1、习题课二万有引力定律的应用 关键能力关键能力探究学习探究学习知识点一天体运动各物理量与轨道半径关系的定性分析知识点一天体运动各物理量与轨道半径关系的定性分析 今日宇宙今日宇宙网站统计网站统计,正在地球周围工作的卫星有正在地球周围工作的卫星有1 0711 071颗颗,其中约其中约500500颗为颗为近地轨道卫星近地轨道卫星,50,50颗为中轨道卫星颗为中轨道卫星(20 000 km),(20 000 km),其余为地球同步静止轨道卫星其余为地球同步静止轨道卫星(36 000 km),(36 000 km),这么多不同轨道的卫星的线速度大小这么多不同轨道的卫星的线速度大小,角速度角速度,周期周期,
2、向心加速度向心加速度大小与什么因素有关大小与什么因素有关?提示提示:与轨道半径有关。与轨道半径有关。卫星运行参量的分析卫星运行参量的分析卫星运行参量卫星运行参量相关方程相关方程结论结论线速度线速度v vr r越大越大,v,v、a a越越小小,T,T越大越大角速度角速度周期周期T T向心加速度向心加速度a a22MmvGMGmvrrr223MmGMGmrrr 322Mm2rGm()rT2rTGM 22MmGMGmaarr提醒提醒:地面上随地球自转的物体不适用此结论。地面上随地球自转的物体不适用此结论。【典例示范】【典例示范】【典例】【典例】(多选多选)(2020)(2020江苏高考江苏高考)甲、
3、乙两颗人造卫星质量相等甲、乙两颗人造卫星质量相等,均绕地球做均绕地球做圆周运动圆周运动,甲的轨道半径是乙的甲的轨道半径是乙的2 2倍。下列应用公式进行的推论正确的有倍。下列应用公式进行的推论正确的有()A.A.由由v=v=可知可知,甲的速度是乙的甲的速度是乙的 倍倍B.B.由由a=a=2 2r r可知可知,甲的向心加速度是乙的甲的向心加速度是乙的2 2倍倍C.C.由由F=G F=G 可知可知,甲的向心力是乙的甲的向心力是乙的 D.D.由由 可知可知,甲的周期是乙的甲的周期是乙的2 2 倍倍gR22Mmr1432rkT2【解析】【解析】选选C C、D D。卫星绕地球做圆周运动。卫星绕地球做圆周运
4、动,万有引力提供向心力万有引力提供向心力,则则F F向向=卫星的运行线速度卫星的运行线速度 代入数据可得代入数据可得 故故A A错误错误;因为在不同轨道上两卫星的角速度、轨道半径都不一样因为在不同轨道上两卫星的角速度、轨道半径都不一样,故不能故不能根据根据a=a=2 2r r分析两卫星加速度的关系分析两卫星加速度的关系,卫星的运行加速度卫星的运行加速度a=a=代入数据可得代入数据可得 故故B B错误错误;根据根据F F向向=两颗人造卫星质量相等两颗人造卫星质量相等,可得可得 故故C C正确正确;两卫星均绕地球做圆周运动两卫星均绕地球做圆周运动,根据开普勒第三定律根据开普勒第三定律 可得可得 故
5、故D D正确。正确。2GMmr2222mv4mrmrmarT，GMvr，vrvr甲乙乙甲22，2GMr，22ar1ar4甲乙乙甲，2GMmr，22Fr1Fr4向甲乙向乙甲，32rkT，33TrTr甲甲乙乙2 2，【题后反思】【题后反思】求解卫星问题必须抓住卫星运动特点求解卫星问题必须抓住卫星运动特点:万有引力提供绕地球做圆周运动的向万有引力提供绕地球做圆周运动的向心力心力,由方程由方程 求出相应物理量的表达式即可求出相应物理量的表达式即可求解求解,需要注意需要注意a an n、v v、T T均与卫星的质量无关。均与卫星的质量无关。222n22Mmv4GmmrmrmarrT，【素养训练】【素养训
6、练】两颗卫星都围绕地球做匀速圆周运动两颗卫星都围绕地球做匀速圆周运动,卫星卫星A A轨道半径为轨道半径为36 000 km,36 000 km,卫星卫星B B轨道轨道半径为半径为21 500 km21 500 km。下列说法正确的是。下列说法正确的是()A.A.两颗卫星的发射速度均小于第一宇宙速度两颗卫星的发射速度均小于第一宇宙速度B.B.卫星卫星A A的速率比卫星的速率比卫星B B的大的大C.C.卫星卫星A A的向心加速度小于卫星的向心加速度小于卫星B B的向心加速度的向心加速度D.D.卫星卫星A A的运动周期小于卫星的运动周期小于卫星B B的运动周期的运动周期【解析】【解析】选选C C。第
7、一宇宙速度是最小的发射速度。第一宇宙速度是最小的发射速度,由于两颗卫星的轨道高度都较大由于两颗卫星的轨道高度都较大,所以两颗卫星的发射速度均大于第一宇宙速度所以两颗卫星的发射速度均大于第一宇宙速度,故故A A错误错误;根据人造卫星的万有引力根据人造卫星的万有引力等于向心力等于向心力,得得:可得可得:可知卫星的轨道半径越小可知卫星的轨道半径越小,角速度、线速度、向心加速度越大角速度、线速度、向心加速度越大,周期越小周期越小,由题中由题中A A的轨道半径大于的轨道半径大于B B的轨道半径的轨道半径,则知则知A A周期大周期大,A,A的速度和向心加速度都小的速度和向心加速度都小,故故C C正正确确,
8、B,B、D D错误。错误。222Mm2vGm()rmmarTr32rGMGMT2vaGMrr，知识点二双星模型知识点二双星模型1.1.定义定义:绕公共圆心转动的两个星体组成的系统绕公共圆心转动的两个星体组成的系统,我们称之为双星系统我们称之为双星系统,如图所如图所示。示。2.2.特点特点:(1)(1)各自所需的向心力由彼此间的万有引力相互提供各自所需的向心力由彼此间的万有引力相互提供,即即 (2)(2)两颗星的周期及角速度都相同两颗星的周期及角速度都相同,即即T T1 1=T=T2 2,1 1=2 2(3)(3)两颗星的半径与它们之间的距离关系为两颗星的半径与它们之间的距离关系为:r:r1 1
9、+r+r2 2=L L3.3.两颗星到圆心的距离两颗星到圆心的距离r r1 1、r r2 2与星体质量成反比与星体质量成反比,即即 与星体运动的线速与星体运动的线速度成正比。度成正比。22121211 122 222Gm mGm mmrmrLL，1221mrmr，【问题探究】【问题探究】宇宙中靠得很近的两个天体可以构成宇宙中靠得很近的两个天体可以构成“双星系统双星系统”,以它们连线上的一点为圆以它们连线上的一点为圆心心,做匀速圆周运动做匀速圆周运动,两天体及圆心始终在同一直线上。两天体及圆心始终在同一直线上。“双星系统双星系统”做圆周运做圆周运动所需的向心力是什么力提供动所需的向心力是什么力提
10、供?它们的周期有什么关系它们的周期有什么关系?提示提示:两天体之间的万有引力提供向心力。两天体周期相同。两天体之间的万有引力提供向心力。两天体周期相同。【典例示范】【典例示范】【典例】【典例】(2020(2020大连高一检测大连高一检测)两个质量不同的天体构成双星系统两个质量不同的天体构成双星系统,它们以二它们以二者连线上的某一点为圆心做匀速圆周运动者连线上的某一点为圆心做匀速圆周运动,下列说法正确的是下列说法正确的是()A.A.质量大的天体线速度较大质量大的天体线速度较大B.B.质量小的天体角速度较大质量小的天体角速度较大C.C.两个天体的向心力大小一定相等两个天体的向心力大小一定相等D.D
11、.两个天体的向心加速度大小一定相等两个天体的向心加速度大小一定相等【解析】【解析】选选C C。双星系统的结构是稳定的。双星系统的结构是稳定的,故它们的角速度大小相等故它们的角速度大小相等,故故B B项错误项错误;两个星球间的万有引力提供向心力两个星球间的万有引力提供向心力,根据牛顿第三定律可知根据牛顿第三定律可知,两个天体的向心力两个天体的向心力大小相等大小相等,而天体质量不一定相等而天体质量不一定相等,故两个天体的向心加速度大小不一定相等故两个天体的向心加速度大小不一定相等,故故C C项正确项正确,D,D错误错误;根据牛顿第二定律根据牛顿第二定律,有有:G =m:G =m1 12 2r r1
12、 1=m=m2 22 2r r2 2,其其中中:r:r1 1+r+r2 2=L L,故故r r1 1=L L,r,r2 2=L L,故故 故质量大的天体线速度故质量大的天体线速度较小较小,故故A A错误。错误。122m mL212mmm112mmm112221vrmvrm，【素养训练】【素养训练】1.(1.(多选多选)甲、乙两星组成双星系统甲、乙两星组成双星系统,它们离其他天体都很遥远它们离其他天体都很遥远;观察到它们的距观察到它们的距离始终为离始终为L L,甲的轨道半径为甲的轨道半径为R,R,运行周期为运行周期为T T。下列说法正确的是。下列说法正确的是()A.A.乙星的质量大小为乙星的质量
13、大小为 B.B.乙星的向心加速度大小为乙星的向心加速度大小为 C.C.若两星的距离减小若两星的距离减小,则它们的运行周期会变小则它们的运行周期会变小D.D.甲、乙两星的质量之比为甲、乙两星的质量之比为 224RTRLR2224RLGT【解析】【解析】选选A A、C C。对双星系统的两颗星球。对双星系统的两颗星球,由它们之间的万有引力提供向心力由它们之间的万有引力提供向心力:可得可得:m:m乙乙=故故A A正确正确;乙的轨道半径乙的轨道半径:r=:r=L L-R,-R,则乙的向心则乙的向心加速度加速度:故故B B错误。若两星的距离减小错误。若两星的距离减小,根据根据 得得 则它们的运行周期会变则
14、它们的运行周期会变小小,故故C C正确。双星系统具有相等的角速度和周期正确。双星系统具有相等的角速度和周期,由它们之间的万有引力提供由它们之间的万有引力提供向心力向心力,得得:所以所以:Rm:Rm甲甲=(=(L L-R)-R)m m乙乙,甲、乙两甲、乙两星的质量之比为星的质量之比为 ,故故D D错误。错误。222m m4RGmLT甲乙甲，2224RLGT，222244(LR)arTT，2m mGL甲乙222244mRmLRTT甲乙，222Gm mm L4mLTmm甲乙乙甲甲乙，22222m m44GmRm(LR)LTT甲乙甲乙，LRR2.(2.(多选多选)(2020)(2020德州高一检测德州
15、高一检测)宇宙中两颗相距很近的恒星常常组成一个双星宇宙中两颗相距很近的恒星常常组成一个双星系统。它们以相互间的万有引力彼此提供向心力系统。它们以相互间的万有引力彼此提供向心力,从而使它们绕着某一共同的从而使它们绕着某一共同的圆心做匀速圆周运动圆心做匀速圆周运动,若已知某双星系统的运转周期为若已知某双星系统的运转周期为T,T,两星到共同圆心的距两星到共同圆心的距离分别为离分别为R R1 1和和R R2 2,引力常量为引力常量为G,G,那么下列说法正确的是那么下列说法正确的是()A.A.这两颗恒星的质量必定相等这两颗恒星的质量必定相等B.B.这两颗恒星的质量之和为这两颗恒星的质量之和为 C.C.这
16、两颗恒星的质量之比这两颗恒星的质量之比m m1 1mm2 2=R=R2 2RR1 1D.D.其中必有一颗恒星的质量为其中必有一颗恒星的质量为 231224(RR)GT2211224R(RR)GT【解析】【解析】选选B B、C C、D D。两星有共同的周期。两星有共同的周期T,T,由牛顿第二定律得由牛顿第二定律得 所以两星的质量之比所以两星的质量之比m m1 1mm2 2=R=R2 2RR1 1,故故C C正确正确;由上式可得由上式可得 故故A A错误错误,B,B、C C、D D正确。正确。12212m mG(RR)2211222244mRmRTT，2222232121121212122224R
17、(RR)4R(RR)4(RR)mmmmGTGTGT，1.(20201.(2020天津等级考天津等级考)北斗问天北斗问天,国之夙愿。我国北斗三号系统的收官之星是国之夙愿。我国北斗三号系统的收官之星是地球静止轨道卫星地球静止轨道卫星,其轨道半径约为地球半径的其轨道半径约为地球半径的7 7倍。与近地轨道卫星相比倍。与近地轨道卫星相比,地地球静止轨道卫星球静止轨道卫星()A.A.周期大周期大B.B.线速度大线速度大C.C.角速度大角速度大D.D.加速度大加速度大课堂检测课堂检测素养达标素养达标【解析】【解析】选选A A。根据天体环绕的。根据天体环绕的“高轨、低速、长周期高轨、低速、长周期”可知可知,地
18、球静止轨道卫地球静止轨道卫星的轨道半径高于近地卫星星的轨道半径高于近地卫星,所以线速度和角速度均小于近地卫星所以线速度和角速度均小于近地卫星,周期长于近周期长于近地卫星地卫星,故故A A正确正确,B,B、C C错误。由错误。由 可知可知,加速度与轨道半径的平方成反加速度与轨道半径的平方成反比比,地球静止轨道卫星的加速度小于近地卫星的加速度地球静止轨道卫星的加速度小于近地卫星的加速度,故故D D错误。错误。2GMmmaR2.(2.(多选多选)2019)2019年年8 8月月1717日日,“,“捷龙一号捷龙一号”首飞成功首飞成功,标志着中国标志着中国“龙龙”系列商业系列商业运载火箭从此登上历史舞台
19、。运载火箭从此登上历史舞台。“捷龙一号捷龙一号”在发射卫星时在发射卫星时,首先将该卫星发射首先将该卫星发射到低空圆轨道到低空圆轨道1,1,待测试正常后通过变轨进入高空圆轨道待测试正常后通过变轨进入高空圆轨道2 2。假设卫星的质量不。假设卫星的质量不变变,在两轨道上运行时的速率之比在两轨道上运行时的速率之比v v1 1vv2 2=32,=32,则则()A.A.卫星在两轨道运行时的向心加速度大小之比卫星在两轨道运行时的向心加速度大小之比a a1 1aa2 2=8116=8116B.B.卫星在两轨道运行时的角速度大小之比卫星在两轨道运行时的角速度大小之比1 12 2=254=254C.C.卫星在两轨
20、道运行的周期之比卫星在两轨道运行的周期之比T T1 1TT2 2=427=427D.D.卫星在两轨道运行时的动能之比卫星在两轨道运行时的动能之比E Ek1k1EEk2k2=94=94【解析】【解析】选选A A、D D。根据。根据 可得可得v=,v=,因为因为v v1 1vv2 2=32,=32,则则r r1 1rr2 2=49=49。根据。根据 可知可知:a=,:a=,可得卫星可得卫星在两轨道运行时的向心加速度大小之比在两轨道运行时的向心加速度大小之比a a1 1aa2 2=8116,=8116,选项选项A A正确正确;由由=可得可得,卫星在两轨道运行时的角速度大小之比卫星在两轨道运行时的角速
21、度大小之比1 12 2=278,=278,选项选项B B错误错误;由由 可知可知,卫星在两轨道运行的周期之比卫星在两轨道运行的周期之比T T1 1 T T2 2=827,=827,选项选项C C错误错误;根据根据 则卫星在两轨道运行时的动能之比则卫星在两轨道运行时的动能之比E Ek1k1EEk2k2=94,=94,选项选项D D正确。正确。22MmvGmrrGMr2222Mm2vGm()rmmrmarTr2GMr3GMr2T2k1GMmEmv22r，3.3.如图所示如图所示,两颗星球组成的双星两颗星球组成的双星,在相互之间的万有引力作用下在相互之间的万有引力作用下,绕其连线上绕其连线上的的O
22、O点做周期相同的匀速圆周运动。现测得两颗星之间的距离为点做周期相同的匀速圆周运动。现测得两颗星之间的距离为L L,质量之比为质量之比为m m1 1mm2 2=32,=32,下列说法中正确的是下列说法中正确的是()A.mA.m1 1、m m2 2做圆周运动的线速度之比为做圆周运动的线速度之比为3232B.mB.m1 1、m m2 2做圆周运动的角速度之比为做圆周运动的角速度之比为3232C.mC.m1 1做圆周运动的半径为做圆周运动的半径为 L LD.mD.m2 2做圆周运动的半径为做圆周运动的半径为 L L2525【解析】【解析】选选C C。设双星。设双星m m1 1、m m2 2距转动中心距
23、转动中心O O的距离分别为的距离分别为r r1 1、r r2 2,双星绕双星绕O O点转动的点转动的角速度均为角速度均为,据万有引力定律得据万有引力定律得 =m=m1 1r r1 12 2=m=m2 2r r2 22 2,又又r r1 1+r+r2 2=L L,m,m1 1mm2 2=32,=32,所以可解得所以可解得r r1 1=L L,r,r2 2=L L 。m m1 1、m m2 2运动的线速度分别为运动的线速度分别为v v1 1=r=r1 1,v,v2 2=r=r2 2,故故v v1 1vv2 2=r=r1 1rr2 2=23=23。综上所述。综上所述,选项选项C C正确。正确。122m mGL2525
