1、昌平区2022-2023学年第一学期初三年级期末质量抽测 数学试卷 2022.12本试卷共9页，共100分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后将答题卡交回。一、选择题（本题共8道小题，每小题3分，共24分）1.如图，在一块直角三角板ABC中，A=30，则sinA的值是（A） （B） （C） （D）2.O为一根轻质杠杆的支点，OA=acm，OB=bcm，A处挂着重4N的物体.若在B端施加一个竖直向上大小为3N的力，使杠杆在水平位置上保持静止，则a和b需要满足的关系是4a=3b，那么下列比例式正确的是 （A） （B） （C） （D）3.关于四个函数y=2x
2、，y=x，y=3x，y=x的共同点，下列说法正确的是（A）开口向上 （B）都有最低点 （C）对称轴是y轴 （D）y随x增大而增大4.为做好校园防疫工作，每日会对教室进行药物喷洒消毒，药物喷洒完成后，消毒药物在教室内空气中的浓度y(mg/m3)和时间t(min)满足关系，已知测得当t=10min时，药物浓度y=5mg/m3，则k的值为（A）50 （B）50 （C）5 （D）155. 如图，AB是O直径，AB=10，点C、D是圆上点，AC=6，点E是劣弧BD上的一点（不与B，D重合），则AE的长可能为（A）7 （B）8 （C）9 （D）106怎样平移抛物线y=2x就可以得到抛物线y=2（x+1）1
3、（A）左移1个单位长度、上移1个单位长度（B）左移1个单位长度、下移1个单位长度（C）右移1个单位长度、上移1个单位长度（D）右移1个单位长度、下移1个单位长度7为测楼房BC的高，在距楼房30m的A处，测得楼顶B的仰角为，那么楼房BC的高为（A）30tan（m） （B） （m） （C）30sin（m） （D）（m）8我们都知道蜂巢是很多个正六边形组合来的.正六边形蜂巢的建筑结构密合度最高、用材最少、空间最大、也最为坚固.如图，某蜂巢的房孔是边长为6的正六边形ABCDEF，若O的内接正六边形为正六边形ABCDEF，则BF的长为（A）12 （B） （C） （D） 二、填空题（本题共8道小题，每小题
4、3分，共24分）9写出一个开口向上，过 (0，2)的抛物线的函数表达式.10 在半径为 1 cm 的圆中，60的圆心角所对弧的弧长是_cm.11如图，ABC中，AC=AB，以AB为直径作O，交BC于D，交AC于E.若BAD=25，则EDC=_.12在直角坐标系中，直线与双曲线交于，两点.若点，的纵坐标分别为，则的值为 .13我国古代著名数学著作九章算术总共收集了246个数学问题，这些问题的算法要比欧洲同类算法早1500年. 其中有这样一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”意思是如图，CD为O的直径，弦ABCD于点E，CE=1寸，AB=10寸（注：1
5、尺=10寸），则可得直径CD的长为 寸. 14如图，在ABC中，AB=3，C=45 ，则AC的长为 15如图，PA，PB分别与O相切于点A，B，AC为O的直径，AC4， C60，则PA_ 16. 某快递员负责为A，B，C，D，E五个小区取送快递，每送一个快递收益1元，每取一个快递收益2元，某天5个小区需要取送快递数量下表。小区需送快递数量需取快递数量A156B105C85D47E134（1）如果快递员一个上午最多前往3个小区，且要求他最少送快递30件，最少取快递15件，写出一种满足条件的方案_（写出小区编号）；（2）在（1）的条件下，如果快递员想要在上午达到最大收益，写出他的最优方案_ （写出
6、小区编号）三、解答题（本题共 52 分，第 17-20题，每小题 5 分，第 21-23题，每小题 6 分，第 24-25 题，每小题 7 分） 解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。17.计算18. 如图，矩形ABCD中，点P在边AD上，PD =2 AP,连接CP并延长，交BA的延长线于点E，连接BD交CP于点Q.（1）写出图中两对相似的三角形(相似比不为1）_；（2）求的值.19已知二次函数y=x2x3（1）求二次函数y=x2x-3图象的顶点坐标；（2）在平面直角坐标系xOy中，画出二次函数 y=x2x3的图象；（3）结合图象直接写出自变量0x3时，函数的最大值和最小值. 20我们在课上
7、证明圆周角定理时，需要讨论圆心与圆周角的三种不同位置分别证明，下面给出了情形（1）的证明过程，请你在情形（2）和情形（3）中选择其一证明即可.圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.已知：如图，在O中，弧AB所对的圆周角是ACB，圆心角是AOB.求证：. （1） （2） （3）情形（1）证明：如图（1），当圆心O在ACB的边上时OC=OB，C=B.AOB是OBC中COB的外角，AOB=C+B.AOB=2C.即.请你选择情形（2）或情形（3），并证明. 21.已知：如图，O过正方形ABCD的顶点A，B，且与CD边相切于点E.点F是BC与O的交点，连接OB，OF，AF，点G是AB延
8、长线上一点，连接FG，且G+BOF=90.（1）求证：FG是O的切线；（2）如果正方形边长为2，求BG的长.22. 小张在学校进行定点M处投篮练习，篮球运行的路径是抛物线，篮球在小张头正上方出手，篮球架上篮圈中心的高度是3.05米，当球运行的水平距离为x米时，球心距离地面的高度为y米，现测量第一次投篮数据如下：x/m0246.y/m1.833.43. 请你解决以下问题：(1) 根据已知数据描点，并用平滑曲线连接；(2) 若小昊在小张前方1米处，沿正上方跳起想要阻止小张投篮（手的最大高度不小于球心高度算为成功阻止），已知小昊跳起时能摸到的最大高度为2.4米，请问小昊能否阻止此次投篮？并说明理由；
9、(3) 第二次在定点M处投篮，篮球出手后运行的轨迹也是抛物线，并且与第一次抛物线的形状相同，篮球出手时和达到最高点时，球的位置恰好都在第一次的正上方，当篮球运行的水平距离是6.5米时恰好进球（恰好进球时篮圈中心与球心重合），问小张第二次篮球刚出手比第一次篮球刚出手时的高度高多少米？23.在平面直角坐标系xOy中，点A（1，y1），B（3a， y2），C（2，y3）（点B， C不重合）在抛物线（a0）上.(1) 当a=1时，求二次函数的顶点坐标； (2) 若，则a的值为_；已知二次函数的对称轴为t，当y1y3y2时，求t得取值范围.24.如图，在ABC中，ACB=90，点D在AB上，AD=AC，
10、连接CD，点E是CB上一点，CE=DB，过点E作CD的垂线分别交CD、AB于F、G.（1）依题意补全图形；（2）BCD=，求CAB的大小（用含的式子表示）；（3）用等式表示线段AG，AC，BC之间的数量关系，并证明.25.已知：对于平面直角坐标系xOy中的点P和O，O的半径为4，交x轴于点A，B，对于点P给出如下定义：过点C直线与O交于点M，N，P为线段MN的中点，我们把这样的点P叫做关于MN的“折弦点”（1）若C（-2,0）点P1（0，0），P2（-1，1），P3（2，2）中是关于MN的“折弦点”的是_；若直线y=kx+上只存在一个关于MN的 “折弦点”，求k的值；（2）点C在线段AB上，直
11、线y=x+b上存在关于MN的“折弦点”，直接写出b的取值范围.昌平区20222023学年第一学期初三年级期末质量抽测数学答案及评分标准2022.12一、选择题（本题共8道小题，每小题3分，共24分） 题号12345678答案BDCACBAC二、填空题（本题共8道小题，每小题3分，共24分）题号910111213141516答案y=x2+2 (答案不唯一)50026（1）ABC（或ABE或ACE或ADE）（2）ABE三、解答题（本题共 52 分，第 17-20题，每小题 5 分，第 21-23题，每小题 6 分，第 24-25 题，每小题 7 分） 解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。17.
12、解：原式=+2-（）， 3分=1+-， =+. 5分18解：（1）EAP与EBC；EAP与CDP；（或EBC与CDP；EBQ与CDQ； PQD与CQB）. 2分（2） 四边形ABCD是矩形，ABCD，AB=CD，即AECD，E=PCD，EAP=PDC， EAPCDP， 3分=，PD=2AP，=，即EA=CD 4分AB=CD，BE=EA+AB=CD，=. 5分19. 解：（1）y=x-2x-3， =x-2x+1-4， =（x-1）-4， 1分二次函数y=x-2x-3图象的顶点坐标为(1，-4) . 2分（2） 3分（3）当自变量0x3时，函数的最大值为0，最小值为-4. 5分20.情形（2） 情
13、形（3） 证明：如图（2），当圆心O在ACB的内部时. 1分连接CO并延长交O于点D， 2分利用情形（1）的结果，有ACD=AOD，BCD=BOD. 4分ACD+BCD=（AOD+BOD）.即ACB=AOB. 5分证明：如图（3），当圆心O在ACB的外部时. 1分连接CO并延长交O于点D， 2分利用情形（1）的结果，有ACD=AOD，BCD=BOD. 4分BCD-ACD=（BODAOD）.即ACB=AOB. 5分21.（1）证明：O过正方形ABCD的顶点，ABF=90.AF是O的直径. 1分OA=OBOAB=OBA.BAF=BOF.G+BOF=90，G+BAF=90. 2分AFG=90. FG
14、是O的切线. 3分（2）解：连接EO并延长交AB于点H.O与CD边相切于点E，OECD.正方形ABCD，BAD=ABC=C =D=90. 四边形ADEH是矩形.EH=AD=2，OHAB.AH=AB=1. 4分设OA=OE=r，则OH=2-r.在RtAOF中，1+(2-r)=r， 解得r=.5分AF=.BAF=BAF，ABF=AFG=90，ABFAFG. . ABAG=AF 2AG=AG=BG=AGAB= .6分22.（1）如图所示： 1分（2）由表可设抛物线的表达式为：ya(x4)3.4，将点(2，3)代入函数表达式得：4a3.43，解得：a0.1， 2分所以y0.1 (x4)3.4，当x1时
15、，y2.52.4，3分所以小昊不能阻止此次投篮.4分（3）设小张第二次篮球刚出手比第一次篮球刚出手时的高度高h米，则第二次篮球运行路径得抛物线表达式为y0.1 (x4)3.4h.5分由题可知此抛物线过点(6.5，3.05) ，将其代入函数表达式得：0.1 (6.54)3.4h 3.05，解得：h0.275. 6分答：小张第二次篮球刚出手比第一次篮球刚出手时的高度高0.275米.23. 解：（1）当a1时，由题可知，y = x22x.x=1， 1分 将x=1代入，y=1，抛物线的顶点坐标是（1，1）.2分 （2） ，B与C关于对称轴对称.抛物线的对称轴为直线x=a，.a=2 . 4分由题意t=a
16、当3a 1，即a 时 y1y3，a . y3y2， .即a 2. a 2.当1 3a 0，即 a 0时y1y3，a . y3y2， .即a 2.此情况无解当0 3a 2，即0 a 时，y1y3，a. y3y2， .即a2. a .当3a2，即a时y1y3，a. y3y2 ， 即a 2.此情况无解.综上： a 或a 2 . 6分 t 或t 2 .24（1） 2分 （2）解：BCD=，ACB=90， ACD=90. 3分 AD=AC， ADC=ACD=90. CAB=1802（90）=2 4分 （3）BC= AC +AG 5分证明如下：延长CA，EG交于点MEGCD，ADC=90，FGD=.AGM
17、=FGD=.CAB=2，M=AGM.AG=AM . 6分 延长CD至点N，过点B作BNCNBDN=ADC=90.EGCD，DCB=，CEF=90.CEF=BDN=90.CE=DB，BDNECF . BN=CF.CMFBCN .7分BC=CM=AC+AM.BC= AC+AG.25. 解：（1） P1 , P2 . 2分 根据题意，若C（2,0），则折弦点是以D（1,0）为圆心，1为半径的圆上点的集合. 3分直线y=kx+上只存在一个 “折弦点”，直线y=kx+与D相切. 4分设切点为点E，连接DE.直线y=kx+与y轴交于点F（0, ），连接OF，EFD=OFD=30.EFO=60.OA=OFtanEFO=3.y=kx+与x轴交于点（3，0），k=. 5分（2）b. 7分
