1、“握手握手”问题的探究及应用问题的探究及应用【实际问题】【实际问题】班级迎新晚会上，全班同学两两班级迎新晚会上，全班同学两两握手一次握手一次致意，那么他们共握手多少致意，那么他们共握手多少次？次？合作探究：合作探究：小组进行握手游戏，合作寻找握手的小组进行握手游戏，合作寻找握手的内在规律。内在规律。请思考请思考：若：若4 4位位同学两两握手共握手多同学两两握手共握手多少少次次？5 5位呢？位呢？8 8位呢？位呢？n n位呢位呢？（小组展示握手探究过程，小组代表讲解探究过程）小组展示握手探究过程，小组代表讲解探究过程）(1)2n n 班级迎新晚会上，班级迎新晚会上，n n位同学位同学两两两两握手
2、一次握手一次致意，那么他们共致意，那么他们共握手握手 次次.【问题解决】【问题解决】数线段数线段 小明在纸上画了一条直线，小明在纸上画了一条直线，小红又拿起了笔，在小明画的直小红又拿起了笔，在小明画的直线上点了线上点了8 8个点，个点，“你知道现在你知道现在这条直线上有多少条线段吗？这条直线上有多少条线段吗？”同学们，你能帮小明快速回答这同学们，你能帮小明快速回答这个问题吗？个问题吗？【思考【思考1】实际应用实际应用 小明在纸上画了一条直线，小红又拿起了笔，小明在纸上画了一条直线，小红又拿起了笔，在小明画的直线上点了在小明画的直线上点了8 8个点，个点，“你知道现在这条你知道现在这条直线上有多
3、少条线段吗？直线上有多少条线段吗？”同学们，你能帮小明同学们，你能帮小明快速回答这个问题吗？快速回答这个问题吗？【思考【思考1 1】【解析】【解析】把每个把每个点点看成看成每位同学每位同学，共，共8 8个点就是个点就是8 8位同学；位同学；每每2 2点间的线段点间的线段可可以看作以看作2 2位同学握手位同学握手，线段总条数便，线段总条数便是是8 8位同学相互握手次数位同学相互握手次数 8 7282 往返于青岛、北京南的同一辆动往返于青岛、北京南的同一辆动车，中途经过胶州北、潍坊、昌乐、车，中途经过胶州北、潍坊、昌乐、淄博、济南、德州东、沧州西、天津淄博、济南、德州东、沧州西、天津南、廊坊站点，
4、南、廊坊站点，（只考虑站点，不（只考虑站点，不考虑票价）那么该列火车需要安排多考虑票价）那么该列火车需要安排多少种不同的车票？少种不同的车票？【思考【思考2】下一张实际应用实际应用 往返于往返于青岛、北京南青岛、北京南的的D336D336动车，中途动车，中途经过经过胶州北、潍坊、昌乐、淄博、济南、德胶州北、潍坊、昌乐、淄博、济南、德州东、沧州西、天津南、廊坊州东、沧州西、天津南、廊坊站点，（只考站点，（只考虑站点）那么该列火车需要安排多少种不同虑站点）那么该列火车需要安排多少种不同的车票？的车票？【思考【思考2】【解析】【解析】把每个把每个站点站点看成看成每位同学每位同学，共，共1111个站点
5、就是个站点就是1111位同学；位同学；每每2 2个站点个站点的火车票种类的火车票种类可以看作可以看作2 2位同学握手位同学握手，火车票种类便是火车票种类便是1111位同学相互握手次位同学相互握手次数数(可重复可重复)111110=11010=110 。【小结】【小结】实际问题实际问题数学模型数学模型抽象抽象应用应用自我体会有何收获？自我体会有何收获？特殊特殊一般一般活学活用活学活用用今天建立的数学模型解决实际问题用今天建立的数学模型解决实际问题 合作交流：合作交流：小组内交流：小组内交流：_ _？_ _相当于相当于“握手问题握手问题”中的人；中的人；_?_?_相当于两人之间的握手；相当于两人之
6、间的握手；_ _？_ _相当于握手次数。相当于握手次数。数线段数线段 小明在纸上画了一条直线，小红又拿小明在纸上画了一条直线，小红又拿起了笔，在小明画的直线上点了起了笔，在小明画的直线上点了8个点，个点，你知道现在这条线段上有多少条线段吗？你知道现在这条线段上有多少条线段吗？同学们，你能帮小明快速回答这个问题同学们，你能帮小明快速回答这个问题吗？吗？在同一平面内，由不在同一条直线上在同一平面内，由不在同一条直线上但有公共端点的但有公共端点的n条射线所组成的图形中，条射线所组成的图形中，一共有一共有 个角（只考虑不大于个角（只考虑不大于180的角）的角）数角数角 A1A2A3AnO(1)2n n
7、 确定交点的个数确定交点的个数 平面内平面内2条直线相交，它们有条直线相交，它们有_个交点。个交点。如果有如果有3条直线，最多有条直线，最多有_个交点；个交点；如果有如果有4条直线，最多可有条直线，最多可有_个个 交点。交点。由此可以猜想：在同一平面内，由此可以猜想：在同一平面内，n条直线条直线相交最多可有相交最多可有_个交点。个交点。(1)2n n 平面内确定直线条数平面内确定直线条数 不在同一条直线上的不在同一条直线上的3个点，过任意两点个点，过任意两点一共可以画一共可以画 条直线；条直线；平面内平面内4个点（任意三点不在同一条直线个点（任意三点不在同一条直线上），过任意两点一共可以画上）
8、，过任意两点一共可以画 条直线；条直线；5个点呢？个点呢？在同一平面内有在同一平面内有n个点（任意三个点都不个点（任意三个点都不在同一条直线上）过这在同一条直线上）过这n个点中的任意两个点中的任意两点画直线，一共能画出点画直线，一共能画出 条直线？条直线？(1)2n n 3个球队进行单循环比赛（参加个球队进行单循环比赛（参加比赛的每一个队都与其它各队各赛比赛的每一个队都与其它各队各赛一场），总的比赛场数是多少？一场），总的比赛场数是多少？4个球队呢？个球队呢？5个球队呢？个球队呢？写出写出n个球队进行单循环赛时总个球队进行单循环赛时总的比赛场数的比赛场数_。循环比赛循环比赛 打电话打电话两两照
9、相问题两两照相问题(1)2n n 互送贺卡问题互送贺卡问题 新年将至，新年将至，n位好朋友互相送位好朋友互相送贺卡，共送贺卡贺卡，共送贺卡_ 张。张。送礼物送礼物发短信发短信多边形对角线多边形对角线 4边形共有边形共有_条对角线；条对角线；5边形呢？边形呢？_n边形共有多少条对角线？边形共有多少条对角线？_(3)2n n 你知道下图中共有多少条线段吗？你知道下图中共有多少条线段吗？已知相邻两点距离为已知相邻两点距离为1 1。灵活运用灵活运用你知道下图中共有多少条线段吗？你知道下图中共有多少条线段吗？已知相邻两点距离为已知相邻两点距离为1 1。灵活运用灵活运用（1）你知道，下图中共有多少个长方）
10、你知道，下图中共有多少个长方形吗？形吗？（此处长方形包括正方形）（此处长方形包括正方形）【挑战自我】【挑战自我】已知相邻两点距离为已知相邻两点距离为1 1。分分析析AFAF上的任意一条线段与上的任意一条线段与AJAJ上任意一条上任意一条线段线段“握手握手”，都会构成一个长方形。都会构成一个长方形。AFAF上有上有6 6个点，可得个点，可得AFAF上有上有1515条条线段线段；AJAJ上有上有5 5个点，可得个点，可得AJAJ上有上有1010条条线段线段所以图中共有所以图中共有151510=15010=150个矩形。个矩形。（2）你知道：下图中共有多少个正方）你知道：下图中共有多少个正方形吗？形
11、吗？【挑战自我】【挑战自我】已知相邻两点距离为已知相邻两点距离为1 1。（2）AF上的线段与上的线段与AJ上的上的线段线段“握手握手”时，要构成正时，要构成正方形，就要求方形，就要求“握手握手”的两的两条线段条线段必须相等必须相等。如下表：。如下表：线段长度线段长度(边长）边长）AF上的线上的线段条数段条数AJ上的线上的线段条数段条数“握手握手”次数次数（正方形个数）（正方形个数）15454=2024343=1233232=642121=2由表中可得，共由表中可得，共“握手握手”20+12+6+2=40次，次，即图中共有即图中共有40个正方形。个正方形。分分析析分类讨论【拓展作业】【拓展作业】
12、课外思考题。课外思考题。如图是由棱长为如图是由棱长为1 1的正方体堆成的长方体，的正方体堆成的长方体，其长为其长为5 5，宽为，宽为4 4，高为，高为3 3，则图中共有，则图中共有（1 1）多少个长方体？（包含正方体）多少个长方体？（包含正方体）（2 2）多少个正方体？）多少个正方体？谢谢！谢谢！如图是由棱长为如图是由棱长为1的正方体堆成的长方体，的正方体堆成的长方体，其长为其长为5，宽为，宽为4，高为，高为3，则图中共有，则图中共有（1）多少个长方体？）多少个长方体？（包含正方体）（包含正方体）（2）多少个正方体？）多少个正方体？分析：分析：（1）根据上一题（）根据上一题（1）的结论，矩形）
13、的结论，矩形ABCD中共有中共有150个长方形；个长方形；AE上有上有4个点，共有个点，共有 =6条线段。条线段。4 32 而矩形而矩形ABCD中的任一个矩形与中的任一个矩形与AE上的任一条线段上的任一条线段“握手握手”，都可构成一个长方体，即共可构，都可构成一个长方体，即共可构1506=900个长方体。个长方体。课外思考课外思考（2）按照例上一题（）按照例上一题（2）的结论，矩形）的结论，矩形ABCD中中共有共有40个正方形，这些正方形与个正方形，这些正方形与AE上的线段上的线段“握握手手”，构成正方体时，要求，构成正方体时，要求AE上的线段长与正方形上的线段长与正方形的边长相等。的边长相等。如下表：如下表：线段长度线段长度（棱长）（棱长）AE上的线上的线段条数段条数矩形矩形ABCD中的长中的长方形个数方形个数“握手握手”次数次数（正方体个数）（正方体个数）1320320=602212212=2431616=6由表中可得，共由表中可得，共“握手握手”60+24+6=90次，次，即图中共有即图中共有90个正方体。个正方体。
