1、第第1111节导数在研究函数中的应用节导数在研究函数中的应用1.1.了解函数的单调性与导数的关了解函数的单调性与导数的关系系;能利用导数研究函数的单调性能利用导数研究函数的单调性,会求函数的单调区间会求函数的单调区间(其中多项其中多项式函数不超过三次式函数不超过三次).).2.2.了解函数在某点取得极值的必了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件要条件和充分条件;会用导数求函会用导数求函数的数的极大值、极小值极大值、极小值(其中多项式函数其中多项式函数不超过三次不超过三次););会求闭区间上函数会求闭区间上函数的最大值、最小值的最大值、最小值(其中多项式函其中多项式函数不超过三次数不超过三次
2、).).3.3.会利用导数解决实际问题会利用导数解决实际问题.考纲展示考纲展示 知识链条完善知识链条完善 把散落的知识连起来把散落的知识连起来知识梳理知识梳理1.1.函数的单调性与导数的关系函数的单调性与导数的关系函数函数y=f(x)y=f(x)在某个区间内可导在某个区间内可导,则则(1)(1)若若f(x)0,f(x)0,则则f(x)f(x)在这个区间内在这个区间内 ;(2)(2)若若f(x)0,f(x)0,则则f(x)f(x)在这个区间内在这个区间内 ;(3)(3)若若f(x)=0,f(x)=0,则则f(x)f(x)在这个区间内是在这个区间内是 .2.2.函数的极值与导数的关系函数的极值与导
3、数的关系(1)(1)函数的极小值与极小值点函数的极小值与极小值点若函数若函数f(x)f(x)在点在点x=ax=a处的函数值处的函数值f(a)f(a)比它在点比它在点x=ax=a附近其他点的函数值附近其他点的函数值 ,f(a)=0,f(a)=0,而且在点而且在点x=ax=a附近的左侧附近的左侧 ,右侧右侧 ,则点则点a a叫叫做函数的极小值点做函数的极小值点,f(a),f(a)叫做函数的极小值叫做函数的极小值.单调递增单调递增单调递减单调递减常数函数常数函数都小都小f(x)0f(x)0f(x)0(2)(2)函数的极大值与极大值点函数的极大值与极大值点若函数若函数f(x)f(x)在点在点x=bx=
4、b处的函数值处的函数值f(b)f(b)比它在点比它在点x=bx=b附近其他点的函数值附近其他点的函数值 ,f(b)=0,f(b)=0,而且在点而且在点x=bx=b附近的左侧附近的左侧 ,右侧右侧 ,则点则点b b叫做叫做函数的极大值点函数的极大值点,f(b),f(b)叫做函数的极大值叫做函数的极大值.(3)(3)求可导函数极值的步骤求可导函数极值的步骤求导数求导数f(x);f(x);求方程求方程f(x)=0f(x)=0的根的根;列表列表,检验检验f(x)f(x)在方程在方程f(x)=0f(x)=0的根左右两侧的符号的根左右两侧的符号(判断判断y=f(x)y=f(x)在根左右在根左右两侧的单调性
5、两侧的单调性),),如果左正右负如果左正右负(左增右减左增右减),),那么那么f(x)f(x)在这个根处取得在这个根处取得 .如果左负右正如果左负右正(左减右增左减右增),),那么那么f(x)f(x)在这个根处取得在这个根处取得 .如果左右两侧符如果左右两侧符号一样号一样,那么这个根不是极值点那么这个根不是极值点.都大都大f(x)0f(x)0f(x)0f(x)0f(x)0,“f(x)0在在(a,b)(a,b)上成立上成立”是是“f(x)f(x)在在(a,b)(a,b)上单调递增上单调递增”的充分不必要条件的充分不必要条件.2.2.对于可导函数对于可导函数f(x),“f(xf(x),“f(x0
6、0)=0”)=0”是是“函数函数f(x)f(x)在在x=xx=x0 0处有极值处有极值”的必要的必要不充分条件不充分条件.1.1.函数函数y=x-ey=x-ex x的单调递减区间为的单调递减区间为()(A)(-,0)(A)(-,0)(B)(0,+)(B)(0,+)(C)1,+)(C)1,+)(D)(1,+)(D)(1,+)解析解析:y=1-ey=1-ex x0,0.x0.对点自测对点自测B B2.2.函数函数y=f(x)y=f(x)的图象如图所示的图象如图所示,则则y=f(x)y=f(x)的图象可能是的图象可能是()解析解析:由函数由函数f(x)f(x)的图象可知的图象可知,f(x)f(x)在
7、在(-,0)(-,0)上单调递增上单调递增,f(x)f(x)在在(0,+)(0,+)上单调递减上单调递减,所以在所以在(-,0)(-,0)上上f(x)0,f(x)0,在在(0,+)(0,+)上上f(x)0.f(x)0f(x)0时时,解得解得0 xe;0 xe;当当f(x)f(x)0e,xe,所以所以x=ex=e时时,f(x),f(x)取到极大值取到极大值,f(x),f(x)极大值极大值=f(e)=e.=f(e)=e.C C答案答案:(-,0(-,0 4.4.若函数若函数f(x)=ln x-axf(x)=ln x-ax在区间在区间(1,+)(1,+)上单调递增上单调递增,则则a a的取值范围是的
8、取值范围是.5.5.给出下列命题给出下列命题:f(x)0f(x)0是是f(x)f(x)为增函数的充要条件为增函数的充要条件;函数在某区间上或定义域内的极大值是唯一的函数在某区间上或定义域内的极大值是唯一的;函数的极大值不一定比极小值大函数的极大值不一定比极小值大;对可导函数对可导函数f(x),f(xf(x),f(x0 0)=0)=0是是x=xx=x0 0为极值点的充要条件为极值点的充要条件;函数的最大值不一定是极大值函数的最大值不一定是极大值,函数的最小值也不一定是极小值函数的最小值也不一定是极小值.其中正确的是其中正确的是.答案答案:第一课时导数与函数的单调性第一课时导数与函数的单调性专题概
9、述专题概述高考对此内容的考查高考对此内容的考查,主要是利用导数求函数的单调区间主要是利用导数求函数的单调区间,由函数的单调性求由函数的单调性求参数参数(范围范围),),或讨论函数的单调性或讨论函数的单调性,既有小题既有小题,也有解答题也有解答题(其中一问其中一问),),难度中难度中档偏上档偏上.考点专项突破考点专项突破 在讲练中理解知识在讲练中理解知识考点一求函数的单调区间考点一求函数的单调区间(典例迁移典例迁移)【例【例1 1】已知函数已知函数f(x)=axf(x)=ax3 3+x+x2 2(a(aR R)在在x=-x=-处取得极值处取得极值.(1)(1)确定确定a a的值的值;43(2)(
10、2)若若g(x)=f(x)eg(x)=f(x)ex x,求函数求函数g(x)g(x)的单调减区间的单调减区间.反思归纳反思归纳(1)(1)求函数单调区间的步骤求函数单调区间的步骤:确定函数确定函数f(x)f(x)的定义域的定义域;求求f(x);f(x);在定义域内解不等式在定义域内解不等式f(x)0,f(x)0,得单调递增区间得单调递增区间;在定义域内解不等式在定义域内解不等式f(x)0,f(x)0,得单调递减区间得单调递减区间.(2)(2)若所求函数的单调区间不止一个时若所求函数的单调区间不止一个时,这些区间不能用这些区间不能用“”“”及及“或或”连连接接,只能用只能用“,”“,”“和和”隔
11、开隔开.(2)(2)求函数求函数f(x)f(x)的单调区间的单调区间.考点二证明考点二证明(判断判断)函数的单调性函数的单调性【例例2 2】已知函数已知函数f(x)=ef(x)=ex x(e(ex x-a)-a-a)-a2 2x x其中参数其中参数a0.a0.讨论讨论f(x)f(x)的单调性的单调性.解解:函数函数f(x)f(x)的定义域为的定义域为(-,+),(-,+),且且a0.a0.f(x)=2ef(x)=2e2x2x-ae-aex x-a-a2 2=(2e=(2ex x+a)(e+a)(ex x-a).-a).若若a=0,a=0,则则f(x)=ef(x)=e2x2x,在在(-,+)(-
12、,+)上单调递增上单调递增.反思归纳反思归纳(1)(1)研究含参数的函数的单调性研究含参数的函数的单调性,要依据参数对不等式解集的影响进行分要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论类讨论.划分函数的单调区间时划分函数的单调区间时,要在函数定义域内讨论要在函数定义域内讨论,还要确定导数为还要确定导数为0 0的点和的点和函数的间断点函数的间断点.(2)(2)个别导数为个别导数为0 0的点不影响所在区间的单调性的点不影响所在区间的单调性,如如f(x)=xf(x)=x3 3,f(x)=3x,f(x)=3x2 200(f(x)=0(f(x)=0在在x=0 x=0时取到时取到),f(x),f(x)在在R
13、R上是增函数上是增函数.【跟踪训练跟踪训练2 2】已知函数已知函数f(x)=ln x+a(1-x),f(x)=ln x+a(1-x),讨论讨论f(x)f(x)的单调性的单调性.考点三导数在函数单调性中的应用考点三导数在函数单调性中的应用(多维探究多维探究)考查角度考查角度1:1:由单调性理解导函数图象由单调性理解导函数图象【例例3 3】(2017(2017江西临川模拟江西临川模拟)如果函数如果函数y=f(x)y=f(x)的图象如图所示的图象如图所示,那么导函那么导函数数y=f(x)y=f(x)的图象可能是的图象可能是()解析解析:如图如图,由由y=f(x)y=f(x)图象知图象知,当当xxx0
14、;f(x)0;当当x x1 1x0 x0时时,y=f(x),y=f(x)单调递减单调递减,故故f(x)0;f(x)0;在在x=0 x=0处处,y=f(x),y=f(x)的切线与的切线与x x轴平行轴平行,故故f(0)=0;f(0)=0;在在0 xx0 x0;f(x)0;当当xxxx2 2时时,y=f(x),y=f(x)单调递减单调递减,故故f(x)0.f(x)0,0,故选项故选项D D正确正确.故选故选D.D.(2)(2)(2018(2018沈阳质检沈阳质检)函数函数f(x)f(x)的定义域为的定义域为R R,f(-1)=2,f(-1)=2,对任意对任意xxR R,f(x)2,f(x)2,则则
15、f(x)2x+4f(x)2x+4的解集为的解集为()(A)(-1,1)(A)(-1,1)(B)(-1,+)(B)(-1,+)(C)(-,-1)(C)(-,-1)(D)(-,+)(D)(-,+)反思归纳反思归纳(1)(1)利用导数比较大小利用导数比较大小,其关键在于利用题目条件构造辅助函数其关键在于利用题目条件构造辅助函数,把比较大小把比较大小的问题转化为先利用导数研究函数的单调性的问题转化为先利用导数研究函数的单调性,进而根据单调性比较大小进而根据单调性比较大小.(2)(2)某些不等式的求解某些不等式的求解,常构造函数常构造函数,利用导数研究函数的单调性利用导数研究函数的单调性,再由单调再由单
16、调性解不等式性解不等式.(2)(2)是否存在实数是否存在实数a,a,使函数使函数g(x)=f(x)-axg(x)=f(x)-ax在在(0,+)(0,+)上单调递增上单调递增?若存在若存在,求出求出a a的取值范围的取值范围;若不存在若不存在,说明理由说明理由.反思归纳反思归纳(1)(1)已知函数的单调性已知函数的单调性,求参数的取值范围求参数的取值范围,应用条件应用条件f(x)0(f(x)0(或或f(x)f(x)0),x(a,b)0),x(a,b)恒成立恒成立,解出参数的取值范围解出参数的取值范围(一般可用不等式恒成立的理论一般可用不等式恒成立的理论求解求解),),应注意参数的取值是应注意参数
17、的取值是f(x)f(x)不恒等于不恒等于0 0的参数的范围的参数的范围.(2)(2)若函数若函数y=f(x)y=f(x)在区间在区间(a,b)(a,b)上不单调上不单调,则转化为则转化为f(x)=0f(x)=0在在(a,b)(a,b)上有解上有解.(2)(2)(2018(2018龙泉二中龙泉二中)若函数若函数f(x)=xf(x)=x3 3-12x-12x在区间在区间(k-1,k+1)(k-1,k+1)上不是单调函数上不是单调函数,则则实数实数k k的取值范围是的取值范围是()(A)(-,-3-1,13,+)(A)(-,-3-1,13,+)(B)(B)不存在这样的实数不存在这样的实数k k(C)
18、(-2,2)(C)(-2,2)(D)(-3,-1)(1,3)(D)(-3,-1)(1,3)解析解析:(2)(2)因为因为f(x)=xf(x)=x3 3-12x,-12x,所以所以f(x)=3xf(x)=3x2 2-12,-12,令令f(x)=0,f(x)=0,解得解得x=-2x=-2或或x=2,x=2,即函数即函数f(x)=xf(x)=x3 3-12x-12x的极值点为的极值点为2,2,若函数若函数f(x)=xf(x)=x3 3-12x-12x在区间在区间(k-1,k+1)(k-1,k+1)上上不是单调函数不是单调函数,则则-2(k-1,k+1)-2(k-1,k+1)或或2(k-1,k+1),2(k-1,k+1),解得解得-3k-1-3k-1或或1k3.1k3.故选故选D.D.备选例题备选例题(2)(2)若函数若函数h(x)=f(x)-g(x)h(x)=f(x)-g(x)在在1,41,4上单调递减上单调递减,求求a a的取值范围的取值范围.点击进入点击进入 应用能力提升应用能力提升
