1、2.3.1 均值不等式及其应用问题引入42的平均数是与,2,6若bababa的算术平均值,是2称,对于正数bababa a,b可以分别表示对同一个量进行两次测量所得的数值，而(a+b)/2可以理解为这两次测量值的平均算术平均值算术平均值 当a,b 分别表示一个矩形的两条边的边长时，则矩形的面积可以表示为 S=ab 则与此矩形面积相等的正方形的边长是多少？解：设此正方形的边长为 x 则有 abxabx2S的几何平均值,是称,对于正数baabba几何几何平均值平均值平均值不等式平均值不等式定理定理(平均值不等式平均值不等式)两个正数正数的算术平均值大于等于它们 的几何平均值，即对于任意的正数a,b
2、,有时，等号成立当且仅当0,02babaabba高中数学（人教B版）教材均值不等式及其应用优质课件1（公开课课件）高中数学（人教B版）教材均值不等式及其应用优质课件1（公开课课件）平均值不等式的证明平均值不等式的证明时，等号成立当且仅当0,02babaabba立时，不等式中的等号成即,0当且仅当2所以0212212证明：因为222babaabbabaabbaabba平均值不等式的应用平均值不等式的应用例 1 已知x0,求证 并指出等号成立的条件,21xx平均值不等式的应用平均值不等式的应用例 1 已知x0,求证 并指出等号成立的条件,21xx证明：因为 x0,由平均值不等式，得21时，1当且仅
3、当1所以0又因为时成立，1即,1且等号只有当21212xxxxxxxxxxxx高中数学（人教B版）教材均值不等式及其应用优质课件1（公开课课件）高中数学（人教B版）教材均值不等式及其应用优质课件1（公开课课件）平均值不等式的应用平均值不等式的应用例 2 已知ab0,求证 并指出等号成立的条件,2baab高中数学（人教B版）教材均值不等式及其应用优质课件1（公开课课件）高中数学（人教B版）教材均值不等式及其应用优质课件1（公开课课件）平均值不等式的应用平均值不等式的应用例 2 已知ab0,求证 并指出等号成立的条件,2baab证明：因为 ab0,所以a,b同号，即 由平均值不等式，得时成立即,且
4、等号只有当22babaabbaabbaab,0,0baab总结：互为倒数的两个总结：互为倒数的两个正数正数之和不小于之和不小于 2 互为倒数的两个互为倒数的两个负数负数之和不大于之和不大于-2高中数学（人教B版）教材均值不等式及其应用优质课件1（公开课课件）高中数学（人教B版）教材均值不等式及其应用优质课件1（公开课课件）平均值不等式的推广平均值不等式的推广定理定理 对于任意的实数 a和b,总有时，等号成立当且仅当222baabba高中数学（人教B版）教材均值不等式及其应用优质课件1（公开课课件）高中数学（人教B版）教材均值不等式及其应用优质课件1（公开课课件）平均值不等式的推广平均值不等式的
5、推广定理定理 对于任意的实数 a,b,有时，等号成立当且仅当22baabba如何证明呢？高中数学（人教B版）教材均值不等式及其应用优质课件1（公开课课件）高中数学（人教B版）教材均值不等式及其应用优质课件1（公开课课件）平均值不等式的推广平均值不等式的推广证明：对任意给定的实数a,b,总有 当且仅当a=b时成立，于是abba222时成立且等号当且仅当2所以4即2222222baabbaabbaabababba时，等号成立当且仅当,22baRbaabba高中数学（人教B版）教材均值不等式及其应用优质课件1（公开课课件）高中数学（人教B版）教材均值不等式及其应用优质课件1（公开课课件）平均值不等式
6、的推广平均值不等式的推广推广推广 1.对于任意的实数 a,b,有时，等号成立当且仅当2222bababa如何证明呢？高中数学（人教B版）教材均值不等式及其应用优质课件1（公开课课件）高中数学（人教B版）教材均值不等式及其应用优质课件1（公开课课件）平均值不等式的推广平均值不等式的推广证明：对任意给定的实数a,b,总有 当且仅当a=b时成立，于是abba222时成立且等号当且仅当2即42442所以42422即22222222222222222222bababababababaabbabaabbaba时，等号成立当且仅当,2222baRbababa高中数学（人教B版）教材均值不等式及其应用优质课件
7、1（公开课课件）高中数学（人教B版）教材均值不等式及其应用优质课件1（公开课课件）平均值不等式的推广平均值不等式的推广推广推广 2.对于任意的实数 a,b,有时，等号成立当且仅当222bababa如何证明呢？高中数学（人教B版）教材均值不等式及其应用优质课件1（公开课课件）高中数学（人教B版）教材均值不等式及其应用优质课件1（公开课课件）平均值不等式的推广平均值不等式的推广证明：对任意给定的实数a,b,总有 当且仅当a=b时成立，于是abba222时成立且等号当且仅当2两边开方2即222222222222bababababaabbaba时，等号成立当且仅当,222baRbababa高中数学（人
8、教B版）教材均值不等式及其应用优质课件1（公开课课件）高中数学（人教B版）教材均值不等式及其应用优质课件1（公开课课件）平均值不等式的推广平均值不等式的推广推广推广 3.对于任意的实数 a,b,有时，等号成立当且仅当22222bababa如何证明呢？平均值不等式的推广平均值不等式的推广证明：对任意给定的实数a,b,总有 当且仅当a=b时成立，于是abba222时成立且等号当且仅当22即42442所以42422即22222222222222222222bababababababaabbabaabbaba时，等号成立当且仅当,22222baRbababa平均值不等式的推广平均值不等式的推广推广推广
9、 4.对于任意的实数 a,bR,有时，等号成立当且仅当2222bababa如何证明呢？平均值不等式的推广平均值不等式的推广证明：对任意给定的实数a,b,总有 当且仅当a=b时成立，于是abba222时成立且等号当且仅当22两边开方42442所以42422即2222222222222222222bababababababaabbabaabbaba时，等号成立当且仅当R,2222babababa平均值不等式的推广平均值不等式的推广推广推广 5.对于任意的实数 a0,b0,有时，等号成立当且仅当112babaab如何证明呢？平均值不等式的推广平均值不等式的推广证明：对任意给定的实数a,b,总有 当且
10、仅当a=b时成立，于是abba2时成立且等号当且仅当112两边开方22所以21即2babaabbaabababbaababbaababba时，等号成立当且仅当0,0112bababaab随堂练习例3.设 xR,求二次函数 y=x(4-x)的最大值法一解：将函数表达式化成顶点式 4取得最大值时，2，且当4有最大值424444222yxyxxxxxy随堂练习例3.设 xR,求二次函数 y=x(4-x)的最大值法二解：4取得最大值时，2即,4当4244，推得2由不等式22yxxxxxxxabba课后练习课后练习并指出等号成立的条件,21则,0证明：若.221求证,0设.1xxxaaa知识梳理知识梳理时，等号成立当且仅当,2.22baRbaabba时，等号成立当且仅当,2.122baRbaabba时，等号成立当且仅当0,02.3babaabba时，等号成立当且仅当0,02.4babaabba时，等号成立当且仅当,2.522baRbababa时，等号成立当且仅当,2.6222baRbababa时，等号成立当且仅当0,0112.7bababaab时，等号成立当且仅当0,011222总结22bababaabbaba
