数”n毕达哥拉斯毕达哥拉斯是古希腊哲学家、数学家、天是古希腊哲学家、数学家、天文学家和音乐理论家，出生与爱琴海中的文学家和音乐理论家，出生与爱琴海中的萨摩斯岛。萨摩斯岛。2 毕达哥拉斯学派与毕达哥拉斯学派与“万物皆数万物皆数”n意大利半岛南部的克罗多意大利半岛南部的克罗多内内n一个集政治、宗教和学术一个集政治、宗教和学术研究于一体的秘密会社，研究于一体的秘密会社，这就是著名的这就是著名的毕达哥拉斯毕达哥拉斯学派学派。n相传希腊文中相传希腊文中“哲学哲学”和和“数学数学”这两个词就是由这两个词就是由毕达哥拉斯学派创造的。毕达哥拉斯学派创造的。2 毕达哥拉斯学派与
7、毕达哥拉斯学派与“万物皆数万物皆数”n基本信条基本信条 “万物皆数万物皆数”万物的本原就是万物的本原就是数数n数是由单子或数是由单子或1产生的，因此将产生的，因此将1命名为命名为“原因数原因数”，每一个数都被赋予了特定的，每一个数都被赋予了特定的属性，而一切数中最神圣的是属性，而一切数中最神圣的是10，他们信，他们信奉和崇拜奉和崇拜10，认为它是完美、和谐的标志。，认为它是完美、和谐的标志。n这种这种“万物皆数万物皆数”的观念从另一侧面强调的观念从另一侧面强调了数学对客观世界的重要作用，这也是了数学对客观世界的重要作用，这也是数数学化思想学化思想的最初表述形式。的最初表述形式。2 毕达哥拉斯学
8、派与毕达哥拉斯学派与“万物皆数万物皆数”n毕达哥拉斯学派还定义了毕达哥拉斯学派还定义了完全数完全数、过剩数、过剩数和不足数。和不足数。n6是最小的完全数，下一个完全数是是最小的完全数，下一个完全数是28，等，等等。等。n亲和数亲和数的概念也被归功于毕达哥拉斯学派。的概念也被归功于毕达哥拉斯学派。n最小的一对亲和数是最小的一对亲和数是220和和284。2 毕达哥拉斯学派与毕达哥拉斯学派与“万物皆数万物皆数”n毕达哥拉斯学派关于毕达哥拉斯学派关于“形数形数”的研究，强烈的研究，强烈地反映了他们将数作为几何思维元素的精神。地反映了他们将数作为几何思维元素的精神。三角形数三角形数 N=1+2+3+n(
9、n+1)/2 正方形数正方形数 N=1+3+5+7+(2n-1)五边形数五边形数 N=1+4+7+(3n-2)=n(3n-1)/2 六边形数六边形数 N=1+5+9+(4n-3)=2n2-nn高阶等差序列高阶等差序列2 毕达哥拉斯学派与毕达哥拉斯学派与“万物皆数万物皆数”n形数（形数（figured numbers）理论可以上）理论可以上溯到毕达哥拉斯（溯到毕达哥拉斯（Pythagoras,569 B。C。500 B。C。）本人。用一点（或。）本人。用一点（或一个小石子）代表一个小石子）代表1，两点（或两个小石，两点（或两个小石子）代表子）代表2，三点（或三个小石子）代表，三点（或三个小石子）
10、代表3，等等，毕达哥拉斯学派在世界数学史，等等，毕达哥拉斯学派在世界数学史上首次建立了数和形之间的联系。早期上首次建立了数和形之间的联系。早期毕达哥拉斯学派似乎已经熟悉利用小石毕达哥拉斯学派似乎已经熟悉利用小石子或点来构造三角形数和正方形数；晚子或点来构造三角形数和正方形数；晚期的毕达哥拉斯学派成员尼可麦丘期的毕达哥拉斯学派成员尼可麦丘（Nicomachus,60?120?）以及稍后）以及稍后的泰恩（的泰恩（Theon,约约2世纪上半叶）则讨世纪上半叶）则讨论了各种平面数（包括三角形数、正方论了各种平面数（包括三角形数、正方形数、长方形数、五边形数、六边形数形数、长方形数、五边形数、六边形数等
11、等）和立体数（包括立方数、棱锥数等等）和立体数（包括立方数、棱锥数等等）。等等）。2 毕达哥拉斯学派与毕达哥拉斯学派与“万物皆数万物皆数”n后期毕达哥拉斯学派数学家尼可麦丘在后期毕达哥拉斯学派数学家尼可麦丘在算术算术引论引论中将多边形数推广到立体数。前四个三中将多边形数推广到立体数。前四个三棱锥数为棱锥数为 1 1+3 1+3+6 1+3+6+10 2 毕达哥拉斯学派与毕达哥拉斯学派与“万物皆数万物皆数”前四个四棱锥数为前四个四棱锥数为 1 1+4 1+4+9 1+4+9=16 第第n个四棱锥数为个四棱锥数为2(1)(21)1496n nnnn“形数形数”体现了数与形的结合。体现了数与形的结合
12、。n数形结合的另一个典型例子是由数形结合的另一个典型例子是由给出的给出的毕达哥拉斯三元数组毕达哥拉斯三元数组。2 毕达哥拉斯学派与毕达哥拉斯学派与“万物皆数万物皆数”2 毕达哥拉斯学派与毕达哥拉斯学派与“万物皆数万物皆数”n“美是和谐与比例美是和谐与比例”n最美的图形在平面上是圆，在空间是球，最美的图形在平面上是圆，在空间是球，整个地球、天体和宇宙是一个圆球。宇宙整个地球、天体和宇宙是一个圆球。宇宙中的各种物体都作均匀的圆周运动。中的各种物体都作均匀的圆周运动。n音乐理论音乐理论n毕达哥拉斯不仅把毕达哥拉斯不仅把“美是和谐与比例美是和谐与比例”的的科学美学思想用于音乐和天文学，还十分科学美学思
13、想用于音乐和天文学，还十分广泛地将其应用到建筑、雕刻、地学、生广泛地将其应用到建筑、雕刻、地学、生物学、医学等领域。物学、医学等领域。2 毕达哥拉斯学派与毕达哥拉斯学派与“万物皆数万物皆数”n毕达哥拉斯学派掌握了正多边形和正多面毕达哥拉斯学派掌握了正多边形和正多面体的一些性质体的一些性质n正多边形覆盖平面正多边形覆盖平面n立方体填满空间立方体填满空间n正十二面体、正五边形正十二面体、正五边形 “黄金分割黄金分割”n五角星作为学派的标志五角星作为学派的标志2 毕达哥拉斯学派与毕达哥拉斯学派与“万物皆数万物皆数”n毕达哥拉斯定理毕达哥拉斯定理（勾股定理）（勾股定理）n中国人、巴比伦人、埃及人和印度
14、人都早中国人、巴比伦人、埃及人和印度人都早就知道这个定理的特殊情况，不过只有希就知道这个定理的特殊情况，不过只有希腊人才以一般的形式得到了证明。腊人才以一般的形式得到了证明。n百牛传说百牛传说2 毕达哥拉斯学派与毕达哥拉斯学派与“万物皆数万物皆数”n“万物皆数万物皆数”：任何量都可以表示成两整数：任何量都可以表示成两整数之比（即某个有理量）。之比（即某个有理量）。n“可公度量可公度量”n毕达哥拉斯学派曾经发现正方形的对角线毕达哥拉斯学派曾经发现正方形的对角线和其一边构成不可公度线段，其证明与我和其一边构成不可公度线段，其证明与我们现在的中学数学教科书中证明们现在的中学数学教科书中证明2是无理是
15、无理数的方法相同。数的方法相同。n希帕索斯希帕索斯 欧多克斯欧多克斯2 毕达哥拉斯学派与毕达哥拉斯学派与“万物皆数万物皆数”n证明证明 是无理数是无理数矛盾。矛盾。3 芝诺悖论与巧辩学派芝诺悖论与巧辩学派n毕达哥拉斯学派发现的不可公度向希腊数毕达哥拉斯学派发现的不可公度向希腊数学提出了一个难题，这就是如何处理离散学提出了一个难题，这就是如何处理离散与联系、有限与无限的关系。大多数希腊与联系、有限与无限的关系。大多数希腊数学家回避了这个问题，转而去研究几何数学家回避了这个问题，转而去研究几何量之间的关系去了。但来自卢卡尼亚的一量之间的关系去了。但来自卢卡尼亚的一位哲学家位哲学家芝诺芝诺，针对当时
16、对无限、运动和，针对当时对无限、运动和联系等人们认识模糊不清的概念，提出了联系等人们认识模糊不清的概念，提出了45个违背常理的个违背常理的悖论悖论，把这些矛盾暴露出，把这些矛盾暴露出来，在希腊数学界引起了巨大的震动。来，在希腊数学界引起了巨大的震动。3 芝诺悖论与巧辩学派芝诺悖论与巧辩学派n亚里士多德亚里士多德物理学物理学记载的四个悖论记载的四个悖论n二分法二分法n阿基里斯追龟阿基里斯追龟n飞箭静止（飞矢不动）飞箭静止（飞矢不动）n运动场运动场3 芝诺悖论与巧辩学派芝诺悖论与巧辩学派n芝诺的这些悖论在当时是十分困难的，因为芝诺的这些悖论在当时是十分困难的，因为他的问题已经涉及到对于当时的希腊数
17、学家他的问题已经涉及到对于当时的希腊数学家而言还是很模糊的无限与连续的概念。更重而言还是很模糊的无限与连续的概念。更重要的是，人们明知他的悖论是不符合常理的，要的是，人们明知他的悖论是不符合常理的，却又不能驳倒他，这就促使人们开始思考一却又不能驳倒他，这就促使人们开始思考一个理论能否自圆其说的问题。个理论能否自圆其说的问题。毫无疑问，这毫无疑问，这也成为公理化思想方法产生的一个重要原因。也成为公理化思想方法产生的一个重要原因。同时，芝诺悖论与不可公度的困难一起，成同时，芝诺悖论与不可公度的困难一起，成为希腊数学为希腊数学追求逻辑精确性追求逻辑精确性的强力激素。的强力激素。3 芝诺悖论与巧辩学派
18、芝诺悖论与巧辩学派n正当芝诺的那些悖论让古希腊人伤透脑筋正当芝诺的那些悖论让古希腊人伤透脑筋的时候，的时候，巧辩学派巧辩学派所提出的所提出的三大著名几何三大著名几何作图问题作图问题，又让他们陷入了困惑。，又让他们陷入了困惑。n巧辩学派创立、活动于雅典。这个学派中巧辩学派创立、活动于雅典。这个学派中聚集了各方面的学者大师，如文法、修辞、聚集了各方面的学者大师，如文法、修辞、辨证法、人文，以及几何、天文和哲学方辨证法、人文，以及几何、天文和哲学方面的学者，他们研究的主要目标之一是用面的学者，他们研究的主要目标之一是用数学来探讨宇宙的运转。数学来探讨宇宙的运转。3 芝诺悖论与巧辩学派芝诺悖论与巧辩学
19、派n三大尺规作图问题是三大尺规作图问题是化圆为方化圆为方、倍立方体倍立方体、三等分角三等分角。n围绕这三大作图问题，希腊数学家们表现围绕这三大作图问题，希腊数学家们表现出了杰出的数学思想和方法。许多数学成出了杰出的数学思想和方法。许多数学成果都是研究这三个问题的副产品。如希波果都是研究这三个问题的副产品。如希波克拉底的化月牙形为方，希比亚斯的割圆克拉底的化月牙形为方，希比亚斯的割圆曲线等。曲线等。3 芝诺悖论与巧辩学派芝诺悖论与巧辩学派n最早研究化圆为方问题的是安纳萨哥拉斯。最早研究化圆为方问题的是安纳萨哥拉斯。n公元前公元前5世纪下半叶开奥斯的希波克拉底世纪下半叶开奥斯的希波克拉底（Hipp
20、ociates of Chios）解决了与化圆）解决了与化圆为方有关的为方有关的化月牙形为方化月牙形为方。3 芝诺悖论与巧辩学派芝诺悖论与巧辩学派n巧辩学派的代表人物安提丰（巧辩学派的代表人物安提丰（Antiphon，约公元前约公元前480前前411），则首先提出了用），则首先提出了用圆内接正多边形逼近圆面积的方法来化圆圆内接正多边形逼近圆面积的方法来化圆为方。为方。n“穷竭穷竭”安提丰安提丰 古希腊古希腊“穷竭法穷竭法”的始的始祖。祖。3 芝诺悖论与巧辩学派芝诺悖论与巧辩学派n希波克拉底指出倍立方体问题可以化为求一希波克拉底指出倍立方体问题可以化为求一线段与它的二倍长线段之间的双重比例中项线
21、段与它的二倍长线段之间的双重比例中项问题：问题：a：x=x：y=y：2a。n比他稍晚的一些希腊数学家则借助某些特殊比他稍晚的一些希腊数学家则借助某些特殊曲线作出了可作为倍立方体问题解的比例中曲线作出了可作为倍立方体问题解的比例中项线段，其中最重大的成就是柏拉图学派的项线段，其中最重大的成就是柏拉图学派的梅内赫莫斯梅内赫莫斯（Menaechmus，公元前，公元前4世纪世纪中）为解决倍立方体问题而发现了中）为解决倍立方体问题而发现了圆锥曲线圆锥曲线。3 芝诺悖论与巧辩学派芝诺悖论与巧辩学派n希比亚斯希比亚斯 割圆曲线割圆曲线3 芝诺悖论与巧辩学派芝诺悖论与巧辩学派n巧辩学派及其他希腊学者，巧辩学派
22、及其他希腊学者，把作图工具只限把作图工具只限于直尺和圆规于直尺和圆规，反映了他们对数学的这样一，反映了他们对数学的这样一个认识：在研究一个概念之前必须先证明它个认识：在研究一个概念之前必须先证明它的存在，只有从真理出发，依靠演绎推理才的存在，只有从真理出发，依靠演绎推理才能获得真理。在他们看来，直线和圆客观上能获得真理。在他们看来，直线和圆客观上是存在的，所以只有用直线和圆构作出来的是存在的，所以只有用直线和圆构作出来的图形才能保证在逻辑上没有矛盾。这样的思图形才能保证在逻辑上没有矛盾。这样的思想促进了希腊数学的严密化。另一方面，这想促进了希腊数学的严密化。另一方面，这些观念也禁锢了人们的思想
23、，抑制了创造性。些观念也禁锢了人们的思想，抑制了创造性。3 芝诺悖论与巧辩学派芝诺悖论与巧辩学派n2000多年来，三大问题的研究，花费了人多年来，三大问题的研究，花费了人们的大量心血。们的大量心血。n1831年，法国数学家万采尔首先证明倍立年，法国数学家万采尔首先证明倍立方体和三等分任意角问题不能用尺规作图方体和三等分任意角问题不能用尺规作图来解决，接着德国数学家林德曼于来解决，接着德国数学家林德曼于1882年年又证明了又证明了的超越性，因而否定了用尺规化的超越性，因而否定了用尺规化圆为方的可能性，这三大问题才彻底得以圆为方的可能性，这三大问题才彻底得以解决。解决。4 柏拉图学派柏拉图学派n柏
24、拉图柏拉图（Plato，公元前，公元前427347年）是古希年）是古希腊哲学家和教育家，出生于雅典的贵族家庭。公腊哲学家和教育家，出生于雅典的贵族家庭。公元前元前407年，柏拉图年，柏拉图20岁时曾拜年逾六旬的岁时曾拜年逾六旬的苏格苏格拉底拉底为师。他是苏格拉底最杰出的学生，深受苏为师。他是苏格拉底最杰出的学生，深受苏格拉底逻辑思想的影响。不过，苏格拉底的主要格拉底逻辑思想的影响。不过，苏格拉底的主要兴趣是国家，以及如何更好地为国家服务，数学兴趣是国家，以及如何更好地为国家服务，数学对他的吸引力极小。与此相反，柏拉图对伦理学对他的吸引力极小。与此相反，柏拉图对伦理学和政治性的问题兴趣不大。和政
25、治性的问题兴趣不大。4 柏拉图学派柏拉图学派n柏拉图及一些希腊人重视抽象观念，并要把数柏拉图及一些希腊人重视抽象观念，并要把数学思想当作进入哲学的阶梯。数学家所处理的学思想当作进入哲学的阶梯。数学家所处理的抽象观念跟其他的抽象观念，比如善良和公正，抽象观念跟其他的抽象观念，比如善良和公正，是同一类的，而了解这两者乃是柏拉图哲学的是同一类的，而了解这两者乃是柏拉图哲学的目标。数学是认识理想世界的准备工具。公元目标。数学是认识理想世界的准备工具。公元前前399年，在苏格拉底被雅典重建的民主政权年，在苏格拉底被雅典重建的民主政权处死后，柏拉图被迫开始了为期处死后，柏拉图被迫开始了为期12年的游历生年
26、的游历生涯，他先后去了麦加拉、埃及等地，后回到雅涯，他先后去了麦加拉、埃及等地，后回到雅典。典。n拉斐尔拉斐尔雅典学园雅典学园4 柏拉图学派柏拉图学派n公元前公元前387年，柏拉图在雅典创建了欧洲历史上年，柏拉图在雅典创建了欧洲历史上第一所综合性的、传授知识、培养上层统治者的第一所综合性的、传授知识、培养上层统治者的学校，学校兼收女生，并实行分层教育。学校，学校兼收女生，并实行分层教育。n柏拉图对于数学科学在培养人的思维能力方面的柏拉图对于数学科学在培养人的思维能力方面的作用有比较充分的认识。作用有比较充分的认识。n据说在他学校的门口甚至挂上据说在他学校的门口甚至挂上“不懂几何者不得不懂几何者
27、不得入内入内”的告示。的告示。n可以说，柏拉图的哲学成了数学的哲学，这对他可以说，柏拉图的哲学成了数学的哲学，这对他的同时代人和他的继承者有着深远的影响。的同时代人和他的继承者有着深远的影响。4 柏拉图学派柏拉图学派n柏拉图学派特别强调要柏拉图学派特别强调要用数学来解释宇宙用数学来解释宇宙，因而，因而特别重视对立体几何的研究。他们研究了棱柱、特别重视对立体几何的研究。他们研究了棱柱、棱锥、圆柱、圆锥，而且知道正多面体只有五种。棱锥、圆柱、圆锥，而且知道正多面体只有五种。4 柏拉图学派柏拉图学派n在其老师苏格拉底逻辑思想的影响下，柏拉图还在其老师苏格拉底逻辑思想的影响下，柏拉图还明确提出了数学的
28、演绎证明应遵循的逻辑规则。明确提出了数学的演绎证明应遵循的逻辑规则。他指出：他指出：“首先我假定某个我认为是最有力的假首先我假定某个我认为是最有力的假设，然后肯定凡与之相符合的就是真的，无论是设，然后肯定凡与之相符合的就是真的，无论是关于原因还是别的什么，只要与之不符合的，我关于原因还是别的什么，只要与之不符合的，我就认为它是不真的。就认为它是不真的。”这里柏拉图明确提出，数这里柏拉图明确提出，数学证明是以某些自明的假设即公理作为出发点，学证明是以某些自明的假设即公理作为出发点，然后经过一系列严格的逻辑推理，他称之为然后经过一系列严格的逻辑推理，他称之为“假假设法设法”。显然这正是。显然这正是
29、公理化方法公理化方法的开端，对于欧的开端，对于欧几里得几何学的公理演绎系统和推进希腊数学的几里得几何学的公理演绎系统和推进希腊数学的发展具有极为重要的意义。可以说，这是古希腊发展具有极为重要的意义。可以说，这是古希腊方法论的最高成就。这也表明至少从柏拉图时代方法论的最高成就。这也表明至少从柏拉图时代起，数学已经有了公理化的思想。起，数学已经有了公理化的思想。4 柏拉图学派柏拉图学派n柏拉图学派中最杰出的数学家应首推柏拉图学派中最杰出的数学家应首推欧多克索斯欧多克索斯（Eudoxus，约公元前，约公元前4世纪），有人认为，古世纪），有人认为，古希腊数学家中，他的地位仅次于阿基米德。他的希腊数学家
30、中，他的地位仅次于阿基米德。他的数学成果成为欧几里得数学成果成为欧几里得几何原本几何原本，特别是第，特别是第5,6,7卷的主要内容。他对数学的最大贡献是运用卷的主要内容。他对数学的最大贡献是运用公理法建立了公理法建立了比例理论比例理论，其中包括相当严密的实，其中包括相当严密的实数定义，处理了所谓数定义，处理了所谓“不可公度量不可公度量”即无理数问即无理数问题。他还进一步完善了安提丰的题。他还进一步完善了安提丰的“穷竭法穷竭法”。n他的学生他的学生梅奈赫莫斯梅奈赫莫斯（Menaechmus，公元前，公元前4世纪）是圆锥曲线理论的创始人。世纪）是圆锥曲线理论的创始人。4 柏拉图学派柏拉图学派n亚里
31、士多德（亚里士多德（Aristotle，公元前，公元前384年年公元前公元前322年）。年）。n柏拉图相信有一个独立、永恒的观念世界，认为它柏拉图相信有一个独立、永恒的观念世界，认为它就是宇宙的真实存在，而数学概念是这世界中的一就是宇宙的真实存在，而数学概念是这世界中的一部分东西；亚里士多德则不然，他把具体物质看成部分东西；亚里士多德则不然，他把具体物质看成是更为可取的。是更为可取的。n“吾爱吾师，吾尤爱真知。吾爱吾师，吾尤爱真知。”4 柏拉图学派柏拉图学派n虽然他主要的不是一个数学家，但他极为重视数虽然他主要的不是一个数学家，但他极为重视数学，由于他人们才了解公理、公设和定义之间的学，由于他
32、人们才了解公理、公设和定义之间的明显区别。明显区别。n亚里士多德对数学的最大贡献是建立了亚里士多德对数学的最大贡献是建立了形式逻辑形式逻辑学学。4 柏拉图学派柏拉图学派n柏拉图学园的影响延续了好几百年，这主要是由柏拉图学园的影响延续了好几百年，这主要是由于它的成员们的热忱。事实上，一直到公元于它的成员们的热忱。事实上，一直到公元529年查士丁尼皇帝认为它是异说的中心而下令封闭年查士丁尼皇帝认为它是异说的中心而下令封闭它以后，它才停止了活动。它以后，它才停止了活动。n由于这些数学学派的工作，为希腊数学积累了丰由于这些数学学派的工作，为希腊数学积累了丰富的素材，也为希腊数学后来的进一步发展打下富的
33、素材，也为希腊数学后来的进一步发展打下了坚实的基础。了坚实的基础。思考思考n形数与中学数学探究课。形数与中学数学探究课。n寻找无尺作图的简便方法。寻找无尺作图的简便方法。n寻找类似足球的半正多面体。寻找类似足球的半正多面体。谢谢谢谢希腊数学的先行者希腊数学的先行者n从公元前从公元前2000年左右到公元前年左右到公元前30年，古代年，古代希腊人以巴尔干半岛、爱琴海诸岛和小亚希腊人以巴尔干半岛、爱琴海诸岛和小亚细亚沿岸为中心，在包括北非、西亚和意细亚沿岸为中心，在包括北非、西亚和意大利半岛南部及西西里岛的整个地中海地大利半岛南部及西西里岛的整个地中海地区建立起了一系列奴隶制国家。区建立起了一系列奴
34、隶制国家。n希腊人在文明史上首屈一指，在数学史上希腊人在文明史上首屈一指，在数学史上至高无上。他们虽也取用了周围其他文明至高无上。他们虽也取用了周围其他文明世界的一些东西，但希腊人创造了他们自世界的一些东西，但希腊人创造了他们自己的文明和文化，这是一切文明中最宏伟己的文明和文化，这是一切文明中最宏伟的，是对现代西方文化的发展影响最大的，的，是对现代西方文化的发展影响最大的，是对今日数学的奠基有决定作用的。是对今日数学的奠基有决定作用的。古今数学思想古今数学思想n奴隶制城邦奴隶制城邦n海滨移民海滨移民n他们具有典型的开拓精神，对于所接触的事物，他们具有典型的开拓精神，对于所接触的事物，不愿因袭传
35、统；不愿因袭传统；n其次，他们身处与两大河谷毗邻之地，易于汲取其次，他们身处与两大河谷毗邻之地，易于汲取那里的文化。那里的文化。n通常把希腊开创的初等数学时期分为两个通常把希腊开创的初等数学时期分为两个阶段。阶段。n一是一是希腊早期数学希腊早期数学，即，即古典时期古典时期的希腊数的希腊数学。这个阶段大约从公元前六世纪开始到学。这个阶段大约从公元前六世纪开始到公元前三世纪。公元前三世纪。n二是二是希腊后期数学希腊后期数学，即，即亚历山大时期亚历山大时期的希的希腊数学。这一时期大约从公元前三世纪到腊数学。这一时期大约从公元前三世纪到公元六世纪。公元六世纪。1 爱奥尼亚学派和演绎证明爱奥尼亚学派和演
36、绎证明n以演绎证明为基本特征的以演绎证明为基本特征的 数学，最早诞生于古希腊数学，最早诞生于古希腊 爱奥尼亚地区的海滨城市爱奥尼亚地区的海滨城市米利都米利都。n“希腊科学之父希腊科学之父”泰勒斯泰勒斯 n古希腊第一个数学学派古希腊第一个数学学派爱奥尼亚学派爱奥尼亚学派n米利都同时也是希腊哲学和科学的诞生地米利都同时也是希腊哲学和科学的诞生地1 爱奥尼亚学派和演绎证明爱奥尼亚学派和演绎证明n泰勒斯的五个命题：泰勒斯的五个命题：圆被任一直径二等分；圆被任一直径二等分；等腰三角形的两底角相等；等腰三角形的两底角相等；两条直线相交，对顶角相等两条直线相交，对顶角相等；两个三角形，有两个角和一条边对应相
37、等，则这两个三角形，有两个角和一条边对应相等，则这两个三角形全等；两个三角形全等；内接于半圆的角必为直角。内接于半圆的角必为直角。n其中最后一个定理被人们称为其中最后一个定理被人们称为“泰勒斯定泰勒斯定理理”。1 爱奥尼亚学派和演绎证明爱奥尼亚学派和演绎证明n从泰勒斯开始，人们已不再仅仅利用直观从泰勒斯开始，人们已不再仅仅利用直观和实验来寻求数学结论了。和实验来寻求数学结论了。n换句话说，实际上泰勒斯已经将逻辑学中换句话说，实际上泰勒斯已经将逻辑学中的演绎推理引入了数学，奠定了的演绎推理引入了数学，奠定了演绎数学演绎数学的基础的基础，这使得他获得了，这使得他获得了第一位数学家和第一位数学家和论
38、证几何学家鼻祖论证几何学家鼻祖的美誉。的美誉。n关于泰勒斯，还有一些其他的零星传说。关于泰勒斯，还有一些其他的零星传说。n理性思维理性思维的观念，正是希腊科学精神的精的观念，正是希腊科学精神的精髓之所在。髓之所在。2 毕达哥拉斯学派与毕达哥拉斯学派与“万物皆数万物皆数”n毕达哥拉斯毕达哥拉斯是古希腊哲学家、数学家、天是古希腊哲学家、数学家、天文学家和音乐理论家，出生与爱琴海中的文学家和音乐理论家，出生与爱琴海中的萨摩斯岛。萨摩斯岛。2 毕达哥拉斯学派与毕达哥拉斯学派与“万物皆数万物皆数”n意大利半岛南部的克罗多意大利半岛南部的克罗多内内n一个集政治、宗教和学术一个集政治、宗教和学术研究于一体的
39、秘密会社，研究于一体的秘密会社，这就是著名的这就是著名的毕达哥拉斯毕达哥拉斯学派学派。n相传希腊文中相传希腊文中“哲学哲学”和和“数学数学”这两个词就是由这两个词就是由毕达哥拉斯学派创造的。毕达哥拉斯学派创造的。2 毕达哥拉斯学派与毕达哥拉斯学派与“万物皆数万物皆数”n基本信条基本信条 “万物皆数万物皆数”万物的本原就是万物的本原就是数数n数是由单子或数是由单子或1产生的，因此将产生的，因此将1命名为命名为“原因数原因数”，每一个数都被赋予了特定的，每一个数都被赋予了特定的属性，而一切数中最神圣的是属性，而一切数中最神圣的是10，他们信，他们信奉和崇拜奉和崇拜10，认为它是完美、和谐的标志。，
40、认为它是完美、和谐的标志。n这种这种“万物皆数万物皆数”的观念从另一侧面强调的观念从另一侧面强调了数学对客观世界的重要作用，这也是了数学对客观世界的重要作用，这也是数数学化思想学化思想的最初表述形式。的最初表述形式。2 毕达哥拉斯学派与毕达哥拉斯学派与“万物皆数万物皆数”n毕达哥拉斯学派还定义了毕达哥拉斯学派还定义了完全数完全数、过剩数、过剩数和不足数。和不足数。n6是最小的完全数，下一个完全数是是最小的完全数，下一个完全数是28，等，等等。等。n亲和数亲和数的概念也被归功于毕达哥拉斯学派。的概念也被归功于毕达哥拉斯学派。n最小的一对亲和数是最小的一对亲和数是220和和284。2 毕达哥拉斯学
41、派与毕达哥拉斯学派与“万物皆数万物皆数”n毕达哥拉斯学派关于毕达哥拉斯学派关于“形数形数”的研究，强烈的研究，强烈地反映了他们将数作为几何思维元素的精神。地反映了他们将数作为几何思维元素的精神。三角形数三角形数 N=1+2+3+n(n+1)/2 正方形数正方形数 N=1+3+5+7+(2n-1)五边形数五边形数 N=1+4+7+(3n-2)=n(3n-1)/2 六边形数六边形数 N=1+5+9+(4n-3)=2n2-nn高阶等差序列高阶等差序列2 毕达哥拉斯学派与毕达哥拉斯学派与“万物皆数万物皆数”n形数（形数（figured numbers）理论可以上）理论可以上溯到毕达哥拉斯（溯到毕达哥拉
42、斯（Pythagoras,569 B。C。500 B。C。）本人。用一点（或。）本人。用一点（或一个小石子）代表一个小石子）代表1，两点（或两个小石，两点（或两个小石子）代表子）代表2，三点（或三个小石子）代表，三点（或三个小石子）代表3，等等，毕达哥拉斯学派在世界数学史，等等，毕达哥拉斯学派在世界数学史上首次建立了数和形之间的联系。早期上首次建立了数和形之间的联系。早期毕达哥拉斯学派似乎已经熟悉利用小石毕达哥拉斯学派似乎已经熟悉利用小石子或点来构造三角形数和正方形数；晚子或点来构造三角形数和正方形数；晚期的毕达哥拉斯学派成员尼可麦丘期的毕达哥拉斯学派成员尼可麦丘（Nicomachus,60?
43、120?）以及稍后）以及稍后的泰恩（的泰恩（Theon,约约2世纪上半叶）则讨世纪上半叶）则讨论了各种平面数（包括三角形数、正方论了各种平面数（包括三角形数、正方形数、长方形数、五边形数、六边形数形数、长方形数、五边形数、六边形数等等）和立体数（包括立方数、棱锥数等等）和立体数（包括立方数、棱锥数等等）。等等）。2 毕达哥拉斯学派与毕达哥拉斯学派与“万物皆数万物皆数”n后期毕达哥拉斯学派数学家尼可麦丘在后期毕达哥拉斯学派数学家尼可麦丘在算术算术引论引论中将多边形数推广到立体数。前四个三中将多边形数推广到立体数。前四个三棱锥数为棱锥数为 1 1+3 1+3+6 1+3+6+10 2 毕达哥拉斯学
44、派与毕达哥拉斯学派与“万物皆数万物皆数”前四个四棱锥数为前四个四棱锥数为 1 1+4 1+4+9 1+4+9=16 第第n个四棱锥数为个四棱锥数为2(1)(21)1496n nnn2 毕达哥拉斯学派与毕达哥拉斯学派与“万物皆数万物皆数”n“形数形数”体现了数与形的结合。体现了数与形的结合。n数形结合的另一个典型例子是由数形结合的另一个典型例子是由给出的给出的毕达哥拉斯三元数组毕达哥拉斯三元数组。2 毕达哥拉斯学派与毕达哥拉斯学派与“万物皆数万物皆数”n“美是和谐与比例美是和谐与比例”n最美的图形在平面上是圆，在空间是球，最美的图形在平面上是圆，在空间是球，整个地球、天体和宇宙是一个圆球。宇宙整
45、个地球、天体和宇宙是一个圆球。宇宙中的各种物体都作均匀的圆周运动。中的各种物体都作均匀的圆周运动。n音乐理论音乐理论n毕达哥拉斯不仅把毕达哥拉斯不仅把“美是和谐与比例美是和谐与比例”的的科学美学思想用于音乐和天文学，还十分科学美学思想用于音乐和天文学，还十分广泛地将其应用到建筑、雕刻、地学、生广泛地将其应用到建筑、雕刻、地学、生物学、医学等领域。物学、医学等领域。2 毕达哥拉斯学派与毕达哥拉斯学派与“万物皆数万物皆数”n毕达哥拉斯学派掌握了正多边形和正多面毕达哥拉斯学派掌握了正多边形和正多面体的一些性质体的一些性质n正多边形覆盖平面正多边形覆盖平面n立方体填满空间立方体填满空间n正十二面体、正
46、五边形正十二面体、正五边形 “黄金分割黄金分割”n五角星作为学派的标志五角星作为学派的标志2 毕达哥拉斯学派与毕达哥拉斯学派与“万物皆数万物皆数”n毕达哥拉斯定理毕达哥拉斯定理（勾股定理）（勾股定理）n中国人、巴比伦人、埃及人和印度人都早中国人、巴比伦人、埃及人和印度人都早就知道这个定理的特殊情况，不过只有希就知道这个定理的特殊情况，不过只有希腊人才以一般的形式得到了证明。腊人才以一般的形式得到了证明。n百牛传说百牛传说2 毕达哥拉斯学派与毕达哥拉斯学派与“万物皆数万物皆数”n“万物皆数万物皆数”：任何量都可以表示成两整数：任何量都可以表示成两整数之比（即某个有理量）。之比（即某个有理量）。n
47、“可公度量可公度量”n毕达哥拉斯学派曾经发现正方形的对角线毕达哥拉斯学派曾经发现正方形的对角线和其一边构成不可公度线段，其证明与我和其一边构成不可公度线段，其证明与我们现在的中学数学教科书中证明们现在的中学数学教科书中证明2是无理是无理数的方法相同。数的方法相同。n希帕索斯希帕索斯 欧多克斯欧多克斯2 毕达哥拉斯学派与毕达哥拉斯学派与“万物皆数万物皆数”n证明证明 是无理数是无理数矛盾。矛盾。3 芝诺悖论与巧辩学派芝诺悖论与巧辩学派n毕达哥拉斯学派发现的不可公度向希腊数毕达哥拉斯学派发现的不可公度向希腊数学提出了一个难题，这就是如何处理离散学提出了一个难题，这就是如何处理离散与联系、有限与无限
48、的关系。大多数希腊与联系、有限与无限的关系。大多数希腊数学家回避了这个问题，转而去研究几何数学家回避了这个问题，转而去研究几何量之间的关系去了。但来自卢卡尼亚的一量之间的关系去了。但来自卢卡尼亚的一位哲学家位哲学家芝诺芝诺，针对当时对无限、运动和，针对当时对无限、运动和联系等人们认识模糊不清的概念，提出了联系等人们认识模糊不清的概念，提出了45个违背常理的个违背常理的悖论悖论，把这些矛盾暴露出，把这些矛盾暴露出来，在希腊数学界引起了巨大的震动。来，在希腊数学界引起了巨大的震动。3 芝诺悖论与巧辩学派芝诺悖论与巧辩学派n亚里士多德亚里士多德物理学物理学记载的四个悖论记载的四个悖论n二分法二分法n
49、阿基里斯追龟阿基里斯追龟n飞箭静止（飞矢不动）飞箭静止（飞矢不动）n运动场运动场3 芝诺悖论与巧辩学派芝诺悖论与巧辩学派n芝诺的这些悖论在当时是十分困难的，因为芝诺的这些悖论在当时是十分困难的，因为他的问题已经涉及到对于当时的希腊数学家他的问题已经涉及到对于当时的希腊数学家而言还是很模糊的无限与连续的概念。更重而言还是很模糊的无限与连续的概念。更重要的是，人们明知他的悖论是不符合常理的，要的是，人们明知他的悖论是不符合常理的，却又不能驳倒他，这就促使人们开始思考一却又不能驳倒他，这就促使人们开始思考一个理论能否自圆其说的问题。个理论能否自圆其说的问题。毫无疑问，这毫无疑问，这也成为公理化思想方
50、法产生的一个重要原因。也成为公理化思想方法产生的一个重要原因。同时，芝诺悖论与不可公度的困难一起，成同时，芝诺悖论与不可公度的困难一起，成为希腊数学为希腊数学追求逻辑精确性追求逻辑精确性的强力激素。的强力激素。3 芝诺悖论与巧辩学派芝诺悖论与巧辩学派n正当芝诺的那些悖论让古希腊人伤透脑筋正当芝诺的那些悖论让古希腊人伤透脑筋的时候，的时候，巧辩学派巧辩学派所提出的所提出的三大著名几何三大著名几何作图问题作图问题，又让他们陷入了困惑。，又让他们陷入了困惑。n巧辩学派创立、活动于雅典。这个学派中巧辩学派创立、活动于雅典。这个学派中聚集了各方面的学者大师，如文法、修辞、聚集了各方面的学者大师，如文法、
