1、 【冲刺十套】【冲刺十套】 2020 年高考名校考前仿真模拟年高考名校考前仿真模拟 卷文卷文 科科 数数 学（四）学（四） 注意事项：注意事项： 1、本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分。答题前，考生务 必将自己的姓名、考生号填写在答题卡上。 2、回答第卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标 号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在试卷上无效。 3、回答第卷时，将答案填写在答题卡上，写在试卷上无效。 4、考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。 第第卷卷 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，在每小题给出的
2、四个选项中，只有分，在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的 1设集合1,2,3A， 2 20Bx xxm ，若3AB ，则B （ ） A1,3 B2,3 C1, 2,3 D 3 2若复数 2 1i z ，其中i为虚数单位，则下列结论正确的是（ ） Az的虚部为i B2z Cz的共轭复数为1 i D 2 z 为纯虚数 3设 0.2 1 2 a ， 2 log 3b ， 0.3 2c ，则（ ） Abca Babc Cbac Dacb 4 九章算术卷第六均输中，有问题“今有竹九节，下三节容量四升，上四节容量三 升 问中间二节欲均容，各多少？”其中“欲均容”的意思是
3、：使容量变化均匀，即由下往上均 匀变小在这个问题中的中间两节容量和是（ ） A 61 1 66 升 B2 升 C 3 2 22 升 D3 升 5函数 2 29 ( ) xx xx f x ee 的图像大致为（ ） A B C D 6 某年级有学生 560 人， 现用系统抽样的方法抽取一个容量为 80 的样本， 把学生编号为 1 560 号，已知编号为 20 的学生被抽中，则样本中编号最小的是（ ） A004 B005 C006 D007 7在数学解题中，常会碰到形如“ 1 xy xy ”的结构，这时可类比正切的和角公式如：设 , a b 是非零实数，且满足 sincos 8 55 tan 15
4、 cossin 55 ab ab ，则 b a （ ） A4 B 15 C2 D 3 8 若向量a，b的夹角为 3 ， 且| | 2a，| 1b， 则向量2ab与向量a的夹角为 （ ） A 3 B 6 C 2 3 D 5 6 9我国古代名著庄子天下篇中有一句名言“一尺之棰，日取其半，万世不竭” ，其意 思为：一尺的木棍，每天截取一半，永远都截不完现将该木棍依此规律截取，如图所示的 程序框图的功能就是计算截取 20 天后所剩木棍的长度（单位：尺） ，则处可分别填入 的是（ ） A20i ， 1 SS i ，2ii B20i ， 1 SS i ，2ii C20i ， 2 S S ，1ii D20i
5、 ， 2 S S ，1ii 10如图，过双曲线 22 22 :10,0 xy Cab ab 的右焦点F作x轴的垂线交C于A，B 两点（A在B的上方） ，若A，B到C的一条渐近线的距离分别为 1 d， 2 d，且 21 4dd， 则C的离心率为（ ） A 2 B 5 4 C 3 D 4 3 11 在ABC中， 角A，B，C所对应的边分别为 , ,a b c， 若 4ac ，sin2sincosBCA 0，则ABC面积的最大值为（ ） A1 B3 C2 D4 12过椭圆 22 1 2516 xy 的中心任作一直线交椭圆于P，Q两点，F是椭圆的一个焦点， 则PFQ的周长的最小值为（ ） A12 B1
6、4 C16 D18 第第卷卷 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分分 13记 Sn为等比数列an的前 n 项和若 1 1 3 a ， 2 46 aa，则 5 S _ 14已知sincos0，则 cos(2) 2 _ 15 已知函数 2 32 22,0 33,0 xaxx f x xaxaxx ， 若曲线 yf x在点 , iii P x f x， （1,2,3i ，其中 123 ,x x x互不相等）处的切线互相平行，则a的取值范围是_ 16 已知球的半径为4， 球面被互相垂直的两个平面所截， 得到的两个圆的公共弦长为2 2， 若球心到这两个平面的距离
7、相等，则这两个圆的半径之和为_ 三、解答题：本三、解答题：本大题共大题共 6 个个大题，共大题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演分解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤算步骤 17 （12 分）已知某学校的特长班有50名学生，其中有体育生20名，艺术生30名，在学 校组织的一次体检中，该班所有学生进行了心率测试，心率全部介于50次/分到75次/分之 间，现将数据分成五组，第一组50,55，第二组55,60，第五组70,75，按上述 分组方法得到的频率分布直方图如图所示 因为学习专业的原因， 体育生常年进行系统的身 体锻炼，艺术生则很少进行系统的身体锻炼，若前两组的学生中体育生有
8、8 名 （1）根据频率分布直方图及题设数据完成下列 22 列联表 心率小于 60 次/分 心率不小于 60 次/分 合计 体育生 20 艺术生 30 合计 50 （2）根据（1）中表格数据计算可知，_(填“有”或“没有”)995%的把握认为“心 率小于 60 次/分与常年进行系统的身体锻炼有关” 2 0 P Kk 015 010 005 0025 0010 0005 0001 k0 2072 2706 3841 5024 6635 7879 10828 18 （12 分）等差数列 n a的前n项和为 n S， 215 17aa， 10 55S数列 n b满足 2 log nn ab （1）求数
9、列 n b的通项公式； （2）若数列 nn ab的前n项和 n T满足 32 18 n TS，求n的值 19 （12 分）如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，PA 面ABCD，E为PD 的中点 （1）证明：PB平面AEC； （2）设1AP ，3AD ，三棱锥PABD的体积 3 4 V ，求 A 到平面 PBC 的距离 20 （12 分）已知函数 2 1 ( )ln () 2 f xaxx aR （1）证明：lnxx； （2）若函数( )f x有两个零点，求实数a的取值范围 21 （12 分）已知动圆M与直线 1y 相切，且与圆 2 2 2:1xyN外切 （1）求动圆圆心M的轨迹C的方
10、程； （2）点 O 为坐标原点，过曲线C外且不在 y 轴上的点P作曲线C的两条切线，切点分别 记为A，B，当直线OP与AB的斜率之积为1时，求证：直线AB过定点 请考生在请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分 22 （10 分） 【选修 4-4：坐标系与参数方程】 在极坐标系中，曲线 1 C方程为8cos0，以极点为坐标原点，极轴为x轴正半轴的 平面直角坐标系中，曲线 2 3cos : sin x C y （为参数） （1）将 12 ,C C化为直角坐标系中普通方程，并说明它们分别表示什么曲线； （2）若极坐标
11、系中 1 C上的点P对应的极角为 3 4 ，Q为 2 C上的动点，求PQ中点M 到直线 3 3 : 2 xt C yt （t为参数）距离的最小值 23 （10 分） 【选修 4-5：不等式选讲】 设函数 214f xxx （1）解不等式： 0f x ； （2）若 341f xxa 对一切实数x均成立，求a的取值范围 【冲刺十套】【冲刺十套】 2020 年高考名校考前仿真模拟年高考名校考前仿真模拟 卷卷文科数学答案（四）文科数学答案（四） 第第卷卷 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有分，在每小题给出的四个选项中，只有
12、一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的 1 【答案】A 【解析】依题意可知3是集合B的元素，即 2 32 30m ，解得3m， 由 2 230xx，解得1x，3 2 【答案】D 【解析】 2 1 i2 1 i 1 i1 i1 i z ，z的虚部为1，A 错误； 1 12z ，B 错误； 1 iz ，C 错误； 2 2 1 i2iz ，为纯虚数，D 正确，本题正确选项 D 3 【答案】C 【解析】由题意可得 0.2 1 0,1 2 a ， 2 log 31b ， 0.3 0.3 1 20,1 2 c ， 指数函数 1 2 x y 单调递减，故 0.20.3 11 22 ， 综上可得bac，故选
13、 C 4 【答案】C 【解析】设竹九节由上往下的容量分别为 1 a， 2 a， 3 a， 4 a， 5 a， 6 a， 7 a， 8 a， 9 a， 由题意可知 1234 789 3 4 aaaa aaa ，解得 1 13 22 7 66 a d ， 所以问题中的中间两节容量和为 561 473 292 2222 aaad，故选 C 5 【答案】C 【解析】 2 21 ()( ) xx xx fxf x ee ，即( )f x是奇函数，图象关于原点对称， 排除 B； 当0x 时，( )0f x 恒成立，排除 A，D， 故选 C 6 【答案】C 【解析】样本间隔为560 807，则207 26
14、，则样本中编号最小的是 006， 故选 C 7 【答案】D 【解析】a不等于零 sincos 55 coscos 8 55 tan 15 cossin 55 coscos 55 sincos 8 55 tan 15 cossin 55 ab aaa ab aa b ab ， 令tan b a ， tantan 888 5 tantan()tan() 15515515 1tantan 5 kk Z ()tantan( )tan3() 333 kkkkZZ， 所以3 b a ，故本题选 D 8 【答案】B 【解析】设向量2ab与a的夹角为， 因为a，b的夹角为 3 ，且2a，1b， 所以 2 2
15、1 (2 )( )22cos42 2 16 32 aabaa baab， 222 1 2(2 )( )4(2 )44 2 142 3 2 ababaa bb， 所以 (2 )63 cos 222 2 3 aab a ab ， 又因为0,，所以 6 ，故选 B 9 【答案】D 【解析】根据题意可知，第一天 1 2 S ，所以满足 2 S S ，不满足 1 SS i ， 故排除 A、B； 由框图可知，计算第二十天的剩余时，有 2 S S ，且21i ，所以循环条件应该是20i 故选 D 10 【答案】B 【解析】易知,A B的坐标分别为 2 , b c a ， 2 , b c a ， 图中对应的渐
16、近线为0bxay，则 2 1 bcb d c ， 2 2 bcb d c ， 21 4dd，35cb， 222 925cca ， 5 4 c e a ，故选 B 11 【答案】A 【解析】由正弦定理得2 cos0bcA， 由余弦定理得 222 20 2 bca bc bc ，即 222 2bac ， 22 22 22222 32 33 2 cos 22442 ac ac acbacac B acacacac ， 当且仅当 2 4 3 3 c ， 2 4 3 3 b ， 2 4 3a 时取等号， 0, 6 B ， 1 sin 2 B，则 111 sin41 222 ABC SacB ， 所以AB
17、C面积的最大值 1故选 A 12 【答案】D 【解析】由椭圆的对称性可知，P，Q两点关于原点对称， 设 F 为椭圆另一焦点，则四边形PFQF为平行四边形， 由椭圆定义可知：420PFPFQFQFa ， 又PF QF ，QF PF ，10PFQF， 又PQ为椭圆内的弦， min 28PQb， PFQ周长的最小值为10 818 ，本题正确选项 D 第第卷卷 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分分 13 【答案】 121 3 【解析】设等比数列的公比为q，由已知 1 1 3 a ， 2 46 aa，所以 3 25 11 () 33 qq， 又0q ，所以3q
18、 ，所以 5 5 1 5 1 (1 3 ) (1)121 3 11 33 aq S q 14 【答案】1 【解析】因为sincos0，所以1 sin20，即sin21， 所以 cos(2)sin21 2 ， 故答案是1 15 【答案】1,2 【解析】函数 2 32 22,0 33,0 xaxx f x xaxaxx ， 2 222,0 361,0 xax fx xaxax ， 曲线 yf x在点 ,(1,2,3 iii P xfxi ， 其中 123 ,x x x互不相等） 处的切线互相平行， 即 yfx在点, iii P xfx处的值相等， 画出导函数 yfx的图象，如图， 当0x时， 22
19、222fxxaa， 当 0x 时， fx必须满足， 22 10 aa a ，12a ， 故答案为1,2 16 【答案】6 【解析】设两圆的圆心为 12 OO，球心为O，公共弦为AB，中点为E， 因为球心到这两个平面的距离相等，则 12 OOEO为正方形，两圆半径相等， 设两圆半径为r， 2 1 16OOr， 2 322OEr， 又 222 OEAEOA， 2 322216r， 2 9r ，3r ， 这两个圆的半径之和为 6 三、解答题：本三、解答题：本大题共大题共 6 个个大题，共大题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演分解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤算步骤 17 【答案】
20、 （1）列联表见解析； （2）有 【解析】 （1）根据频率分布直方图可知，前两组的学生总数为(00320008)550 10， 又前两组的学生中体育生有 8 名， 所以前两组的学生中艺术生有 2 名， 故 22 列联表如下： 心率小于 60 次/分 心率不小于 60 次/分 合计 体育生 8 12 20 艺术生 2 28 30 合计 10 40 50 （2）由（1）中数据知， 2 2 50 (8 282 12) 20 30 1 8.3337.879 040 K ， 故有99.5%的把握认为“心率小于60次/分与常年进行系统的身体锻炼有关” 18 【答案】 （1）2n n b ； （2）8n 【
21、解析】 （1）设等差数列 n a的公差为d，则有 1 1 21517 104555 ad ad ， 解得 1 1 1 a d ，则 n an， 又 2 log nn ab，即2 n a n b ，所以2n n b （2）依题意得： 1212 (.)(.) nnn Taaabbb 23 (1 23 .)(222.2 ) n n 1 2 1 2 (1)(1) 22 21 22 n n n nn n 又 32 32(1 32) 1818546 2 S ，则 1 (1) 2548 2 n n n ， 因为 1 (1) ( )2 2 n n n f n 在 * nN上为单调递增函数，所以8n 19 【答
22、案】 （1）证明见解析； （2） 3 13 13 【解析】 （1）设BD交AC于点O，连结EO， 因为ABCD为矩形，所以O为BD的中点， 又E为PD的中点，所以EOPB， 又EO平面 AEC，PB 平面AEC，所以PB平面 AEC （2）方法 1： 13 66 VPA AB ADAB， 由 3 4 V ，可得 3 2 AB ，作AHPB交PB于H， 由题设易知BC 平面PAB，所以BCAH，故AH 平面PBC， 又 3 13 13 PA AB AH PB ，所以A到平面PBC的距离为 3 13 13 方法 2：等体积法 13 66 VPA AB ADAB， 由 3 4 V ，可得 3 2 A
23、B ， 由题设易知BC 平面PAB，得BCPB， 假设A到平面PBC的距离为d， 又因为 22 13 2 PBPAAB， 所以 111339 3 32212 A PBC Vdd ， 又因为 1133 3 1 3224 P ABC V ， A PBCP ABC VV ， 所以 3 13 13 d 20 【答案】 （1）证明见解析； （2） 1 0, e 【解析】 （1）令( )lng xxx，有 11 ( )1 x g x xx ， 令( )0g x ，可得1x ， 故函数( )g x的增区间为(1,)，减区间为(0,1)， ( )(1)1g xg ，故有lnxx （2）由 2 11 ( ) a
24、x fxax xx ， 当0a时，( )0fx ，此时函数( )f x的减区间为(0,)，没有增区间； 当0a时，令( )0fx ，可得 1 x a ， 此时函数( )f x的增区间为 1 , a ，减区间为 1 0, a 若函数( )f x有两个零点，必须0a且 11 ln0 2 fa a ，可得 1 0a e ， 此时 11 ae ， 又由 2 1 10 2 a f ee ，当 2 x a 时，由（1）有 2 11 ( )(2)0 22 f xaxxx ax， 取 0 21 max,x aa 时，显然有，当 0 tx时，( )0f t ， 故函数( )f x有两个零点时，实数a的取值范围为
25、 1 0, e 21 【答案】 （1） 2 8 x y ； （2）证明见解析 【解析】 （1）设动圆圆心 ,M x y ， 由于圆 M 与直线1y 相切，且与圆 2 2 2:1xyN外切 利用圆心到直线的距离和圆的半径和圆心距之间的关系式， 可知C的轨迹方程为 2 8 x y （2）设直线:mB yAkx， 11 ,A x y， 22 ,B x y， 因为 2 8 x y ， 4 x y ，所以两条切线的斜率分别为 1 4 x ， 2 4 x ， 则直线AP的方程是 2 11 1 84 xx yxx；直线BP的方程是 2 22 2 84 xx yxx 两个方程联立得P点坐标为 1212 , 2
26、8 xxx x ， 1212 12 1 32 P ABOP P yyyx x kk xxx ， 12 32x x ， 由 2 8 ykxm x y ，联立得 2 0 8 x kxm， 12 832x xm ，4m， 故直线AB过定点0,4 22【答案】（1） 2 1 2 (4):16xyC， 1 C为圆心是( 4,0)， 半径是4的圆； 2 2 2: 1 3 x Cy， 2 C为中心是坐标原点，焦点在x轴上，长半轴长是3，短半轴长是 1 的椭圆； （2）4 2 【解析】 （1）由曲线 1 C方程为8cos0，则 2 8 cos0， 又 222 xy，cosx， 则 1 C的普通方程为 22 (
27、4)16xy， 由曲线 2 3cos : sin x C y （为参数） ，由 22 sincos1， 消参数可得 2 C的普通方程为 2 2 1 3 x y 则 1 C为圆心是( 4,0)，半径是 4 的圆； 2 C为中心是坐标原点，焦点在x轴上，长半轴长 是3，短半轴长是 1 的椭圆 （2）当 3 4 时，则( 4,4)P ，( 3cos ,sin )Q， 故 31 2cos ,2sin 22 M ， 曲线 3 C的普通方程为直线50xy， 则点M到直线 3 C的距离 31 cossin9 22 2 sin9 232 d ， 从而当 sin1 3 时，d取得最小值4 2 23 【答案】 （1） , 15, ； （2）8,10 【解析】 （1）因为 214f xxx ， 5,4 1 33,4 2 1 5, 2 xx f xxx xx ， 当4x时，50x ，解得5x，所以4x； 当 1 4 2 x 时，330x ，解得1x，所以41x ； 当 1 2 x 时，50x ，解得5x ，所以5x ； 综上所述， 0f x 的解为 , 15, （2）若 3421434f xxxxx 21241 228xxxx 1 2289xx ， 341f xxa对一切实数x均成立， 则19a ，解得810a ， 故所求a的取值范围为8,10
