1、11111112.-,:/A B C DA B C DA B DC B D例在 正 方 形中求 证平 面平 面XYZ1CABCD1D11111:,D ADCD Dx y z证明 如图分别以、三边所在的直线为轴建立空间直角坐标系.设正方体的棱长为1,111(1,0,0),(1,1,0),(0,0,1),(0,0,1)(1,0,1),(1,0,1)ABCDDBC 1则则A1111111111111/./././.ADBCADBCADCB DABCB DABDCB D 即直线，则平面同理右证：平面平面平面1A1B（二）（二）用向量处理垂直问题用向量处理垂直问题:,.ABCDA B C DCC BDA
2、 FBDE例3在正方体中.E,F分别是的中点.求证：平面FEXYZ).,1,0(),1,0(),0,3().0,1,0(),0,1,0(),0,0,3(.,2hChBhACBAh系如图建立空间直角坐标高为设底面边长为ABCBCA(3,1,),(3,1,),(0,2,)ABh A Ch BCh 22203 1,2.020.ABA Ch hABBChBCAB ,ABCA B CAAABCA CABBCAB练习：在三棱柱中，底面是正三角形，底面，求证：坐标法坐标法ABCDM1A1B1CXYZ:,C解如图以 为原点建立空间直角坐标系.111,0,0),(2,1,0),(0,1,1),2 1 12(,)
3、,(,1,0),22 222 1 111(,),(2,1,1)(0,),22 222BBADMCDABDM (2，011111111,90,1,2,1,.ABCA B CACBACCBAAAA B BD B CMCDBDM作业：如图 直三棱柱中侧棱侧面的两条对角线交点为的中点为求证平面四、作业四、作业 1.ABCDM1A1B1CXYZ1110,0.,.,.CD ABCD DMCDAB CDDMAB DMBDMCDBDM 则为平面内的两条相交直线平面011111111,90,1,2,1,.ABCA B CACBACCBAAAA B BD B CMCDBDM作业：如图 直三棱柱中侧棱侧面的两条对角
4、线交点为的中点为求证平面1.方法小结方法小结练习巩固练习巩固 例例1在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,O是面AC的中心,求面OA1D1的法向量.A AABCDOA1B1C1D1zxy例例3 3、已知四棱锥、已知四棱锥 的底面为直角梯形的底面为直角梯形,是是 的中的中点点,，底面底面 ,且且 试建立合理的坐标系，并求各点的坐标。试建立合理的坐标系，并求各点的坐标。PADAB,90ABCDPCDAB/ABCD121ABDCADPAMPBABCDPM)21,1,0(),0,0,1(),0,1,1(),0,2,0(),1,0,0(),0,0,0(MDCBPAxyz求平面求平面ACM的法向
5、量的法向量三、练习:1 1，在正方体，在正方体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中，中，P P在在A A1 1B B1 1上，上，Q Q在在BCBC上，且上，且A A1 1P=QBP=QB，M M、N N分别为分别为AB1AB1、PQPQ的中点。求证：的中点。求证：MN/MN/平面平面ABCDABCD。DBCAA1QPNMD1C1B1zyxo证明：建立如图所证明：建立如图所示的空间直角坐标示的空间直角坐标系系o-xyz设正方形边长为设正方形边长为2，又设又设A1P=BQ=2x则则P(2，2x，2)、Q(2-2x，2，0)故故N(2-x,1+x,1),而而M(2,
6、1,1)MN所以向量所以向量 (-x,x,0)，又平面又平面AC的法的法向量为向量为 (0,0,1)，n0nMN又又M不在平面不在平面AC 内，所以内，所以MN平面平面ACnMN如何计算空间角如何计算空间角？1.线线角线线角2.线面角线面角3.面面角面面角范围范围1.线线角线线角ab|,cosbababa|cosbaba 角角两向量所在直线所成的两向量所在直线所成的例例3 3、已知四棱锥、已知四棱锥 的底面为直角梯形的底面为直角梯形,是是 的中的中点点,，底面底面 ,且且 试建立合理的坐标系，并求各点的坐标。试建立合理的坐标系，并求各点的坐标。PADAB,90ABCDPCDAB/ABCD121
7、ABDCADPAMPBABCDPM)21,1,0(),0,0,1(),0,1,1(),0,2,0(),1,0,0(),0,0,0(MDCBPAxyz求异面直线求异面直线AB与与CM所成的角所成的角.求求BP与与AC所成的角所成的角2.线面角线面角ABnO|cos,nABnABnAB 且且为为令令 2BAO则则ABnO|cos,nABnABnAB 且且为为令令2 BOA则则如何来解决这个问题如何来解决这个问题22 或或BAO|sinnABnABBAO 例例3 3、已知四棱锥、已知四棱锥 的底面为直角梯形的底面为直角梯形,是是 的中的中点点,，底面底面 ,且且 试建立合理的坐标系，并求各点的坐标。
8、试建立合理的坐标系，并求各点的坐标。PADAB,90ABCDPCDAB/ABCD121ABDCADPAMPBABCDPM)21,1,0(),0,0,1(),0,1,1(),0,2,0(),1,0,0(),0,0,0(MDCBPAxyz.所成的角所成的角与平面与平面所成的角；所成的角；与平面与平面求求PDCAMACMDM3.面面角面面角3:求面面角求面面角:O两面角等于两平两面角等于两平面的法向量所成面的法向量所成角的补角角的补角.两面角或等于两两面角或等于两平面的法向量所平面的法向量所成的角成的角.技巧：先由直觉判断二面角为锐角还是为钝角然后取等角或补角与之相等.例例3 3、已知四棱锥、已知四
9、棱锥 的底面为直角梯形的底面为直角梯形,是是 的中的中点点,，底面底面 ,且且 试建立合理的坐标系，并求各点的坐标。试建立合理的坐标系，并求各点的坐标。PADAB,90ABCDPCDAB/ABCD121ABDCADPAMPBABCDPM)21,1,0(),0,0,1(),0,1,1(),0,2,0(),1,0,0(),0,0,0(MDCBPAxyz的大小的大小求二面角求二面角的大小的大小求二面角求二面角MPCDMACP 1答案答案方法小结方法小结zxyzxyABCDS解：建立空直角坐系A-xyz如所示,),0,21,0(DA(0,0,0),C(-1,1,0),(0,0,1)S)1,21,0()
10、,0,21,1(DSDC),0,21,0(1DAnSBA的法向量易知，面2(,),SCDnx y z 的法向量22,nCD nSD 由得：设平面0202zyyx)1,2,1(2n解得：,36|,cos212121nnnnnnxyz.2112342004(11111111所成角的余弦值所成角的余弦值与与）求直线）求直线（的正切值；的正切值；）求二面角）求二面角（，上的点，且上的点，且、分别是线段分别是线段、，中，已知中，已知在长方体在长方体年广东高考题）如图：年广东高考题）如图：FDECCDECFBEBBCABFEAAADABDCBAABCD ABCC1D1A1B1XyzDEF如何计算空间距离如
11、何计算空间距离？1.点面距离点面距离2.线面距离（线面平行）线面距离（线面平行）3.线线距离（异面直线距离）线线距离（异面直线距离）如何用向量法求点到平面的距离如何用向量法求点到平面的距离：思考题分析思考题分析 n A P O ABnA B 点面距离点面距离|nnBAdA 的距离的距离到平面到平面 面面距离面面距离 ABaa bnAB详细答案详细答案DABCGFExyzDABCGFExyz(2,2,0),(2,4,2),EFEG nEF nEG ，|BE|2 11.11ndn 2202420 xyxy 1 1(,1),3 3n B(2,0,0)E 1答案答案APDCBMN解：如图解：如图,以以D D为原点建立空间直角坐标系为原点建立空间直角坐标系D Dxyzxyz 则则D(0,0,0),A(,0,0),B(,0),C(0,0),P(0,0,)D(0,0,0),A(,0,0),B(,0),C(0,0),P(0,0,)2aa2aaaDMPNAxCBzy
