1、栏目索引 课课题题1 1 实实 数数 栏目索引 总纲目录 基基础础知识梳理知识梳理 考点一 实数的分类 考点二 实数的有关概念及性质 考点三 近似数、科学记数法 考点四 实数的运算及大小比较 考点五 平方根、算术平方根及立方根 栏目索引 总纲目录 中考题型中考题型突突破破 题型一 考查实数的基本概念 题型二 考查科学记数法 题型三 考查实数的大小比较和估算 题型四 考查实数的运算 栏目索引 总纲目录 易混易错易混易错突突破破 易错一 不能正确识别正数与负数 易错二 不会使用数轴确定符号及绝对值的大小 栏目索引 河北考情探究 考点 年份 题号 分值 考查方式 1.实数的有关概念 与分类 2018
2、 18 3 以填空题的形式,与乘法公式相结合,考查相反数的概念 2017 6 3 以选择题的形式考查实数的意义 2016 1 3 以选择题的形式考查负数、相反数的概念 2016 7 3 以选择题的形式考查有理数、无理数、二次根式、数轴等概念 2016 17 3 以填空题的形式考查立方根的概念 2.科学记数法 2018 2 3 以选择题的形式考查将用科学记数法表示的数还原 2017 2 3 以选择题的形式考查用科学记数法表示一个小于1的正数 河北考情探究 栏目索引 河北考情探究 3.实数的运算 2018 10 3 以选择题的形式考查倒数、绝对值的知识 2017 1 3 以选择题的形式考查有理数的
3、加、减、乘、除、乘方运算 2017 20 8 以解答题的形式、以数轴设立问题情境考查有理数的运算 2016 7 3 以选择题的形式考查二次根式的运算 4.估算 2017 19 4 以填空题的形式与一元二次方程相结合估算实数的大小 5.非负数的性质 2017 12 2 以选择题的形式考查算术平方根的非负性等知识 备考策略:1.纵观近几年河北省中考试题,对本课题内容的考查多以选择题和填空题的形式呈现,在2017年中考解答题中增加了 对本课题内容的考查,作为基本的知识点,考查学生的基本代数运算能力,学生应掌握实数的有关概念,并能熟练地进行实数的 混合运算. 2.预计2019年中考仍将延续近几年的趋势
4、,侧重于考查学生对实数概念及运算的理解和掌握,不会有繁难的运算.值得注意的是 ,近几年探索数式规律的问题越来越多,另外,也出现了一些以实数计算为主的应用型问题,对思维深度的考查已经远远超过了 运算本身. 栏目索引 基础知识梳理 考点一考点一 实数的实数的分分类类 常见的实数分类方法有两种,即按实数的定义分类与按实数的性质分类. (1)按定义分类 实数 正整数 整数零 负整数 有理数 正分数 分数 负分数 正无理数 负无理 数 无理数 基础知识梳理 栏目索引 基础知识梳理 (2)按性质分类 正整数 正有理 数 正数 正分数 正无理数 零 实数 负整 数 负有理数 负数 负分数 负无理数 栏目索引
5、 基础知识梳理 考点二考点二 实数实数的的有关有关概概念及念及性性质质 原点 实数 1.数轴 (1)数轴的三要素为 、正方向和单位长度. (2)数轴上的点与 一一对应. 基础知识梳理 栏目索引 不同 相等 2.相反数 (1)定义:符号 、绝对值 的两个数,我们称其中一个数 是另一个数的相反数,也称这两个数互为相反数. 0 原点 原点 (2)性质:实数a,b互为相反数a+b= ,因此求一个数的相反数,只需在 这个数的前面添加一个“-”号. (3)特点:在数轴上,表示互为相反数(0除外)的两个点分别位于 两 侧且到 的距离相等. 栏目索引 基础知识梳理 1 的两个实数互为倒数,其中一个数叫做另一个
6、数 3.倒数 (1)定义:乘积为 的倒数. 互为倒数 (2)性质:实数a,b ab=1,当把任意一个非零实数a看做 的形 颠倒 式时(a没有分母时可看做m=1),求a的倒数只需 (3)互为相反数与互为倒数的异同点: n m m与n的位置. 栏目索引 基础知识梳理 相等 不等 之和 乘积 任意 非零 互为相反数 互为倒数 相同点 相反数与倒数都是成对出现 不同点 绝对值 不同 两数的绝对值 两数的绝对值一般 数量关 系不同 两数 为0 两数 为1 符号 不同 非零实数a与其相反数的符号一 定相反 非零实数a与其倒数的符号一定 相同 存在范 围不同 一个实数都有相反 数 只有 实数才有倒数 栏目索
7、引 基础知识梳理 4.绝对值 非负数 (1)定义:数轴上表示数a的点到原点的距离叫做数a的绝对值. a, a 0; (2)性质:任意一个实数的绝对值都是 ,即|a|=0, a 0; a, a 0. 栏目索引 基础知识梳理 考点三考点三 近似近似数数、科科学学记数法记数法 四舍五入 a10n 整数 所有零 1.一个近似数 到哪一位,就说这个近似数精确到哪一位. 2.科学记数法就是把一个数表示成 的形式,其中1|a| 括号的,先算括号里的;同一级运算从 到 依次进行. 4.实数的大小比较 (1)利用数轴比较实数的大小:数轴上表示数的点,右边的点表示的数大,左 边 的点表示的数小. (2)利用实数的
8、符号比较大小:正数大于0,负数小于0;两个正数,绝对值大的数 较 ,两个负数,绝对值大的数反而 . (3)利用“作差法”比较两个实数的大小:设a、b为任意两实数,若a-b0,则 a b;若a-b=0,则a=b;若a-b0;mn2,则1-3b0,2-3a1 B.x0,得a0). a = b a b 3.二次根式的加减运算:二次根式的加减运算的实质是合并被开方数相同的 二次根式,一般方法:(1)先把各二次根式化为最简二次根式;(2)把被开方数相 同的二次根式合并. 温馨提示 二次根式的化简或运算,最终结果都要求化成整式或最简二次 根式. 栏目索引 中考题型突破 题型一题型一 考查考查二二次根次根式
9、式有意有意义义的条件的条件 该题型主要考查当二次根式有意义时,被开方数所含字母的取值范围,常常与 不等式、分式等知识相结合. 中考题型突破 栏目索引 中考题型突破 C B.x0 C.x-3且x0 D.x3 x 典典例例1 (2018河北一模)如果代数式 x 3 有意义,则实数x的取值范围是 ( ) A.x-3 解 x 3 0, 答案答案 C 根据二次根式有意义的条件与分式有意义的条件,得x 0, 得x-3且x0,对照各选项,选C. 名师名师点点拨拨 本题求解的关键是熟练掌握二次根式的被开方数为非负数,由此 得到关于x的不等式组,解之即可得到答案. 栏目索引 中考题型突破 D 变式训变式训练练1
10、 (2017沧州东光一模)若代数式 数x的取值范围是 ( ) A.x-1 B.x2 C.x2 D.x-1且x2 x 1 在实数范围内有意义,则实 x 2 2. 答案答案 D 要使 x 1 在实数范围内有意义,应满足x 1 0, 解得x-1且x x 2 x 2 0, 栏目索引 中考题型突破 题型二题型二 考查二考查二次次根式性根式性质质的应用的应用 该题型主要考查二次根式( a )2=a(a0)、 a2 =|a|等性质在解题中的应用. 典典例例2 (2018衡水模拟)化简下列各式: (1)( 6 )2;(2)(- 5 )2;(3) (1 a)2 (a 6 50 .(填“”“0,b0). (1)2
11、 3 3 12 ;(2)3 8 +2 18 - 50 ; b (3) a ab 1 ab =66=36. 答案答案 (1)原式=(23)312 (2)原式=6 2 +6 2 -5 2 =7 2 . b ab ab a 1 (3)原式= 1 = 1 = ab . ab3 ab2 栏目索引 课课题题5 5 一次方一次方程程( (组组) )及其应用及其应用 栏目索引 总纲目录 基基础础知识梳理知识梳理 考点一 等式的基本性质 考点二 一元一次方程的概念及其解法 考点三 二元一次方程组的概念及其解法 考点四 一次方程(组)的应用 栏目索引 总纲目录 中考题型中考题型突突破破 题型一 考查一元一次方程的
12、相关概念及解 法 题型二 考查二元一次方程组的解法 题型三 考查一次方程(组)的应用 栏目索引 总纲目录 易混易错易混易错突突破破 易错一 利用去分母解一元一次方程时出现 漏乘的错误 易错二 利用去分母解一元一次方程时忽略 分数线的括号作用 易错三 不能根据实际问题的意义对解方程所 得的根进行正确的取舍 栏目索引 河北考情探究 考点 年份 题号 分值 考查方式 1.一元一次方程及其解法 2018 22 9 以解答题的形式,与探求数字的变化规律相结合,考查一元一次方 程的解法及应用 2017 24 10 以解答题的形式,以求直线与坐标轴的交点为问题情境,考查一元 一次方程的解法 2016 22
13、9 以解答题的形式,以求多边形的内角和的知识为载体,考查一元一 次方程的解法 2.二元一次方程组及其解法 2018 24 10 以解答题的形式,以函数知识为载体,考查二元一次方程组的解法 2017 26 12 以解答题的形式,以待定系数法确定一次函数表达式为问题情境, 考查二元一次方程组的解法 2016 24 10 以求一次函数表达式的知识为载体,考查二元一次方程组的解法 备考策略:纵观我省近几年的中考试题,一次方程(组)及其解法是必考内容,但单独考查的题目较少,常与线段或角的计算、函数、不等式等知识 相结合进行综合考查,考查的内容以基础题为主.预计今后我省中考对本部分内容的考查不会有较大的变
14、化. 河北考情探究 栏目索引 基础知识梳理 基础知识梳理 c 考点一考点一 等式的等式的基基本性质本性质 1.等式两边同时加上(或减去)同一个数或同一个整式,所得的结果仍是等式 . 字母表示:如果a=b,那么a =bc. 2.等式两边同时乘(或除以)同一个数(除数不为0),所得的结果仍是等式.字 母 c 表示:如果a=b,那么a c=b 或 = (c 0). a b c c 栏目索引 基础知识梳理 考点二考点二 一元一元一一次方次方程程的概的概念念及其及其解解法法 未知数 一 1 ax=b(a0) 1.方程:含有未知数的等式叫做方程. 2.方程的解:使方程左右两边相等的 的值叫做方程的解. 3
15、.解方程:求方程解的过程叫做解方程. 4.一元一次方程:方程仅含有 个未知数,并且所含未知数的项的次数 是 ,这样的方程叫做一元一次方程,一元一次方程的一般形式: . 5.解一元一次方程的一般步骤 去分母;去括号;移项;合并同类项;系数化为1. 栏目索引 基础知识梳理 两 1 考点三考点三 二元二元一一次方次方程程组的组的概概念及念及其其解法解法 1.二元一次方程:含有 个未知数,并且含有未知数的项的次数都是 的方程叫做二元一次方程. 2.二元一次方程组:含有两个未知数,并且含有未知数的项的次数都是1的 方 程组叫做二元一次方程组. 基础知识梳理 栏目索引 3.二元一次方程组的解法 另一个 相
16、加(减) (1)代入消元法:将其中一个方程中的某个未知数用含有 未知数 的代数式表示出来,并代入另一个方程中,从而消去一个未知数,化二元一次 方程组为一元一次方程,这种解二元一次方程组的方法称为代入消元法. (2)加减消元法:通过方程两边分别 消去一个未知数,这种解二 元一次方程组的方法称为加减消元法. 栏目索引 基础知识梳理 1.列方程(组)解应用题的一般步骤:(1)审题,寻找题目中的等量关系;(2)设未知 数;(3)根据所设的未知数与等量关系列出方程(组);(4)解方程(组);(5)检验并 写出答案. 考点四考点四 一次一次方方程程(组组)的应用的应用 栏目索引 基础知识梳理 成本 工作时
17、 程 + 程 + + 水速 - 水速 常见问题 重要的关系式 销售利 润问题 利润=售价- ; 销售总利润=每件利润销售数量 储蓄利 息问题 利息=本金利率期数; 本息和=本金+利息=本金(1+利率期数); 贷款利息=贷款额利率期数 工程问题 工作量=工作效率 间 浓度问题 浓度= 溶质的质量(体积) 100%; 溶液的质量(体积) 溶液质量=溶质质量+溶剂质量 行程问题 (1)相遇问题:(甲乙相向而行直至相遇):全路程=甲走的路 乙走的路程 (2)相离问题:(甲乙同地出发背向而行)相离路程=甲走的路 乙走的路程 (3)追及问题: (i)同地同向不同时出发:前者走的路程=追者走的路程; (ii
18、)同时不同地出发:前者走的路程+两地间的距离=追者走的路 程 (4)水中航行问题: (iii)顺水速度=静水速度 ; (iv)逆水速度=静水速度 2.常见的几种等量关系 栏目索引 中考题型突破 题型一题型一 考查考查一一元一元一次次方程方程的的相关相关概概念念及及解法解法 该题型主要考查一元一次方程的概念、一元一次方程的解与一元一次方程 的解法,题型多以选择题、填空题、解答题的形式出现,以考查基础知识为 主. 中考题型突破 中考题型突破 栏目索引 3 2 典典例例1 (2018沧州模拟)某同学在解方程2x 1= x a -1进行去分母变形时,方 程右边的-1忘记乘6,因而求得的解为x=-2,请
19、你求出a的值,并求出方程的正确 解. 答案答案 根据题意,右边的-1忘记乘6所得的方程为:2(2x-1)=3(x+a)-1, 把x=-2代入方程,得2(-4-1)=3(-2+a)-1, 解得a=-1. 去分母,得2(2x-1)=3(x-1)-6, 去括号,得4x-2=3x-3-6, 移项、合并同类项,得x=-7. 3 2 当a=-1时,原方程可化为: 2x 1= x 1-1, 名师点拨名师点拨 中考题型突破 栏目索引 本题的解题技巧是“将错就错”,即:利用错解在错误的方程中求 得a的值,由此得到正确的方程,而达到这一点,必须深刻理解方程的解的概念. 栏目索引 中考题型突破 变式训变式训练练1
20、(2017石家庄藁城模拟)解下列方程: (1)10-4(x+3)=2(x-1); 6 (2) 2x 5 + 3 x =1. 4 答案答案 (1)去括号,得10-4x-12=2x-2, 移项、合并同类项,得-6x=0, 系数化为1,得x=0. (2)去分母,得2(2x-5)+3(3-x)=12, 去括号,得4x-10+9-3x=12, 移项、合并同类项,得x=13. 栏目索引 中考题型突破 题型二题型二 考查考查二二元一元一次次方程方程组组的解法的解法 该题型主要考查二元一次方程组的解法,主要内容有:判断某组数是不是二元 一次方程组的解,解二元一次方程组,根据二元一次方程组的解求某个字母的 值等
21、.在解二元一次方程组时,注意灵活选用适当的解法. 典典例例2 (2017石家庄长安模拟)解下列方程组: (1) 3x 4 y 7, 5x y 4; 3 x y x y 6, (2) 2 3(x y) 4(x y). 栏目索引 中考题型突破 答案答案 (1)由得y=5x-4, 把代入,得3x+4(5x-4)=7, 解得x=1. 把x=1代入,得y=1. 方程组的解为x 1, y 1. (2)原方程组整理,得 x 5 y 36, x 7 y 0, +,得12y=36,解得y=3. 把y=3代入,得-x+73=0,解得x=21. x 21, 原方程组的解为 y 3. 中考题型突破 栏目索引 名师点拨
22、名师点拨 在解二元一次方程组时,要注意根据具体的题目特点灵活选用代 入消元法或加减消元法,一般来说,当其中一个未知数能比较方便地用另一个 未知数表示时,采用代入消元法;当各方程中同一个未知数的系数的绝对值相 等或成整数倍时,采用加减消元法. 栏目索引 中考题型突破 变式训变式训练练2 (2018沧州模拟)解下列方程组: 4x 8 y 12, (1) 3x 2 y 5; 5 2x y 2 0, (2)6x 3y 4 2 y 12. 答案答案 (1) 由得2y=3x-5, 把x=2代入,得y= 方程组的解是 4x 8 y 12, 3x 2 y 5. 把代入,得4x+4(3x-5)=12,解得x=2
23、. 1 2 2 . x 2, y 1 . 栏目索引 中考题型突破 将代入,得 3 2 4 +2y=12, 5 解得y=5. 把y=5代入,得x=3.5. x 3.5, 原方程组的解为 y 5. 由得2x-y=2, 5 (2) 2x y 2 0, 6x 3y 4 2 y 12, 栏目索引 中考题型突破 题型三题型三 考查考查一一次方次方程程(组组)的应用的应用 该题型主要考查利用一元一次方程或二元一次方程组解决实际问题,或根据 实际问题列一元一次方程,根据实际问题列二元一次方程组等. 中考题型突破 栏目索引 典典例例3 (2018永州中考)在永州市青少年禁毒教育活动中,某班男生小明与班 上同学一
24、起到禁毒教育基地参观,以下是小明和妈妈的对话,请根据对话内 容,求小明班上参观禁毒教育基地的男生和女生的人数. 中考题型突破 栏目索引 答案答案 解法一:设小明班上参观禁毒教育基地的男生人数为x人,则女生人数 为(55-x)人. 根据题意,得x=1.5(55-x)+5, 解这个方程,得x=35. 55-x=55-35=20. 答:小明班上参观禁毒教育基地的男生人数为35人,女生人数为20人. 解法二:设小明班上参观禁毒教育基地的男生人数为x人,女生人数为y人. 根据题意,得x y 55, x 1.5y 5. 栏目索引 中考题型突破 x 35, 解这个方程组,得 y 20. 答:小明班上参观禁毒
25、教育基地的男生人数为35人,女生人数为20人. 名师点拨名师点拨 列方程(组)解决实际问题的关键是能列出符合题意的方程(组),而 列出方程(组)的关键是寻找题目中的等量关系,为此需要认真审题,从题目中 的关键性词语或字里行间挖掘出解题所必需的正确信息.同时注意,某些实际 问题既可以列一元一次方程求解,也可以列二元一次方程组求解,但解题的繁 简程度可能会有所不同,因此,当题目中没有明确要求时,可根据个人的解题 习惯,采用比较方便的方法求解. 变式训变式训练练3 中考题型突破 栏目索引 (2017唐山滦南四模)某班去看演出,甲种票每张24元,乙种票每 张18元.如果35名学生购票恰好用去750元,
26、那么甲、乙两种票各买了多少张? 答案答案 设甲种票买了x张,则乙种票买了(35-x)张. 由题意,得24x+18(35-x)=750. 解得x=20. 35-x=15. 答:甲种票买了20张,乙种票买了15张. 栏目索引 易混易错突破 易混易错突破 易错一易错一 利用利用去去分母分母解解一元一元一一次方次方程程时时出出现漏现漏乘乘的的错错误误 典典例例1 (2017秦皇岛模拟)解方程: 5x 1- 2x 1=1. 3 6 易错警示易错警示 本题容易出现的错误是在方程的两边同乘6时,漏乘常数项,其原 因是对等式的性质理解不清,特别是在常数项为1的题目中,这种错误出现的 机率更大. 栏目索引 易混
27、易错突破 解析解析 去分母,得2(5x+1)-(2x-1)=6, 去括号,得10x+2-2x+1=6, 移项、合并同类项,得8x=3, 系数化为1,得x= 3 . 8 易混易错突破 栏目索引 易错二易错二 利用利用去去分母分母解解一元一元一一次方次方程程时时忽忽略分略分数数线线的的括括号号作用作用 典典例例2 (2017河北模拟)解方程: x 2 =1- x 5 . 2 3 易错警示易错警示 本题在去分母时容易出现符号方面的错误,其原因是忽略了分数 线的括号作用,因此当分数前面是“-”且分子是多项式时,一定要提高警惕. 解析解析 去分母,得3(x+2)=6-2(x-5), 去括号,得3x+6=
28、6-2x+10, 移项、合并同类项,得5x=10, 系数化为1,得x=2. 易混易错突破 栏目索引 易错三易错三 不能不能根根据实据实际际问题问题的的意义意义对对解解方方程所程所得得的的根根进进行行正确正确的的取舍取舍 典典例例3 小聪说,某三个连续偶数的和是50.你认为小聪说得正确吗?如果正 确,请你求出这三个连续偶数;如果不正确,请说明理由. 易错警示易错警示 如果设最小的偶数为x,因为列出方程并求解时所得的解为正数, 容易误认为小聪的说法正确,其原因是忽略了“偶数”这个限制条件. 解析解析 不正确.理由:设三个连续偶数分别为x,x+2,x+4. 根据题意,得x+x+2+x+4=50, 解
29、方程,得x= 44 . 3 44 不是偶数,这三个连续偶数不存在. 3 栏目索引 随堂巩固检测 其中,一元一次方 A 程共有 ( ) A.1个 C.3个 B.2个 D.4个 x 1.下列式子:9x+2; 1 =2;(1-x)(1+x)=3;1 1 1 3 x- 5 x= 2 (x-3). 随堂巩固检测 B ( ) A.2x-3(x-1)=1 C.2x-3x-3=6 B.2x-3(x-1)=6 D.2x+3x-3=6 3 2 2.方程1 x- x 1=1,去分母后,正确的结果是 栏目索引 随堂巩固检测 3.方程2x+3=7的解是 D ( ) A.x=5 C.x=3.5 B.x=4 D.x=2 4
30、.二元一次方程2x+y=9的正整数解有 D ( ) A.1组 C.3组 B.2组 D.4组 随堂巩固检测 栏目索引 5.(2018安徽长丰三模)我国古代名著九章算术中有一个问题,原文:“今 有凫起南海,七日至北海;雁起北海,九日至南海.今凫雁俱起,问何日相逢?” 译文:野鸭从南海起飞,7天后到达北海;大雁从北海起飞,9日后到达南海,今野 鸭和大雁分别从南海和北海同时起飞,几天后相遇?设x天后相遇,可列方程为 B ( ) 1 1 A.(7+9)x=1 B. 9 x=1 7 C. 1 1 x=1 D. 1 1 x=1 9 7 7 9 栏目索引 B 随堂巩固检测 ( ) A.4 C.-6 B.6 D
31、.-4 6.已知方程组ax by 4,的解为x 2,则2a-3b的值为 ax by 2 y 1, 等式的基本性质1 没有考虑a=0的情况 7.(2018深圳模拟)将等式3a-2b=2a-2b变形,过程如下: 因为3a-2b=2a-2b,所以3a=2a(第一步), 所以3=2(第二步). 上述过程中,第一步的根据是 , 第二步得出了明显错误的结论,其原因是 . 栏目索引 随堂巩固检测 6 3x y 6 8.若两个关于x,y的二元一次方程组mx 3ny 1,与5x ny n 2,有相同的解, 4x 2 y 8 则mn的值为 . 9.(2017广东中考)学校团委组织志愿者到图书馆整理一批新进的图书.
32、若男 生每人整理30本,女生每人整理20本,则共能整理680本;若男生每人整理50本, 女生每人整理40本,则共能整理1 240本.求男生、女生志愿者各有多少人. 答:男生志愿者有12人,女生志愿者有16人. 答案答案 设男生志愿者有x人,女生志愿者有y人,则 30x 20 y 680, x 12, 50x 40 y 1 240, 解得 y 16. 栏目索引 课课题题6 6 一元一一元一次次不等不等式式( (组组) )及其应用及其应用 栏目索引 总纲目录 基基础础知识梳理知识梳理 考点一 不等式的概念与基本性质 考点二 一元一次不等式的概念及解法 考点三 一元一次不等式组的概念及解法 考点四
33、一元一次不等式的应用 栏目索引 总纲目录 中考题型中考题型突突破破 题型一 考查一元一次不等式的解法 题型二 考查一元一次不等式组的解 法题 型三 考查一元一次不等式的应用 栏目索引 总纲目录 易错一 不会把不等式组的解集表示在数轴 上 易错二 列不等式(组)时对题目中的关键性 词语理解不充分 易混易错易混易错突突破破 栏目索引 河北考情探究 考点 年份 题号 分值 考查方式 1.一元一次不等式的解法 2018 7 3 以选择题的形式与等式的性质相结合,以选择题的形式考 查一元一次不等式的知识 2.一元一次不等式组的解法 2018 22 9 以解答题的形式,以统计图与数据的代表为载体,考查一
34、元一次不等式组的解法 3.一元一次不等式的应用 2018 26 11 以解答题的形式,以反比例函数、二次函数等综合性的知 识为载体,考查一元一次不等式的解法及应用 2017 26 12 以解答题的形式,与反比例函数相结合结合,考查一元一次不 等式的解法及应用 备考策略:纵观我省近几年的中考试题,一元一次不等式(组)是必考内容,但单独考查的题目较少,常与方程、函数、平面几何等知识相结合,综合 考查或以上述知识为载体进行考查,题目以考查基础知识 为主.预计今后我省中考对本部分内容的考查不会有较大的变化. 河北考情探究 栏目索引 基础知识梳理 基础知识梳理 所有 考点一考点一 不等不等式式的概的概念
35、念与基与基本本性质性质 1.不等式的概念 用符号“”“0或ax+b 大大取大 x a, x b x5的解,则下列选项中,正确的是 ( B ) A.ab D.ab 答案答案 B 解2x-15,得x3. a是不等式2x-15的解,a3; b不是不等式2x-15的解,b3.故ab. 栏目索引 中考题型突破 题型二题型二 考查考查一一元一元一次次不等不等式式组的组的解解法法 该题型主要考查一元一次不等式组的解法,主要内容包括解一元一次不等式 组,用数轴表示一元一次不等式组的解集,求一元一次不等式组的特殊解,利 用一元一次不等式组的解集求某个字母的值或取值范围等. 栏目索引 中考题型突破 出来. 3x
36、2 2(x 1), 典典例例2 (2018郴州中考)解不等式组:4x 2 3x 2, 并把解集在数轴上表示 答案答案 解不等式,得x-4; 解不等式,得x0. 不等式组的解集为-4-1; 解不等式2x-60,得x3. 所以不等式组的解集为-1y,则下列不等式中不成立的是 ( ) A.x-4y-4 B.-2x-2y C. x y D.- 1xx+5,得x4; 解不等式4x3x+2,得x2. 不等式组的解集为x4,将其解集在数轴上表示如图3所示. (4)解不等式4x2x-6,得x-3; 解不等式 0, 3 2 2 3 2 配方,得x2-3x+ =18+ 2 3 2 ,即 x = , 81 2 4
37、两边开平方,得x- 3 = , 9 2 2 81 , x1=6,x2=-3. 2 x= (3) 栏目索引 中考题型突破 (2)解法一(因式分解法):原方程可化为3y(y-1)=-2(y-1). 分解因式,得(y-1)(3y+2)=0. 令y-1=0,得y=1; 令3y+2=0,得y=- . y1=1,y2=- . 2 3 2 3 栏目索引 中考题型突破 y= , 解法二(公式法):原方程可化为3y2-y-2=0. 这里a=3,b=-1,c=-2, b2-4ac=(-1)2-43(-2)=250, (1) 25 2 3 2 y1=1,y2=- 3. 栏目索引 中考题型突破 题型二题型二 考查考查
38、一一元二元二次次方程方程的的根与根与系系数数的的关系关系 该题型主要考查一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的根与系数的关系,包括根 据方程的根求方程中某个字母参数的值,根据方程的根求与一元二次方程有 关的代数式的值,已知方程的一个根求方程的另一个根等. 典典例例2 (2018孝感中考)已知关于x的一元二次方程(x-3)(x-2)=p(p+1). (1)试证明:无论p取何值,此方程总有两个实数根; 1 2 1 2 1 2 (2)若原方程的两根x ,x 满足x2 + x2 -x x =3p2+1,求p的值. 栏目索引 中考题型突破 答案答案 (1)证明:原方程可变形为x2-5x+6-p2-p
39、=0. 则=(-5)2-4(6-p2-p)=25-24+4p2+4p=4p2+4p+1=(2p+1)2. p为实数,(2p+1)20, 无论p取何值,此方程总有两个实数根. (2)原方程的两根为x1,x2, x +x =5,x x =6-p2-p. 1 2 1 2 1 2 2 又 + -x x =3p +1, x 2 2 1 2 x 2 2 (x1+x2) -3x1x2=3p +1, 52-3(6-p2-p)=3p2+1, 解得p=-2. 中考题型突破 栏目索引 名师点拨名师点拨 在利用一元二次方程的根与系数的关系求某个字母参数的值或 取值范围时,需注意两点:因为一元二次方程的根与系数的关系存
40、在的前提 是该方程有两个实数根,所以在利用根与系数的关系时,一定要考虑到根的判 别式为非负数;当有关两根的已知条件不能直接利用时,要先对其进行变形 ,使其转化为两根之和或两根之积的形式,为利用根与系数的关系打好基 础. 中考题型突破 栏目索引 变式训变式训练练2 已知关于x的方程k2x2+(2k-1)x+1=0有两个不相等的实数根x ,x . 1 2 (1)求k的取值范围; (2)是否存在实数k,使方程的两实数根互为相反数?如果存在,求出k的值;如 果 不存在,请说明理由. 栏目索引 中考题型突破 答案答案 (1)根据题意,得 1 2 2 (2k 1)2 4k 2 0, k 0, 解得k 1
41、且k1 D.k 且k1 1 2 2 易错警示易错警示 本题容易出现的错误是只注意到由方程有实数根得到0,而忽 略了一元二次方程中二次项系数不为0的前提条件,出现选B的错误. 栏目索引 易混易错突破 解析解析 关于x的一元二次方程(k-1)x2+2x-2=0有实数根, 0且k1. =4-4(k-1)(-2)=8k-40, 解得k 且 k1. 1 2 答案答案 D 易混易错突破 栏目索引 典典例例4 (2017唐山滦南模拟)水果店张阿姨以每千克2元的价格购进某种水 果若干千克,然后以每千克4元的价格出售,每天可售出100千克.通过调查发 现,这种水果每千克的售价每降低0.1元,每天就可多售出20千
42、克,为保证每天 至少售出260千克,张阿姨决定降价销售. (1)当每千克的售价降低0.7元时,计算每天的销售量和销售利润; (2)若将这种水果的售价每千克降低x元,则每天的销售量是 千克(用 含x的代数式表示); (3)若张阿姨销售这种水果要想每天获得300元的利润,则她应将每千克的 售 价降低多少元? 易错四易错四 忽略实忽略实际际问题中问题中检检验所得验所得解解的合的合理理性性 易混易错突破 栏目索引 易错警示易错警示 本题的易错点是不能根据实际问题的意义对解方程所得的解进 行正确的取舍,误认为方程的正数解一定符合题意,负数解一定不符合题意, 因此看到本题两个解都是正数,误认为都符合题意.
43、 易混易错突破 栏目索引 解析解析 (1)当每千克的售价降低0.7元时,每天的销售量为100+ 0.7 20=240(千 0.1 克),每天的销售利润为(4-0.7-2)240=312(元). (2)100+200x. (3)设张阿姨将每千克的售价降低x元. 根据题意,得(4-x-2)(100+200x)=300, 解这个方程,得x1=0.5,x2=1. 当x=0.5时,销售量为100+2000.5=200(千克)260(千克),符合题意. 答:张阿姨销售这种水果要想每天获得300元的利润,她应将每千克的售价降 低1元. 栏目索引 随堂巩固检测 B 1.(2017浙江杭州月考)下列方程是一元二
44、次方程的是 ( ) A.x2-y=1 B.x2+2x-3=0 C.x2+ 1 =3 D.x-5y=6 x 随堂巩固检测 2.(2018娄底中考)关于x的一元二次方程x2-(k+3)x+k=0的根的情况是 A ( ) A.有两个不相等的实数根 C.无实数根 B.有两个相等的实数根 D.不能确定 栏目索引 随堂巩固检测 C 3.两个连续整数的乘积是132,则这两个整数分别是 ( ) A.11,12 B.-11,-12 C.11,12或-11,-12 D.11,-12 随堂巩固检测 栏目索引 4.已知a、b、c是ABC的三边长,且方程a(1+x2)+2bx-c(1-x2)=0的两根相等,则 C )
45、ABC为 ( A.等腰三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.任意三角形 随堂巩固检测 栏目索引 3x2-1=0 5.把方程(1-2x)(1+2x)=2x2-1化为一元二次方程的一般形式为 . x=3或x=-1 a 5 2 6.一元二次方程(x-1)2=4的解是 . 7.当a的取值范围为 时,关于x的方程(a2-5)x2+ax-7=0是一元二次方 程. 8.(2018郴州中考)已知关于x的一元二次方程x2+kx-6=0有一个根为-3,则方程 的另一个根为 . 随堂巩固检测 栏目索引 10 9.在某次宴会中,参加宴会的人两两握手,一共握了45次,那么出席这次宴会 的 有 人. 10.解 方
46、程 : (1)(y+2)2=(3y-1)2; (2)x2+4x+2=0(配方法); (3)(x-2)(x-3)=x-2; (4)5x2-3x=x+1. 栏目索引 随堂巩固检测 答案答案 (1)开平方,得y+2=(3y-1). 3 当y+2=3y-1时,解得y= 2 ; 1 当y+2=-(3y-1)时,解得y=- 4 . 原方程的解为y = 3 ,y =- 1 . 1 2 2 4 (2)原方程变形为x2+4x+4=2,得(x+2)2=2, 两边开平方,得x+2= 2 , 原方程的解为x1=-2+ 2 ,x2=-2- 2 . 栏目索引 随堂巩固检测 (3)整理,得x2-6x+8=0, 这里a=1,
47、b=-6,c=8, x= = , 原方程的解为x1=2,x2=4. (4)整理,得 5x2-4x-1=0, 因式分解,得(5x+1)(x-1)=0, 5x+1=0或x-1=0, 1 2 (6) (6)2 4 1 8 2 1 2 6 2 原方程的解为x =- 1 ,x =1. 5 随堂巩固检测 栏目索引 11.(2017山东邹城模拟)2014年,邹城市某楼盘以每平方米6 500元的均价对外 销售,因为楼盘滞销,房地产开发商为了加快资金周转,决定进行降价促销,经 过连续两年下调后,2016年的均价为每平方米5 265元. (1)求平均每年下调的百分率; (2)假设2017年的均价仍然下调相同的百分率,李老师准备购买一套100平 方 米的住房,他持有现金20万元,可以在银行贷款30万元,李老师的愿望能 否实 现(房价每平方米按照均价计算)? 随堂巩固检测 栏目索引 答案答案 (1)设平均每年下调的百分率为
