1、课题课题 2121 等腰三角形等腰三角形 A 组 基础题组 一、选择题 1.(2018 河北中考)已知:如图,点 P 在线段 AB 外,且 PA=PB,求证:点 P 在线段 AB 的垂直平分 线上.在证明该结论时,需添加辅助线,则作法不正确的是( ) A.作APB 的平分线 PC 交 AB 于点 C B.过点 P 作 PCAB 于点 C 且 AC=BC C.取 AB 中点 C,连接 PC D.过点 P 作 PCAB,垂足为 C 2.(2017 邢台一模)到三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形的( ) A.三条高的交点 B.三条角平分线的交点 C.三条中线的交点 D.三条边的垂直平分线的交
2、点 3.(2017 邯郸模拟)下列条件能判定ABC 为等腰三角形的是( ) A.A=30,B=60 B.AB=5,AC=12,BC=13 C.A=50,B=80 D.ABC=345 4.如图,在等腰ABC 中,AB=AC,BDAC,ABC=72,则ABD=( ) A.36 B.54 C.18 D.64 5.(2018 邯郸模拟)如图,在ABC 中,C=90,AD 是BAC 的角平分线,若 CD=2,AB=8,则 ABD 的面积是 ( ) A.6 B.8 C.10 D.12 6.(2018 承德模拟)如图,已知 P 是AOB 的角平分线上的一点,AOB=60,PDOA,M 是 OP 的中点,点
3、C 是 OB 上的一个动点,若 PC 的最小值为 3 cm,则 MD 的长度为( ) A.3 cm B.4 cm C.2.5 cm D.2 cm 二、填空题 7.如图,ABC 中,AC=8,BC=5,AB 的垂直平分线 DE 交 AB 于点 D,交边 AC 于点 E,则BCE 的周 长为 . 8.(2017 石家庄模拟)如图,已知 OA=a,P 是射线 ON 上一动点,AON=60,当 OP= 时,AOP 为等边三角形. 9.(2018 石家庄高邑期末)如图,已知ABC 的周长是 24,BO,CO 分别平分ABC 和 ACB,ODBC 于 D,且 OD=3,则ABC 的面积是 . 10.(20
4、18 承 德 模 拟 ) 三 个 等 边 三 角 形 的 摆 放 位 置 如 图 所 示 , 若 3=60, 则 1+2= . 三、解答题 11.(2018保定一模)如图,ABC和ADE都是等腰直角三角形,BAC=DAE=90,点E在BC 边上. (1)求证:ACDABE; (2)若CDE=60,求AEB 的度数. 12.(2017秦皇岛模拟)如图,在等边三角形ABC中,点D,E分别在边BC,AC上,且DEAB,过点 E 作 EFDE,交 BC 的延长线于点 F. (1)求F 的度数; (2)若 CD=2,求 DF 的长. B 组 提升题组 一、选择题 1.(2018 廊坊安次二模)如图,AB
5、C 是等边三角形 ,点 P 是三角形内的任意一 点,PDAB,PEBC,PFAC,若ABC 的周长为 12,则 PD+PE+PF=( ) A.12 B.8 C.4 D.3 2.(2017 河北中考)如图,码头 A 在码头 B 的正西方向,甲、 乙两船分别从 A,B 同时出发,并以 等速驶向某海域.甲的航向是北偏东 35,为避免行进中甲、乙相撞,则乙的航向不能 是 ( ) A.北偏东 55 B.北偏西 55 C.北偏东 35 D.北偏西 35 3.(2018 黑龙江中考)如图,四边形 ABCD 中,AB=AD,AC=5,DAB=DCB=90,则四边形 ABCD 的面积为( ) A.15 B.12
6、.5 C.14.5 D.17 二、填空题 4.(2018 德州中考)如图,OC 为AOB 的平分线,CMOB,OC=5,OM=4,则点 C 到射线 OA 的距离 为 . 5.(2017石家庄模拟)已知等边三角形ABC的两个顶点坐标为A(-3,0),B(3,0),则点C的坐标 为 . 三、解答题 6.(2018 唐山丰南一模)如图,在ABC 中,AB=AC,点 D,E,F 分别在 AB,BC,AC 边上,且 BE=CF,AD+EC=AB. (1)求证:DEF 是等腰三角形; (2)当A=40时,求DEF 的度数; (3)当A 为多少度时,DEF 是等边三角形? 答案精解精析答案精解精析 A 组
7、基础题组 一、选择题 1.B 无论作APB 的平分线 PC 交 AB 于点 C,还是取 AB 中点 C,连接 PC 或过点 P 作 PCAB, 垂足为 C,都可以通过等腰三角形三线合一得出结论,选项 A,C,D 的作法正确.故选 B. 2.D 3.C 4.B AB=AC,ABC=72,ABC=ACB=72,A=180-ABC-ACB=36.BDAC, ABD=90-36=54.故选 B. 5.B 如 图 , 过 点D作DEAB于E,AB=8,CD=2, AD是 BAC的 角 平 分 线,C=90,DE=CD=2,ABD 的面积=1 2ABDE= 1 282=8.故选 B. 6.A 当 PCOB
8、 时 PC 最小,P 是AOB 的平分线上的一点,PDOA,PCOB,PD=PC=3 cm,AOP=30,OP=2PD=6 cm,PDOA,M 是 OP 的中点,DM=1 2OP=3 cm,故选 A. 二、填空题 7. 答案 13 解析 DE 垂直平分 AB,AE=BE,BCE 的周长为 BE+CE+BC=AE+CE+BC=AC+BC=8+5=13. 8.a 9. 答案 36 解析 如图,连接 OA,BO,CO 分别平分ABC 和ACB,点 O 到 AB,AC,BC 的距离都相 等,ABC 的周长是 24,ODBC 于 D,且 OD=3,SABC=1 2243=36. 10. 答案 120 解
9、析 图中是三个等边三角形,3=60 ,ABC=180 -60 -60 =60 ,ACB=180 -60 - 2=120 -2,BAC=180 -60 -1=120 -1,ABC+ACB+BAC=180 ,60 +(120 - 2)+(120 -1)=180 ,1+2=120 . 三、解答题 11. 解析 (1)证明: BAC=DAE=90, BAC-CAE=DAE-CAE, 即DAC=EAB, 在ACD 与ABE 中, AD = AE, CAD = BAE, AC = AB, ACDABE(SAS). (2)ACDABE, ADC=AEB, AEB=ADE+CDE=45+60=105. 12.
10、 解析 (1)ABC 是等边三角形, B=60. DEAB,EDC=B=60. EFDE,DEF=90. F=90-EDC=30. (2)ACB=60,EDC=60, EDC 是等边三角形.ED=DC=2. DEF=90,F=30, DF=2DE=4. B 组 提升题组 一、选择题 1.C 延长 EP、 FP 分别交 AB、 BC 于 G、 H,则由 PDAB,PEBC,PFAC,可得四边形 PGBD,EPHC 是平行四边形,PG=BD,PE=HC, 又 ABC是 等 边 三 角 形 , 由PFAC,PDAB可 得 PFG,PDH是 等 边 三 角 形,PF=PG=BD,PD=DH,又ABC
11、的周长为 12,PD+PE+PF=DH+HC+BD=BC=1 312=4,故选 C. 2.D 3.B 如图,过 A 作 AEAC,交 CB 的延长线于 E,如图. DAB=DCB=90,D+ABC=180=ABE+ABC,D=ABE, 又DAB=CAE=90,CAD=EAB. 又AD=AB,ACDAEB,AC=AE,即ACE 是等腰直角三角形,四边形 ABCD 的面积与 ACE 的面积相等, SACE=1 255=12.5,四边形 ABCD 的面积为 12.5,故选 B. 二、填空题 4.3 5.(0,33)或(0,-33) 三、解答题 6. 解析 (1)证明:AB=AC,B=C. AD+EC=AB,AD+BD=AB,BD=EC. 在DBE 和ECF 中, BE = CF, B = C, BD = CE, DBEECF(SAS). DE=EF,即DEF 是等腰三角形. (2)A=40,B=C, B=C=70. BDE+DEB=110. DBEECF,BDE=FEC. FEC+DEB=110. DEF=70. (3)当A 为 60 度时,DEF 是等边三角形. 理由:由(2)知,DEF=B. DEF=60,B=60. AB=AC, ABC 是等边三角形. A=60.
