1、1.5 三角函数的应用第一章 直角三角形的边角关系2022-12-311情境引入 我们已经知道轮船在海中航行时，可以用方位角准确描述它的航行方向.那你知道如何结合方位角等数据进行计算，帮助轮船在航行中远离危险吗？泰坦尼克号.mp42022-12-312引例 如图，海中有一个小岛A，该岛四周10n mile内有暗礁.今有货轮由西向东航行，开始在A岛南偏西55的B处，往东行驶20n mile后到达该岛的南偏西25的C处。之后，货轮继续向东航行.货轮继续航行会有触礁的危险吗？BAC60与方位角有关的实际问题一讲授新课讲授新课D【分析】这船继续向东航行是否安全，取决于灯塔C到AB航线的距离是否大于 1
2、0 n mile.北东2022-12-313解：由点A作ADBC于点D,设AD=x,则在RtABD中，在RtACD中，解得20.7910 x 所以，这船继续向东航行是安全的.BACD2555北东tantan55BDADBADxtantan25CDADCADx由BC=BD-CD,得tan552520,BCxx 2022-12-314如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东34方向上的B处，这时，海轮所在的B处距离灯塔P有多远（精确到0.01海里）？6534PBCA试一试2022-12-315解：如图，在RtAPC中，PC
3、PAcos（9065）80cos25800.91=72.8在RtBPC中，B34sinPCBPB72.8130.19sinsin34PCPBB当海轮到达位于灯塔P的南偏东34方向时，它距离灯塔P大约130.19海里6534PBCA2022-12-316利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是：（1）将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题）；（2）根据条件的特点，适当选用锐角三角形函数等去解直角三角形；（3）得到数学问题的答案；（4）得到实际问题的答案方法归纳2022-12-317例1 如图，为了测量山的高度AC，在水平面B处测得山顶A的仰角为30，ACBC，自B
4、沿着BC方向向前走1000m，到达D处，又测得山顶A的仰角为45,求山高(结果保留根号)分析：求AC，无论是在RtACD中，还是在RtABC中，只有一个角的条件，因此这两个三角形都不能解，所以要用方程思想，先把AC看成已知，用含AC的代数式表示BC和DC，由BD1000m建立关于AC的方程，从而求得AC.仰角和俯角问题二2022-12-318解：在RtABC中，3=tan=tan30=,3ACBBC=3.BCAC 在RtACD中，=tan=tan45=1,ACADCDC=.DCACBDBCDC=3-ACAC()=3-1=1000AC()()1000=5003+1m.3-1AC2022-12-3
5、19例2 如图，飞机A在目标B正上方1000m处，飞行员测得地面目标C的俯角为30，则地面目标B，C之间的距离是_解析：由题意可知，在RtABC中，B90，CCAD30，AB1000m，()1000=1000 3 m.tantan30ABBCC【方法总结】解此类问题，首先要找到合适的直角三角形，然后根据已知条件解直角三角形2022-12-3110例3 热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为30，看这栋高楼底部的俯角为60，热气球与高楼的水平距离为120m，这栋高楼有多高（结果精确到0.1m）.分析：我们知道，在视线与水平线所成的角中视线在水平线上方的是仰角，视线在水平线下方的是俯角
6、，因此，在图中，=30,=60.RtABD中，=30，AD120，所以利用解直角三角形的知识求出BD；类似地可以求出CD，进而求出BCABCD仰角水平线俯角2022-12-3111解：如图，=30,=60，AD120tan,tanBDCDADADQtan120 tan30BDAD312040 33tan120 tan60CDAD1203120 340 3120 3BCBDCD160 3277.1答：这栋楼高约为277.1m.ABCD2022-12-3112建筑物BC上有一旗杆AB，由距BC40m的D处观察旗杆顶部A的仰角为54，观察底部B的仰角为45，求旗杆的高度（精确到0.1m）.ABCD4
7、0m5445ABCD40m5445解：在等腰三角形BCD中ACD=90，BC=DC=40m.在RtACD中，AB=ACBC=55.240=15.1答：旗杆的高度为15.1m.练一练tanACADCDCtanACADC DCtan54 40 55.12022-12-3113利用坡角解决实际问题三例4 一段路基的横断面是梯形，高为4米，上底的宽是12米，路基的坡面与地面的倾角分别是45和30，求路基下底的宽（精确到0.1米,）.45304米12米ABCD414.12,732.132022-12-3114解：作DEAB，CFAB，垂足分别为E、F由题意可知 DECF4（米），CDEF12（米）在Rt
8、ADE中，在RtBCF中，同理可得 因此ABAEEFBF=4126.9322.93（米）答：路基下底的宽约为22.93米45304米12米ABCEFD4tan 45DEAEAE Q，44().tan 45AE米46.93()tan30BF米2022-12-31151.如图1，在高出海平面100米的悬崖顶A处，观测海平面上一艘小船B，并测得它的俯角为45，则船与观测者之间的水平距离BC=_米.2.如图2，两建筑物AB和CD的水平距离为30米，从A点测得D点的俯角为30，测得C点的俯角为60，则建筑物CD的高为_米.100当堂练习当堂练习20 3图1图2BCBC2022-12-31163.如图3，
9、从地面上的C，D两点测得树顶A仰角分别是45和30，已知CD=200米，点C在BD上，则树高AB等于 （根号保留）4.如图4，将宽为1cm的纸条沿BC折叠，CAB=45，则折叠后重叠部分的面积为 （根号保留）100 13米图3图4222cm2022-12-31175.如图，港口A在观测站O的正东方向，OA=4km，某船从港口A出发，沿北偏东15方向航行一段距离后到达B处，此时从观测站O处测得该船位于北偏东60的方向，则该船航行的距离（即AB的长）为_.2022-12-3118解析：如图，过点A作ADOB于D在RtAOD中，ADO=90，AOD=30，OA=4km，AD=OA=2km在RtABD
10、中，ADB=90，B=CAB-AOB=75-30=45，BD=AD=2km，AB=AD=km即该船航行的距离为 km1222 22 22022-12-31196.如图，一架飞机从A地飞往B地，两地相距600km.飞行员为了避开某一区域的雷雨云层，从机场起飞以后，就沿与原来的飞行方向成30角的方向飞行，飞行到中途，再沿与原来的飞行方向成45角的方向继续飞行直到终点这样飞机的飞行路程比原来的路程600km远了多少？解：过点C作CDAB于点D，=,=,tan30tan45CDCDADBDADBDAB，()()3+1=600,=3003-1.CDCD2022-12-3120在RtBCD中，ACBC()
11、=300 23-1.BC 在RtACD中，()=6003-1.AC()()6003-1+300 23-1750750600150(km)答：飞机的飞行路程比原来的路程600km远了150km.【方法总结】求一般三角形的边长或高的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线(km).2022-12-31217.如下图，在一次数学课外活动中，测得电线杆底部B与钢缆固定点O的距离为4米，钢缆与地面的夹角BOA为60，则这条钢缆在电线杆上的固定点A到地面的距离AB是多少米（结果保留根号）解：在RtABO中，tanBOA=tan60=AB=BO tan60=4 =4 （米）答：这条钢缆在电
12、线杆上的固定点A到地面的距离AB是4 米.2022-12-31228.水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6m，坝高23m，斜坡AB的坡度为1 3，斜坡CD的坡度为1 2.5，求：（1）坝底AD与斜坡AB的长度（精确到0.1m）;（2）斜坡CD的坡角（精确到 1）.EFADBC1:2.52361:3解：(1)分别过点B、C作BEAD，CFAD，垂足分别为点E、F,由题意可知BE=CF=23m ，EF=BC=6m.2022-12-3123EFADBC 1:2.52361 3:在RtABE中13BEAE33 2369m AEBE在RtDCF中，同理可得2.52.5 2357.5mFDCFADAEEFFD=69+6+57.5=132.5m在RtABE中，由勾股定理可得2222692372.7mABAEBE12.5CFFD2022-12-3124(2)斜坡CD的坡度为tan=1：2.5=0.4，由计算器可算得22.答：坝底宽AD为132.5米，斜坡AB的长约为72.7米斜坡CD的坡角约为22.2022-12-3125课堂小结课堂小结利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是：（1）将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题）；（2）根据条件的特点，适当选用锐角三角函数等去解直角三角形；（3）得到数学问题的答案；（4）得到实际问题的答案2022-12-3126
