1、 1.2.1 函数的概念函数的概念 设在一个变化过程中有两个变量x与y，如果 对于x的每一个值，y都有唯一的值与它对应，则 称x是自变量自变量，y是x的函数函数；其中自变量x的取值 的集合叫做函数的定义域定义域，和自变量x值对应的y 的值叫做函数的值域值域。 初中学习的函数的概念是什么？初中学习的函数的概念是什么？ 思考？ 下面先看几个实例：下面先看几个实例： (1)一枚炮弹发射后，经过26s落到地面击中目 标，炮弹的射高为845m，且炮弹距地面的高度 h(单位：m)随时间t(单位:s)变化的规律是 h=130t-5t2 (*) 这里，炮弹飞行时间t的变化范围是数集 A=t|0t26,炮弹距地
2、面的高度h的变化范围是 数集B =h|0h845.从问题的实际意义可知， 对于数集A中的任意一个时间t，按照对应关系(*)， 在数集B中都有唯一的高度h和它对应。 (2) 近几十年来，大气中的臭氧迅速减少，因而 出现了臭氧层空洞问题。下图中的曲线显示了南极 上空臭氧空洞的面积从19792001年的变化情况： 根据下图中的曲线可知，时间t的变化范围是数集A =t|1979t2001，臭氧层空洞面积S的变化范围 是数集B =S|0S26.并且，对于数集A中的每一 个时刻t，按照图中的曲线，在数集B中都有唯一确 定的臭氧层空洞面积S和它对应. (3) 国际上常用恩格尔系数反映一个国家人民生 活质量的
3、高低，恩格尔系数越低，生活质量越高。 下表中恩格尔系数随时间(年)变化的情况表明， “八五”计划以来我国城镇居民的生活质量发生 了显著变化。 归纳以上三个实例，我们看到，三个实例中变 量之间的关系可以描述为： 对于数集A中的每一个x，按照某种对应关系f， 在数集B中都有唯一确定的y和它对应，记作 f: AB. 设A、B是非空数集是非空数集，如果按照某种对应关系f， 使对于集合A中的任意一个数任意一个数x，在集合B中都有 唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f: AB为从 集合A到集合B的一个函数，记作 y=f(x),xA 其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数 的定义域定义域；与x的值相
4、对应的y的值叫做函数值， 函数值合f(x)|xA叫做函数的值域值域。 例例1 下列说法中，不正确的是下列说法中，不正确的是( ) A、函数值域中的每一个数都有定义域中的一个数与、函数值域中的每一个数都有定义域中的一个数与 之对应之对应 B、函数的定义域和值域一定是无限集合、函数的定义域和值域一定是无限集合 C、定义域和对应关系确定后，函数值域也就确定、定义域和对应关系确定后，函数值域也就确定 D、若函数的定义域只有一个元素，则值域也只有一、若函数的定义域只有一个元素，则值域也只有一 个元素个元素 B 例2、对于函数y=f(x)，以下说法正确的有( ) y是x的函数 对于不同的x,y的值也不同
5、f(a) 表示当x=a时函数f(x)的值，是一个常量 f(x)一定 可以用一个具体的式子表示出来 A、1个 B、2个 C、3个 D、4个 B 例3、给出四个命题： 函数就是定义域到值域的 对应关系 若函数的定义域只含有一个元素，则 值域也只有一个元素 因f(x)=5(xR),这个函数值 不随x的变化范围而变化，所以f(0)=5也成立 定 义域和对应关系确定后，函数值也就确定了 正确有( ) A、1个 B、2个 C、3个 D、4个 D ._,22 ,2)( 2 aff aaxxf 则 为一个正的常数，且、若例4 )( 2 2 a解得 设a,b是两个实数，而且ab, 我们规定： (1)、满足不等式
6、axb的实数x的集合叫做闭区间闭区间， 表示为 a,b. (2)、满足不等式axb的实数x的集合叫做开区间开区间， 表示为 (a,b). (1)、满足不等式axb或aa,xa,xa的实数的集合分别表示为 a, +)、(a, +)、(-，a、(-,a). 例1、试用区间表示下列实集： (1)x|5 x6 (2) x|x 9 (3) x|x -1 x| -5 x2 (4) x|x 9x| -9 x20 一、函数的定义域一、函数的定义域 函数的定义域通常是由问题的实际背景确定的， 如前面所述的三个实例。如果只给出解析式y=f(x), 而没有指明它的定义域，那么函数的定义域就是指 能使这个式子有意义的
7、实数的集合。 .)1(),(0)3( ) 3 2 (),3()2( )1( , 2 1 3)( 的值时，求当 的值求 求函数的定义域 已知函数例 afafa ff x xxf 1 0|1,0| 1|0| )( )1( )( 0 xxxxx xxxx xx x xf 、且、 、 的定义域为、函数练习 D C B A 1 -2x1,x|xD -2x1,x|xC -2x|xB 1x|xA ) (2 或、且、 、 的定义域为则函数、已知练习)(, 1 1 )(xff x xf C C ？定义域的 的为何值时，函数、当练习 R 3 12 82 )( 2 kxkx kx xfk .)(10 .,120 1
8、0 04)2(0 . 012)( 2 2 2 R 01 R 的定义域为时，函数当 有意义对时，当 时，当 都有意义 对一切，的定义域为解： xfk Rxkxkxk k kkk Rx kxkxxf 求定义域的几种情况：求定义域的几种情况： (1)如果f(x)是整式整式，那么函数的定义域是实数R (2)如果f(x)是分式分式，那么函数的定义域是使分母 不等于0的实数的集合 (3)如果f(x)是二次根式二次根式，那么函数的定义域是使 根号内的式子大于或等于0的实数的集合 (4)如果f(x)是由几个部分的数学式子构成的，那 么函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数 集合.（即求各集合的交集） 二、两
9、个函数相等二、两个函数相等 由于函数的定义可知，一个函数的构成要素为： 定义域、对应关系和值域。由于值域是由定义域和 对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和 对应关系完全一致，我们就称这两个函数相等两个函数相等。 x x yxy xyxy xy 2 2 33 2 )4()3( ) 1 ( 2 (2) 相等？下列函数中哪下与函数 例 练习1、下列说法中正确的有( ) (1)y=f(x)与y=f(t)表示同一个函数 (2) y=f(x)与y=f(x+1)不可能是同一个函数 (3) f(x)=1与g(x)=x0是同一函数 (4)定义域和值域都相同的两个函数是同一个函数 A、1个 B、2个 C、
10、3个 D、4个 练习2、下列各组函数表示同一函数的是( ) 12)(12)( )()()( 2)(2)( 1)( 1 1 )( 22 2 3 2 tttgxxxf xxgxxf xxxgxxf xxg x x xf 与、 与、 与、 与、 D C B A A D 课堂练习课堂练习 求下列函数的定义域 （1） （2） （4） （5） |x|x 1 )x(f x 1 1 1 )x(f 1x x4 )x(f 2 13xx1)x(f 已知已知fg(x)的定义域为的定义域为D，则，则f(x)的定义域为的定义域为 g(x)在在D上值域。上值域。 已知复合函数定义域求原函数定义域已知复合函数定义域求原函数定
11、义域 例如、若函数例如、若函数y=f(x+1)的定义域为的定义域为-2，3，则，则 y=f(2x-1)的定义域是（的定义域是（ ）。）。 A、0，5/2 B、-1，4 C、-5，5 D、-3，7 A 复合函数复合函数 .,) 12()( , 12)( ,)( 2 2 Rxxxgfy Rxxxgu Ruuufy 则 例如、 已知已知fg(x)的定义域为的定义域为D，则，则f(x)的定义域为的定义域为 g(x)在在D上值域。上值域。 已知复合函数定义域求原函数定义域已知复合函数定义域求原函数定义域 例如、若函数例如、若函数y=f(x+1)的定义域为的定义域为-2，3，则，则 y=f(2x-1)的定
12、义域是（的定义域是（ ）。）。 A、0，5/2 B、-1，4 C、-5，5 D、-3，7 A 三、函数的值域三、函数的值域 函数值的集合f(x)| xA 叫做函数的值域 例例1、求函数、求函数 的值域的值域 1xy )., 1 1 11 0: 的值域为 解 xy xx 例例2、求函数、求函数 的值域的值域 5 , 1 , 64 2 xxxy 2| 2 2)2( 2 yy yRx xy 函数的值域为 解：配方，得 例例3、函数、函数 的值域为的值域为( ) A、 (-,5 B、 (0,+ ) C、5,+ ) D、(0,5 342 5 2 xx y D 练习、函数练习、函数 的值域为的值域为( ) A、(-,2 B、(- ,4 C、2,4 D、2, +) 2 234xxy C 例例4、求函数、求函数 的值域的值域 12 xxy )., 2 1 12 1 2 1 , 2 1 2 1 , 0, 12 2 2 2 的值域为故函数 即于是 且则解：设 xxy uyu u y u xuxu 练习、求函数练习、求函数 的值域的值域 12xxy 本节小结： 1.函数的概念 2.函数的三要素 3.函数的定义域与值域的求解 4.两个函数相等
