1、HS八(上)教学课件第第1313章章 全等三角形全等三角形13.1 命题、定理与证明命题、定理与证明1 命题1.理解命题及命题的条件、结论的概念，会区分一个命题的条件和结论，并能把一个命题改写成“如果，那么”的形式.（重点）2.能判断一个命题的真假，会用反例说明假命题.（难点）学习目标 我们已经学过一些图形的特性，试判断下列句子是否正确？它们有什么共同点？（1）三角形的内角和等于180；（2）如果两个角是对顶角，那么这两个角相等;（3）两直线平行，同旁内角相等;（4）直角都相等;（5）经过一点确定一条直线.依据所学知识可以判断（1）（2）（4）是正确的，（3）（5）是错误的，这几个句子的特点是
2、可以判断一件事情的正确或错误，这样的句子就是命题.【概念】它们都是判断某一件事情的语句，像这样表示判断的语句叫做命题.【例1】判断下列语句是不是命题？(1）长度相等的两条线段是相等的线段吗?（2）两条直线相交，有且只有一个交点；（3）不相等的两个角不是对顶角；（4）欢迎前来参观！（5）两个锐角的和是钝角；（6）取线段AB的中点C.解：（2）（3）（5）是命题.像（1）（4）（6）这样对某一件事的对错没有给出任何判断就不是命题.注意:祈使句、疑问句、感叹句都不是命题.命题1 1.你能举出一些命题吗?2.能否举出一些不是命题的语句？观察下列命题，你能发现这些命题有什么共同的结构特征？与同学交流.（
3、1）如果两个三角形的三条边相等，那么这两个三角形全等；（2）如果一个三角形是等腰三角形，那么这个三角形的两个底角相等；（3）如果两个角是对顶角，那么这两个角相等.如果一个三角形的三边相等，那么这个三角形是等边三角形.【归纳】命题都可以写成“如果，那么”的形式，其中用“如果”开始的部分就是条件，用“那么”开始的部分就是结论.条件结论已知事项由已知事项推断出来的事项【例【例2 2】条件是：结论是：改写成：条件是：结论是：改写成：同位角相等两直线平行如果一个三角形的三边相等，那么这个三角 形是等边三角形.这个三角形是等边三角形一个三角形的三个角相等如果同位角相等，那么两直线平行.（1）三角形的内角和
4、等于180 （2）如果两个角是对顶角，那么这两个角相等;（3）两直线平行，同旁内角相等;（4）直角都相等;（5）经过一点确定一条直线.根据前面的学习，我们可以判断（1）（2）（4）是正确的，也就是说，如果条件成立，那么结论一定成立.像这样的命题，称为真命题.其中（3）（5）是错误的，也就是说，当条件成立时，不能保证结论总是正确，或者说结论不成立，像这样的命题，称为假命题.真命题与假命题2【例3】哪些是真命题，哪些是假命题？（1）一个角的补角大于这个角；（2）相等的两个角是对顶角；（3）两点可以确定一条直线；（4）若A=B，则2A=2B；（5）锐角和钝角互为补角；（6）两点之间线段最短；假命题
5、假命题 真命题 真命题 假命题 真命题【归纳总结】【归纳总结】1.要判断一个命题是真命题，可以用演绎推理加以论证；2.要判断一个命题是假命题，只要举出一个例子，说明该命题不成立，比如（1）中若A=120，那么它的补角是60，从而它的补角比A小，所以（1）是假命题.在数学中，这种方法称为“举反例”.下列句子中，哪些是命题？哪些不是命题？对顶角相等；画一个角等于已知角；两直线平行，同位角相等；a、b两条直线平行吗？温柔的李明明；玫瑰花是动物；若a24，求a的值；若a2 b2，则ab.不是是不是不是是不是是是(9)“八荣八耻”是我们做人的基本准则是2.把下列命题改写成“如果，那么”的形式，并分别指出
6、它们的条件和结论：（1）全等三角形的对应边相等；（2）在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行.解：解：(1)改写成：如果两个三角形全等，那么它们的对应边相等；条件：两个三角形全等；结论：这两个三角形的对应边相等.（2）改写成：如果在同一平面内，有两条直线分别垂直于第三条直线，那么这两条直线互相平行；条件：在同一平面内，有两条直线分别垂直于第三条直线；结论：这两条直线互相平行.3.指出下列命题中的真命题和假命题：（1）同位角相等，两直线平行；（2）多边形的内角和等于180；（3）三角形的外角和等于360；（4）平行于同一条直线的两条直线互相平行.真命题 假命题 真命题 真命题命 题命题
7、的概念：对某一件事作出判断的语句叫做命题命题的结构：由条件和结论两部分组成，常写成“如果，那么”的形式命题的分类：真命题和假命题HS八(上)教学课件第第1313章章 全等三角形全等三角形13.1 命题、定理与证明命题、定理与证明2 定理与证明1.理解基本事实、定理等概念.（重点）2.理解证明的概念，并会对真命题进行证明.（难点）学习目标【问题】【问题】我们学过的哪些命题是真命题1.两点确定一条直线;2.两点之间，线段最短;3.过一点有且只有一条直线与已知直线垂直;4.过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行.基本事实基本事实 ：数学中一些命题的正确性是人们在长期实践中总结出来的，并把它们作为
8、判断其他命题真假的原始依据，即出发点.这样的真命题视为基本事实.我们也称它为公理.例如：1.一条直线截两条平行直线所得的同位角相等；2.两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条 直线平行；3.全等三角形的对应边、对应角分别相等基本事实与定理【定理】【定理】数学中，有些命题可以从基本事实或其他真命题出发，用逻辑推理的方法判断它们是正确的，并且可以作为进一步判断其他命题真假的依据，这样的真命题叫做定理.比如:“内错角相等,两直线平行”这条定理就是在“同位角相等,两直线平行”这条公理的基础上推理而出的,它也可以作为判定平行线的依据.基本事实、定理、命题的关系：基本事实、定理、命题的关系：
9、命题真命题假命题基本事实（正确性由实践总结）定理（正确性通过推理证实）【思考】【思考】（1）一位同学在钻研数学题时发现：2+1=3，23+1=7，235+1=31，2357+1=211，于是，他根据上面的结果并利用质数表得出结论：从质数2开始，排在前面的任意多个质数的乘积加1一定也是质数.他的结论正确吗？【试一试】计算一下235711+1与23571113+1，你发现了什么？（2）如果a=b,那么a2=b2.由此我们猜想：当a b时，a2 b2.这个命题是真命题吗？（3）我们曾经通过计算四边形、五边形、六边形、七边形等的内角和，得到一个结论：n边形的内角和等于（n-2）180.这个结论正确吗？
10、是否有一个多边形的内角和不满足这一规律？不正确，因为3-5,但是32(-5)2.这是一个正确的结论.【探讨】【探讨】上面的几个例子说明了什么问题？通过特殊的事例得到的结论可能正确，也可能不正确.【定义】根据条件、定义以及基本事实、定理等，经过演绎推理，来判断一个命题是否正确，这样的推理过程叫做证明.【例1】证明命题：直角三角形的两个锐角互余.已知：如图，在ABC中，C=90.求证：A+B=90.证明：A+B+C=180（三角形的内角和等于180），又C=90（已知），A+B=180-C=90(等式的性质).此命题可以用来作为判断其他命题真假的依据，因此我们把它也作为定理.方法归纳：演绎推理是研
11、究数学的一个重要方法.除了基本事实与已知的定理外，等式与不等式的有关性质以及等量代换也可以作为推理的依据.现在我们就用演绎推理的方法来证明下面的判别方法:【例【例2 2】内错角相等,两直线平行.ABl1l2l3()3已知：如图，直线l3分别与l1、l2交于点,点，且，且=.求证：l1l2.2.你能根据图写出此定理的已知和求证吗？【注意】【注意】如果命题已给出已知和求证,就可以按照所学有关公理、定理、性质等直接进行证明了.如果要证明一个文字语言叙述的证明题,而没有给出图形、已知、求证,我们要证明这个命题,必须:1.首先必须根据命题的要求准确的画出图形,标出字母.2.再根据要求按照图中所标字母写出
12、数学语言表示的已知和求证.证明：=3=23=21=lll1l2l3AB)1(2)3(已知)，(对顶角相等)，(等量代换).(同位角相等,两直线平行).分析：要证明OEOF，只要证明EOF 90，即12 90即可 1.证明：邻补角的平分线互相垂直已知：如图，AOBBOC180，OE平分AOB，OF平分BOC求证：OEOF 证明：OE平分AOB，1 AOB.OF平分 BOC，2 BOC.1 2 （A O B B O C）AOC 18090.OEOF（垂直定义）12121212122.用演绎推理证明下面的定理：（1）同旁内角互补两直线平行；（2）三角形的外角和等于360.定理与证明基本事实定理的概念
13、证明：步骤：(1)根据题意作出图形；(2)写出已知和求证；(3)写出证明的过程概念HS八(上)教学课件第第1313章章 全等三角形全等三角形13.2 三角形全等的判定三角形全等的判定1全等三角形2 全等三角形的判定条件1.理解全等三角形的概念，及全等三角形经过一系列变换后，能够完全重合的性质.（重点）2.掌握全等三角形的性质（对应边相等，对应角相等），探究全等三角形的判定条件.（难点）学习目标能够完全重合的两个图形叫做全等图形.全等形包括规则图形和不规则图形全等.全等图形:ABCEDF能够完全重合的两个三角形,叫做记作:ABCDEF读作:ABC全等于全等于DEF互相重合的顶点叫对应顶点.互相重
14、合的边叫对应边.互相重合的角叫对应角.全等三角形全等三角形的全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等.全等三角形的性质：DFDEEFDEF角 角角边边边AC=AB=BC=A=B=C=请指出图中ABC DEF对应边和对应角.ABCFDE如图,以直线l为对称轴，画出ABC的对称图形，并指出它们的对应顶点、对应边和对应角.ABCDEF若已知A=60，B=80，那么DEF的各个角的大小：FDE=,DEF=,DFE=.l608040全等三角形1AACBDE图图1图图2图图3图图4ABDCABCDBCNMFE怎么判断两个三角形全等呢？根据全等三角形的定义可知：能够完全重合两个三角形全等，即两个三角形
15、的三对边、三对角分别对应相等，则两个三角形全等.能否减少一些条件，找到更简便的判定两个三角形全等的方法呢？对两个三角形来说，六个元素（三条边、三对角）中至少要有几个元素对应相等，这两个三角形才会全等呢？全等三角形的判定条件2 1.画几个有一边长为8 cm的三角形，这样得到的三角形是否全等？如果两个三角形只有一组对应相等的元素，那么会出现几种情况？这两个三角形会全等吗？【探究活动1】两种，一条边或一个角相等.【试一试】【试一试】有一条边对应相等的三角形不一定全等.有一个角对应相等的三角形不一定全等.2.画几个有一个角为60的三角形，这样得到的三角形是否全等？(60 【归纳】如果两个三角形只有一组
16、对应相等的元素，那么这两个三角形不一定全等.【探究活动2】如果两个三角形有两组对应相等的元素，那么会出现几种可能的情况？这两个三角形会全等吗？三种，一条边和一个角相等；两个角相等；两条边相等.30(1)三角形的一条边为3cm,一个内角为303cm3cm3cm3030 按照上面的条件，用刻度尺和量角器画三角形，并和周围的同学比较，所画的图形是否全等.一条边和一个内角相等不能判定两个三角形全等.(【试一试】【试一试】307030 7030 70(2)三角形的两个内角分别为30和70.两个内角对应相等不能判定两个三角形全等两个内角对应相等不能判定两个三角形全等.5cm3cm3cm(3)三角形的两条边
17、分别为3cm和5cm.两条边对应相等不能判定两个三角形全等两条边对应相等不能判定两个三角形全等.两个三角形只有一组或两组对应相等的元素（边或角），那么这两个三角形不一定全等.【探索发现】【探索发现】【思【思 考】考】如果两个三角形有三组对应相等的元素（边或角），又会如何呢？1.如图，ABC CED，B和 DEC是对应角，BC与ED是对应边，说出另两组对应角和对应边.ABCED解：对应角：A=ECD,D=ACB;对应边：AC=CD,AB=CE.2.如图，ADBC，AD=BC，AEBC，将ABE沿AD方向平移，使点A与点D重合，点E平移至点F，则 ABE ，F=.DCF903.如图，点D是等腰直角
18、三角形ABC内一点，ABAC，将ABD绕点A逆时针旋转90，点D与点E重合，则ABD_，AD_，BD_ACEAECE4.如图,ABCAED,AB是ABC的最大边，AE是AED 的最大边,BAC 与 EAD是对应角,且BAC=25，B=35,AB=3cm,BC=1cm,求出E、ADE的度数和线段DE、AE 的长度.BCEDA解:ABCAED(已知),E=B=35(全等三角形的对应角相等),ADE=ACB=1802535 =120 (全等三角形的对应角相等),DE=BC=1 cm,AE=AB=3 cm(全等三角形的对应边相等).全等三角形全等形：能够完全重合的两个图形叫做全等形全等三角形：能够完全
19、重合的两个三角形叫做全等三角形全等三角形的性质全等三角形的对应边相等全等三角形的对应角相等HS八(上)教学课件第第1313章章 全等三角形全等三角形13.2 三角形全等的判定三角形全等的判定3 边角边1.通过画图、操作、实验等教学活动，探索三角形全等的判定方法（S.A.S.）.（重点）2.会用S.A.S.判定两个三角形全等.（难点）3.灵活地运用所学的判定方法判定两个三角形全等，从而解决线段或角相等问题.学习目标 上节课我们给大家留了这样一个思考题，你们思考好了吗？如果两个三角形有三组对应相等的元素（边或角），那么会有哪几种可能的情况？这时，这两个三角形一定会全等吗？有四种情况：两边一角、两角
20、一边、三角、三边 如果两个三角形有两条边和一个角分别对应相等，这两个三角形会全等吗？这是本节我们要探讨的课题.如果已知一个三角形的两边及一角，那么有几种可能的情况呢？每一种情况得到的三角形都全等吗?应该有两种情况：一种是角夹在两条边的中间，形成两边夹一角；另一情况是角不夹在两边的中间，形成两边一对角.“S.A.S.”判定三角形全等【问题情境】【问题情境】如果已知两个三角形有两边及一角对应相等时，应分为几种情形讨论？边角边边边角第一种第二种 如图，已知两条线段和一个角，试画一个三角形，使这两条线段为其两边，这个角为这两边的夹角.步骤：1.画一线段AB,使它等于4cm;2.画MAB=45;3.在射
21、线AM上截取AC=3cm;4.连结BC.ABC就是所求作的三角形【做一做】【做一做】比一比：大家所画的三角形都全等吗？试一试，换两条线段和一个角，是否有同样的结论.下面用叠合的方法，看看你和你同伴所画的两个三角形是否可以完全重合.全等在ABC 和 ABC中，ABC AB C（S.A.S.）文字语言：文字语言：两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 （简写成“边角边”或“S.A.S.”）“边角边”判定方法几何语言：AB=AB，A=A，AC=AC，A B C A B C 必须是两边“夹 角”CABDE【例【例1 1】如图，已知线段AC、BD相交于点E，AE=DE，BE=CE，求证：ABEDCE.AE
22、=DE(已知)，AEB=DEC（对顶角相等），BE=CE(已知)，ABEDCE（S.A.S.）.证明：在ABE和DCE中，【例2】如图，有一池塘，要测池塘两端A、B的距离，可先在平地上取一个可以直接到达A和B的点C，连接AC并延长到点D，使CDCA，连结BC并延长到点E，使CECB连接DE，那么量出DE的长就是A，B的距离，为什么?CAEDB分析：如果能证明ABC DEC,就可以得出AB=DE.由题意知，ABC和DEC具备“边角边”的条件.证明：在ABC 和DEC 中，ABC DEC（S.A.S.）.AB=DE（全等三角形的对应边相等）.AC=DC（已知），），1=2（对顶角相等），），CB=
23、EC（已知），CAEDB12 【归纳】归纳】证明线段相等或者角相等时，常常通过证明三角形全等来解决.如图，已知两条线段和一个角，以长的线段为已知角的邻边，短的线段为已知角的对边，画一个三角形.ABCDEF2.5cm3cm45453cm2.5cm【结论】两边及其一边所对的角相等（即“边边角”对应相等或S.S.A.），两个三角形不一定全等.【做一做】【做一做】2.5cm3cm45把你画的三角形与其他同学画的三角形进行对比，所画的三角形都全等吗？此时，符合条件的三角形有多少种？【比一比】【比一比】1.如图，AC=BD，CAB=DBA，求证：BC=AD.ABCD证明:在ABC与BAD中，AC=BD C
24、AB=DBA AB=BAABCBAD（S.A.S.）.(已知)，(已知)，(公共边)，BC=AD（全等三角形的对应边相等）.2.小兰做了一个如图所示的风筝，其中EDH=FDH,ED=FD，将上述条件标注在图中，小明不用测量就能知道EH=FH吗？与同桌进行交流.EFDH 解：能.在EDH和FDH中，ED=FD（已知），EDH=FDH（已知），DHDH（公共边），EDHFDH（S.A.S.）.EH=FH(全等三角形对应边相等）.3.已知:如图,AB=DB,CB=EB,12，求证:A=D.证明证明:12(已知)，1+DBC 2+DBC(等式的性质)，即ABCDBE.在ABC和DBE中,ABDB(已知
25、)，ABCDBE(已证)，CBEB(已知)，ABCDBE(S.A.S.).A=D(全等三角形的对应角相等).1A2CBDE4.如图，点E、F在AC上，AD/BC，AD=CB，AE=CF.求证：AFDCEB.FABDCE证明：AD/BC，A=C.AE=CF，在AFD和和CEB中，AD=CBA=CAF=CE AFDCEB（S.A.S.）.AE+EF=CF+EF，即 AF=CE.(已知），），(已证），），(已证），），两边及其夹角分别相等的两个三角形三角形全等的“S.A.S.”判定：两边及其夹角分别相等的两个三角形全等“S.S.A.”不能判定两个三角形全等注意：1.已知两边，必须找“夹角”；2.已
26、知一角和这角的一夹边，必 须找这角的另一夹边HS八(上)教学课件第第1313章章 全等三角形全等三角形13.2 三角形全等的判定三角形全等的判定3 边角边情境引入学习目标1.通过画图、操作、实验等教学活动，探索三角形全等的判定方法（A.S.A.，A.A.S.）.（重点）2.会用A.S.A.，A.A.S.判定两个三角形全等.（难点）3.灵活地运用所学的判定方法判定两个三角形全等，从而解决线段或角相等的问题.上节课，我们得到了全等三角形的一种判定方法，还记得吗？S.A.S.现在我们讨论两角一边的情况：如果两个三角形有两个角、一条边分别对应相等，那么这两个三角形全等吗？(角边角)(角角边)可以分成两
27、种情况：（1）两个角及这两角的夹边；（2）两个角及其中一角的对边.如图，已知两个角和一条线段，以这两个角为内角，以这条线段为这两个角的夹边，画一个三角形 把你画的三角形与其他同学画的三角形进行比较，所有的三角形都全等吗？换两个角和一条线段,试试看，是否有同样的结论都全等60404cmABC步骤：1.画一条线段AB，使它等于4cm；2.画MAB=60，NBA=40，MA与NB交于点C.3.ABC即为所求.MN“角边角”判定三角形全等1 下面用叠合的方法，看看你和你同伴所画的两个三角形是否可以完全重合.全等“角边角”判定方法文字语言：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等(简写 成“角边角”或“A.
28、S.A.”）.几何语言：A=A（已知），），AB=A B（已知），），B=B（已知），），在ABC和和A B C中，ABC A B C（ASA）.AB CA B C【例1】已知：ABCDCB，ACB DBC，求证：ABCDCB,AB=DCABCDCB(已知），BCCB（公共边），ACBDBC（已知），证明：在ABC和DCB中，ABCDCB（A.S.A.）.AB=DC(全等三角形的对应边相等)BCAD(角角边)如图，如果两个三角形有两个角分别对应相等，且其中一组相等的角的对边相等，那么这两个三角形是否一定全等？【思考】【思考】分析：因为三角形的内角和等于180，因此有两个角对应相等，那么第三个角
29、必定对应相等，于是有“角边角”，可证得这两个三角形全等.“角角边”判定三角形全等2 已知：如图，AA,BB,ACAC.求证：ABCABC.证明：证明：AA，BB，ABC180，ABC180(三角形内角和等于180)，CC（等量代换）在ABC和ABC中，AA，ACAC，CC，ABCABC（A.S.A.）“角角边”判定方法文字语言：有两角分别相等且其中一组等角的对边相等的 两个三角形全等(简写成“角角边”或“A.A.S.”）.几何语言：A=A（已知），），B=B（已知），），AC=A C（已知），），在ABC和和A B C中，ABC A B C（A.A.S.）.AB CA B C【例2】如图，点D
30、在AB上，点E在AC上，AD=AE,B=C,求证：AB=AC.ABCDE分析：证明ACDABE,就可以得出AB=AC.证明：在ACD和ABE中，A=A（公共角），），C=B（已知），），AD=AE（已知），），ACDABE（A.A.S.），），AB=AC.已知：如图，ABC ABC，AD、A D 分别是ABC 和ABC的高.求证：AD AD.ABCDA B C D【例3】求证：全等三角形对应边的高相等.分析：从图中看出，AD、A D 分别属于ABD 和ABD，要证AD AD，只需证明这两个三角形全等即可.证明：ABC ABC(已知)，AB=AB（全等三角形的对应边相等），B=B（全等三角形的对
31、应角相等）.ADBC，ADBC，ADB=ADB=90（已知）.在ABD和ABD中，ADB=ADB=90（已知），B=B（已证），AB=AB（已证），ABDABD.AD=AD.归纳：全等三角形对应边上的高也相等.思考：全等三角形对应边上的中线、对应角的平分线又有什么关系呢？你能说明其中的道理吗？ABCDA B C D 1.如图，已知ACB=DBC，ABC=CDB，判别下面的两个三角形是否全等，并说明理由.解：不全等，因为BC虽然是公共边，但不是对应边.ABCD2.如图所示，OD=OB，ADBC，则全等三角形有()(A)2对 (B)3对(C)4对 (D)5对解析：根据题意得根据题意得ADO=CBO
32、，DOA=BOC，又又OD=OB，所以DOABOC.同理可同理可证DOCBOA，DABBCD，ACDCAB，所以有4对.C3.如图，某同学将一块三角形玻璃打碎成了三块，现要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是()(A)带(1)去 (B)带(2)去(C)带(3)去 (D)带(1)(2)去解析：题干中图(3)包含原三角形的两角一边，根据“A.S.A.”可配一块与原三角形玻璃完全一样的玻璃.CABCDEF4.如图，ACB=DFE，BC=EF，那么应补充一个条件 ，才能使ABCDEF（写出一个即可）.B=E或A=D或 AC=DF（A.S.A.）（A.A.S.）（S.A.S.）AB=DE可
33、以吗？可以吗？ABDE5.已知：如图，ABBC，ADDC，1=2,求证：AB=AD.ACDB1 2证明：ABBC，ADDC，B=D=90.在ABC和ADC中，1=2 （已知），），B=D（已证），），AC=AC（公共边），），ABCADC（A.A.S.).AB=AD.角 边角内容两角及其夹边分别相等的两个三角形全等（简写成“A.S.A.”)应 用为证明线段和角相等提供了新的证法注 意注意“角角边”“角边角”中两角与边的区别HS八(上)教学课件第第1313章章 全等三角形全等三角形13.2 三角形全等的判定三角形全等的判定5 边边边1.掌握三角形全等的“S.S.S.”判定，并能应用它判别两个 三
34、角形是否全等，以及运用该条件解决一些简单的实 际问题.（重点）2.由探索三角形全等条件的过程，体会由操作、归纳获 得数学结论的过程（难点）学习目标到目前为止，我们学习了哪几种判定三角形全等的方法？1.根据定义；2.公理:S.A.S.，A.S.A.；定理:A.A.S.【试一试】【试一试】1.如右图，已知AC=DB，ACB=DBC，则ABC ，理由是 ，且有ABC=，AB=.ABCDDCBS.A.S.DCBDC2.如图，已知AD平分BAC，要使ABDACD.(1)根据“S.A.S.”需添加条件 ；(2)根据“A.S.A.”需添加条件 ；(3)根据“A.A.S.”需添加条件 .ABCDAB=ACBD
35、A=CDAB=C【试一试】【试一试】若两个三角形有三个角对应相等，那么这两个三角形是否全等？画ABC,其中A=50,B=60,C=70.50506060ABCABCA B C 7070三个角对应相等的两个三角形不一定全等.“S.S.S.”判定三角形全等4 cma3 cmb4.5 cmc 如果两个三角形有三条边分别对应相等，那么这两个三角形是否一定全等呢？如图，已知三条线段a，b，c，试画一个三角形，使这三条线段分别为其三边.【做一做】步骤：1.画一线段AB使它的长度等于c(4.5 cm).2.以点A为圆心,以线段b(3cm)的长为半径画圆弧;以点B为圆心,以线段a(4cm)的长为半径画圆弧;两
36、弧交于点C.3.连结AC、BC.ABC即为所求.把你画的三角形与其他同学画的三角形相比较，它们全等吗？abcABC文字语言：三边分别相等的两个三角形全等.（简写为“边边边”或“S.S.S.”）“边边边”判定方法ABCDEF在在ABC和和 DEF中，中，ABC DEF（S.S.S.）.AB=DE，BC=EF，CA=FD，几何语言：【例1】如图，有一个三角形钢架，AB=AC，AD 是连结点A 与BC 中点D 的支架求证：ABD ACD CBDA解题思路：先找隐含条件公共边AD再找现有条件AB=AC最后找准备条件BD=CDD是BC的中点证明：D 是BC中点，BD=DC 在ABD 与ACD 中，ABD
37、 ACD（S.S.S.）CBDAAB=AC(已知）BD=CD（已证）AD=AD（公共边）（公共边）准备条件指明范围摆齐根据写出结论准备条件：证全等时要用的条件要先证好；指明范围：写出在哪两个三角形中；摆齐根据：摆出三个条件用大括号括起来；写出结论：写出全等结论.证明的书写步骤：【例2】如图,四边形ABCD中,AB=CD,AD=CB,求证：B=D证明:在ABC 和CDA中,AB=CD(已知),BC=DA(已知),AC=CA(公共边),ABC CDA(S.S.S.).B=D.ABCD【例3】已知:如图，AC=AD,BC=BD.求证:CD.ABCD证明：在在ACB 和和 ADB中中 AC =A D，
38、BC =BD，A B =A B (公共边），ACBADB（S.S.S.）.CD 对应相等的元素 两边一角两角一边三角三边两边及其夹角两边及其中一边的对角两角及其夹边两角及其中一角的对边三角形是否全等 一定(S.A.S.)不一定 一定(A.S.A.)一定(A.A.S.)一 定(S.S.S.)不一定判定三角形全等时最少有几组边对应相等?最多有几组边?判定三角形全等时最少有几组角对应相等?最多有几组角?解：ABCDCB.理由如下：在ABC和DCB，AB=DC，AC=DB，=，BC CBDCBABCDABC （）.S.S.S.1.如图，AB=CD，AC=BD，ABC和DCB是否全等？请完成下列解题步骤
39、.=2.如图，D、F是线段BC上的两点，AB=CE，AF=DE，要使 ABFECD，还需要条件 .BF=CD 或 BD=FCAE=BDFC3.已知：如图，AC=FE，AD=FB,BC=DE.求证：(1)ABCFDE;(2)C=E.证明：(1)AD=FB，AB=FD（等式的性质）.在ABC和FDE 中，AC=FE（已知），BC=DE（已知），AB=FD（已证），ABCFDE（SSS）.ACEDBF=?。（2）ABCFDE（已证），），C=E（全等三角形的对应角相等）.边边边内容有三边对应相等的两个三角形全等（简写成“SSS”)应 用思路分析书写步骤结合图形找隐含条件和现有条件，证准备条件注 意四
40、步骤1.说明两三角形全等所需的条件应按对应边的顺序书写.2.结论中所出现的边必须在所证明的两个三角形中.HS八(上)教学课件第第1313章章 全等三角形全等三角形13.2 三角形全等的判定三角形全等的判定6 斜边直角边1.已知斜边、直角边会画直角三角形，经历画直角三角形探究 得到“H.L.”定理，体会“H.L.”的合理性.（重点）2.掌握“H.L.”定理，能正确应用“H.L.”定理证明两个三角形全 等.（难点）3.能正确应用所学的全等三角形的判定定理解决问题（难点）学习目标1.全等三角形的对应边 ，对应角 相等相等2.判定三角形全等的方法有：S.A.S.，A.S.A.，A.A.S.，S.S.S
41、.再忆直角三角形RtABC直角边斜边ABC直角边利用“H.L.”判定直角三角形全等 舞台背景的形状是两个直角三角形，工作人员想知道两个直角三角形是否全等，但每个三角形都有一条直角边被花盆遮住,无法测量(1)你能帮他想个办法吗？根据“S.A.S.”可测量其余两边与这两边的夹角.根据“A.S.A.”，“A.A.S.”可测量对应一边和一锐角.工作人员测量了每个三角形没有被遮住的直角边和斜边，发现它们分别对应相等.于是，他就肯定“两个直角三角形是全等的”.你相信这个结论吗？（2）如果他只带一个卷尺，能完成这个任务吗?下面，让我们来验证这个结论.斜边和一条直角边对应相等两个直角三角形全等?2 cm3 c
42、m步骤：1.画一条线段AB，使它等于2 cm；2.画MAB=90（用量角器或三角尺）；3.以点B为圆心、3cm长为半径画圆弧，交射线AM于C；ABC即为所求.MABC把你画的直角三角形与其他同学画的直角三角形相比较，它们全等吗？【做一做】【做一做】如图，已知两条线段，试画一个直角三角形，使长的线段为其斜边、短的线段为其一条直角边.4.连结BC.“斜边直角边”判定方法文字语言：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（简写成“斜边直角边”或“H.L.”）.几何语言：ABCA BC 在RtABC和Rt ABC 中，RtABC Rt ABC(H.L.).C=C=90,“S.S.A.”可以判定两个
43、直角三角形全等，但是“边边”指的是斜边和一直角边，而“角”指的是直角.AB=AB,BC=BC,【例】如图，ACBC，BDAD，ACBD，求证：BCAD.证明：ACBC，BDAD，C与与D都是直角.AB=BA,AC=BD，在 RtABC 和RtBAD 中，RtABCRtBAD(H.L.).BCAD(全等三角形的对应边相等).).ABDC应用“H.L.”的前提条件是在直角三角形中.这是应用“H.L.”判定方法的书写格式.利用全等证明两条线段相等，这是常见的思路.1.如图，B=D=90，要证明ABC 与ADC全等，还需要补充的条件是 （写出一个即可）.答案：AB=AD 或 BC=DC 或 BAC=D
44、AC 或或 ACB=ACD 注意：一定要注意直角三角形不是只能用H.L.证明全等，但H.L.只能用于证明直角三角形的全等.CABD2.如图，在ABC中，已知BDAC，CE AB，BD=CE.求证：EBCDCB.ABCED证明：BDAC，CEAB，BEC=BDC=90.在 RtEBC 和RtDCB 中，CE=BD,BC=CB.RtEBCRtDCB(H.L.).AFCEDB3.如图，AB=CD,BFAC,DEAC,AE=CF.求证：BF=DE.证明:BFAC,DEAC,BFA=DEC=90.AE=CF，AE+EF=CF+EF，即AF=CE.在RtABF和RtCDE中，AB=CD,AF=CE.RtA
45、BFRtCDE(H.L.).BF=DE.“斜边直角边”内 容斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等前 提条 件在直角三角形中使 用方 法 只须找除直角外的两个条件即可（两个条件中至少有一个条件是一组对应边相等）HS八(上)教学课件第第1313章章 全等三角形全等三角形13.3 等腰三角形等腰三角形1 等腰三角形的性质学习目标有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.等腰三角形中，相等的两边叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角.ACB腰腰腰腰底边底边顶角顶角底角底角底角底角 剪一张等腰三角形的半透明纸片，每人所剪的等腰三角形的大小和形状可以不一样，如图，把纸片对折，
46、让两腰AB、AC重叠在一起，折痕为AD.你能发现什么现象吗？DABCABCD等腰三角形的性质11.等腰三角形是轴对称图形.我们可以得出结论：ACBD折痕AD所在直线是等腰三角形的对称轴.你还有新的发现吗？B、C 是等腰三角形的 .底角B C所以我们可以描述为:等腰三角形的两个底角相等.2.等腰三角形的性质：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角等边对等角”）.【证明】【证明】已知：如图，ABC 中，AB=AC,求证：B=C .ABC分析：由上述操作可以得到启发，即添加等腰三角形的顶角平 分线AD，然后证明ABD ACD.证明：作顶角BAC的平分线AD.在ABD与ACD中，ABAC（已知）
47、，），12（已证），ADAD（公共边），），ABD ACD（S.A.S.），），BC.从这里你还可以得到什么结论?ABCD(12【想一想 刚才的证明除了能得到BC，你还能发现什么?重合的线段重合的角 A B D C ABAC BDCD ADAD B CBAD CAD ADB ADC=90 【性质】【性质】等腰三角形底边上的高、中线及顶角的平分线，互相重合（简称“三线合一”）.ABCD(1 2 【填一填】根据等腰三角形性质完成下列填空.在ABC中，AB=AC时，（1）AD是底边上的高，_=_，_=_.(2)AD是中线，_，_=_.(3)AD是角平分线，_ _，_=_.122BDCDADBCBD1
48、BCADCD 【例1】已知：在ABC中，AB=AC，B=80，求 C和 A的大小.ABC(=80(ABACCB已知）,等边对等角）.=180(180=180(=1808080=20.ABCABC 又三角形的内角和等于）,等式的性质）解：【例2】在ABC中，AB=AC，D是BC边上的中点，B=30.求：（1）ADC的大小；（2）1的大小.ADC12(2)1+B+ADB=180（三角形内角和等于180），B=30（已知），1=180-B-ADB =180-30-90=60.ADBC(等腰三角形“三线合一”).ADC=ADB=90(垂直的定义).解：(1)AB=AC，BD=DC（已知），B 三条边都
49、相等的三角形是等边三角形，它也是轴对称图形，那么等边三角形的每个角的度数是多少呢？它有几条对称轴？等边三角形的性质2 因为等边三角形是特殊的等腰三角形，由等腰三角形等边对等角的性质得到，B C，同理可得 AB,所以 ABC，又由 ABC180，从而推出 ABC60.也就是说：等边三角形的各个角都相等，并且每一个角都等于60.等边三角形的三条边都相等，三个角都相等，也称为正三角形.A C B三条对称轴ABCD【例3】如图，在ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，求ABC各角的度数.（1）找出图中所有相等的角；（2）指出图中有几个等腰三角形？A=ABD,C=BDC=ABC.ABC
50、,ABD,BCD.ABCDx2x2x2x（3）观察BDC与A、ABD的关系，ABC、C呢？BDC=A+ABD=2 A=2 ABD,ABC=BDC=2 A,C=BDC=2 A.（4）设A=x,请把 ABC的内角和用含x的式子表示出来.A+ABC+C=180，x+2x+2x=180.ABCD解：AB=AC，BD=BC=AD，ABC=C=BDC，A=ABD.设A=x,则BDC=A+ABD=2x,从而ABC=C=BDC=2x,于是在ABC中，有A+ABC+C=x+2x+2x=180 ，解得x=36 .在ABC中，A=36，ABC=C=72.x2x2x2x 1.如图，在下列等腰三角形中，分别求出它们的底
