1、2abab(0,b0)【学习目标】1.探究并了解基本不等式的证明过程，会用各种方法证明基本不等式2.掌握基本不等式,能借助几何图形说明基本不等式的意义,并掌握基本不等式中取等号的条件3.能够利用基本不等式求最大(小)值.【重点】：用基本不等式求函数的最大(小)值及解决一些简单的实际问题【难点】：基本不等式等号成立条件的运用，及应用基本不等式解决实际问题第24届国际数学家大会会标思考：这会标中含有哪些几何图形？思考：你能否在这个图案中找出一些相等关系或不等关系？探究1：ADBCEFGHba22ab1、正方形ABCD的面积S=2、四个直角三角形的面积和S、=3、S与S、之间有什么样的大小关系？4、
2、S与S、能否有相等的情况？说明理由。22ab2 a bADBCEFGHba22ab结论：结论：一般地，对于任意实数一般地，对于任意实数a、b，我们有，我们有当且仅当当且仅当a=b时，等号成立。时，等号成立。ABCDab222ababSS、提问：你能给出其它的证明吗？22222222()()0()=02ababa ba ba ba ba bababa b证明：因为当时，当时，所以，当且仅当时，等号成立.ACBDO探究2：如图，AB是圆的直径，O为圆心，点C是AB上一点，AC=,BC=b,过点C作DC垂直于AB交圆O于点D.连接AD、BD、OD.如何用、b表示OD?OD=_如何用、b表示CD?CD
3、=_2abab因为ODCD,所以 ，当且仅当C与O重合，即=b时，等号成立.2abab、2220,0,2xyxyabababababab因为，如果可用和分别代替上式中的x和y，有a+b2也可写成当且仅当时，等号成立。其它证明：基本不等式：基本不等式：(0,0)2ababab当且仅当当且仅当a=b时，等号成立。时，等号成立。（2）称为正数称为正数a、b的几何平均数的几何平均数 称为它们的算术平均数。称为它们的算术平均数。ab2ab（1）与）与两个不等式的两个不等式的适用范围适用范围不同不同,而等号成立的条件相同而等号成立的条件相同注意注意:222,(,)ababaR bR的区别，在数学中，我们称
4、 为a、b的算术平均数，称 为a、b的几何平均数.对基本不等式，用语言文字可叙述为：两个两个正数的算术平均数不小于它们的几何平正数的算术平均数不小于它们的几何平均数均数。从几何的角度可叙述为：圆的半径不小圆的半径不小于弦长的一半。于弦长的一半。是正数a、b的等差中项，看作是正数a、b的等比中项，那么该不等式可以从数列的角度叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中两个正数的等差中项不小于它们的等比中项。项。2ba ab2ba ab例1、设、b均为正数，证明不等式211a bab证：因为、b均为正数，由基本不等式，可知1112aba b211abab也即当且仅当=b时，等号成立ABOC2222
5、22=,222()(),22222a ba bOCba bOFa ba babFCFCOFaba b 证明：由可得F例2、如图，在圆O上半圆中，设AC=，CB=b，OF垂直于AB交上半圆于F,请你利用FCOF的性质求证：2222ababCOab当且仅当点与点重合，即时取等号ab有例1和例2可得出一个不等式链:2221122ababa bab当且仅当=b时，等号成立应用一：证明不等式应用一：证明不等式,b,cbbcc8 bcaaaa已知都是正数，求证：0,0,02,2,2)()()2228abcabab bcbc caacab bc caabbcacabcabc 证：则（当且仅当时，等号成立即证
6、例例2、（1）用篱笆围一个）用篱笆围一个面积面积为为100m2的矩形菜园，的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短篱笆最短。最。最短篱笆是多少？短篱笆是多少？（2）一段）一段长为长为36m的篱笆围成一矩形菜园，问的篱笆围成一矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大面积最大。最。最大面积是多少？大面积是多少？应用二、利用基本不等式解决应用二、利用基本不等式解决实际问题1 0 01 0 02 0 022224 01 0 022,=1 0 xxxxxxxxx(1)解：设 长 为米，则 宽 为米，米，当 且
7、 仅 当即时，有 最 小 值答：最 短 的 篱 笆 是 4 0 米2222)3 61 80,0=()98 12998 1xyxyxyxySx yxymm(2)解：设 矩 形 的 长 和 宽 分 别 为 x,y（又所 以 矩 形 的 面 积当 且 仅 当时，等 号 成 立故 当 长 和 宽 都 为时，面 积 最 大 为(2).已知已知10,xxx求的 最 大 值110,0,()()2(-)()2,111=()()212xxxxxxxxxxxxx 解：则当且仅当-即x=-1时,等号成立.所以【】，当且仅当时，原式有最大值 例例3.(1)已知已知 10,xxx求的 最 小 值11122,xxxxxx
8、解：由题，当且仅当即x=1时，原式有最小值2小结：小结：1.基本不等式的变形基本不等式的变形（1）一正：各项均为正数）一正：各项均为正数（2）二定：两个正数积为定值，和有最小值。）二定：两个正数积为定值，和有最小值。两个正数和为定值，积有最大值。两个正数和为定值，积有最大值。（3）三相等：求最值时一定要考虑不等式是否能取）三相等：求最值时一定要考虑不等式是否能取“”，否则会出现错误否则会出现错误2.利用利用 求最值时要注意下面三条：求最值时要注意下面三条：)0,0(2baabba2,(0,0)ababab2(),(0,0)4ababab其中恒成立的其中恒成立的 。（1）（）（2）（）（3）(4
9、)练习练习1：设：设a0，b0，给出下列不等式，给出下列不等式21)1(aa4)1)(1)(2(bbaa4)11)()(3(baba2111)4(22aa2、已知、已知则则x y 的最大值是的最大值是 。练习练习2：1、当、当x0时，时，的最小值为的最小值为 ，此时，此时x=。21xx1)0,0(232yxyx61 3、若实数、若实数 ，且，且 ，则，则 的最小值是（的最小值是（）A、10 B、C、D、4、在下列函数中，最小值为、在下列函数中，最小值为2的是（的是（）A、B、C、D、)0,(55xRxxxy)101(lg1lgxxxy)(33Rxyxx)20(sin1sinxxxyyx,5 yxyx333664318DC谢谢!
