1、 第 1 页 共 4 页 2821 解直角三角形解直角三角形 1理解解直角三角形的意义和条件；(重点) 2根据元素间的关系，选择适当的关系式，求出所有未知元素(难点) 一、情境导入 世界遗产意大利比萨斜塔在 1350 年落成时就已倾斜设塔顶中心点为 B, 塔身中心线 与垂直中心线夹角为A，过点 B 向垂直中心线引垂线，垂足为点 C.在 RtABC 中，C 90，BC5.2m，AB54.5m，求A 的度数 在上述的 RtABC 中，你还能求其他未知的边和角吗？ 二、合作探究 探究点一：解直角三角形 【类型一】 利用解直角三角形求边或角 已知在 RtABC 中，C90，A、B、C 的对边分别为 a
2、，b，c，按下 列条件解直角三角形 (1)若 a36，B30，求A 的度数和边 b、c 的长； (2)若 a6 2，b6 6，求A、B 的度数和边 c 的长 解析：(1)已知直角边和一个锐角，解直角三角形；(2)已知两条直角边，解直角三角形 解：(1)在 RtABC 中，B30，a36，A90B60，cosBa c， 即 c a cosB 36 3 2 24 3，bsinBc1 224 312 3； (2)在 RtABC 中，a6 2，b6 6，tanAa b 3 3 ，A30，B60， c2a12 2. 方法总结： 解直角三角形时应求出所有未知元素， 解题时尽可能地选择包含所求元素与 两个已
3、知元素的关系式求解 变式训练：见学练优本课时练习“课堂达标训练” 第 4 题 【类型二】 构造直角三角形解决长度问题 一副直角三角板如图放置， 点 C 在 FD 的延长线上， ABCF， FACB90， E30，A45，AC12 2，试求 CD 的长 第 2 页 共 4 页 解析： 过点B作BMFD于点 M， 求出 BM 与CM的长度， 然后在EFD中可求出EDF 60，利用解直角三角形解答即可 解：过点 B 作 BMFD 于点 M，在ACB 中，ACB90，A45，AC12 2， BCAC12 2.ABCF， BMsin45BC12 2 2 2 12， CMBM12.在EFD 中，F90，E
4、30 ，EDF60，MD BM tan604 3，CDCMMD 124 3. 方法总结： 解答此类题目的关键是根据题意构造直角三角形， 然后利用所学的三角函数 的关系进行解答 变式训练：见学练优本课时练习“课后巩固提升” 第 4 题 【类型三】 运用解直角三角形解决面积问题 如图， 在ABC 中， 已知C90， sinA3 7， D 为边 AC 上一点， BDC45， DC6.求ABC 的面积 解析：首先利用正弦的定义设 BC3k，AB7k，利用 BCCD3k6，求得 k 值，从 而求得 AB 的长，然后利用勾股定理求得 AC 的长，再进一步求解 解：C90，在 RtABC 中，sinABC
5、AB 3 7，设 BC3k，则 AB7k(k0)，在 RtBCD 中，BCD90，BDC45，CBDBDC45，BCCD 3k6，k2，AB14.在 RtABC 中，AC AB2BC2 142624 10，SABC 1 2ACBC 1 24 10612 10.所以ABC 的面积是 12 10. 方法总结：若已知条件中有线段的比或可利用的三角函数，可设出一个辅助未知数，列 方程解答 变式训练：见学练优本课时练习“课堂达标训练”第 7 题 探究点二：解直角三角形的综合 【类型一】 解直角三角形与等腰三角形的综合 已知等腰三角形的底边长为 2，周长为 2 2，求底角的度数 解析：先求腰长，作底边上的
6、高，利用等腰三角形的性质，求得底角的余弦，即可求得 底角的度数 第 3 页 共 4 页 解：如图，在ABC 中，ABAC，BC 2，周长为 2 2，ABAC1.过 A 作 ADBC 于点 D，则 BD 2 2 ，在 RtABD 中，cosABDBD AB 2 2 ，ABD45，即 等腰三角形的底角为 45. 方法总结：求角的度数时，可考虑利用特殊角的三角函数值 变式训练：见学练优本课时练习“课后巩固提升”第 2 题 【类型二】 解直角三角形与圆的综合 已知：如图，RtAOB 中，O90，以 OA 为半径作O，BC 切O 于点 C， 连接 AC 交 OB 于点 P. (1)求证：BPBC； (2
7、)若 sinPAO1 3，且 PC7，求O 的半径 解析： (1)连接 OC， 由切线的性质， 可得OCB90， 由 OAOC， 得OCAOAC， 再由AOB90，可得出所要求证的结论；(2)延长 AO 交O 于点 E，连接 CE，在 Rt AOP 和 RtACE 中，根据三角函数和勾股定理，列方程解答 解：(1)连接 OC，BC 是O 的切线，OCB90，OCABCA90. OAOC， OCAOAC， OACBCA90， BOA90， OACAPO 90，APOBPC，BPCBCA，BCBP； (2)延长 AO 交O 于点 E，连接 CE，在 RtAOP 中，sinPAO1 3，设 OPx，
8、AP 3x，AO2 2x.AOOE，OE2 2x，AE4 2x.sinPAO1 3，在 RtACE 中CE AE 1 3， AC AE 2 2 3 ，3x7 4 2x 2 2 3 ，解得 x3，AO2 2x6 2，即O 的半径为 6 2. 方法总结：本题考查了切线的性质、三角函数、勾股定理等知识，解决问题的关键是根 据三角函数的定义结合勾股定理列出方程 变式训练：见学练优本课时练习“课后巩固提升”第 9 题 三、板书设计 1解直角三角形的基本类型及其解法； 2解直角三角形的综合 本节课的设计，力求体现新课程理念给学生自主探索的时间和宽松和谐的氛围，让学 第 4 页 共 4 页 生学得更主动、更轻松，力求在探索知识的过程中，培养探索能力、创新精神和合作精神， 激发学生学习数学的积极性和主动性.
