1、4.2 一次函数 1.1.理解一次函数、正比例函数的概念理解一次函数、正比例函数的概念.(.(重点重点) ) 2.2.掌握一次函数、正比例函数之间的关系掌握一次函数、正比例函数之间的关系.(.(重点重点) ) 3.3.能根据所给条件写出简单的一次函数的表达式并求函数能根据所给条件写出简单的一次函数的表达式并求函数 值值.(.(重点、难点重点、难点) ) 1.1.汽车离开汽车离开A A站站4km,4km,再以再以40km/h40km/h的平均速度行驶了的平均速度行驶了xh,xh,那么汽车那么汽车 离开离开A A站的距离站的距离y(km)y(km)与时间与时间x(h)x(h)之间的关系是怎样的之间
2、的关系是怎样的? ? 【思考思考】 (1)(1)上面问题中的相等关系是什么上面问题中的相等关系是什么? ? 提示提示: :路程路程= =速度速度时间时间, ,离开离开A A站的距离站的距离=4+=4+又行驶的路程又行驶的路程. . (2)(2)如何用表达式表示如何用表达式表示y y与与x x的关系的关系? ?是正比例函数吗是正比例函数吗? ? 提示提示: :根据根据(1)(1)的相等关系可得的相等关系可得,y=40x+4(x0).,y=40x+4(x0).从关系式上来从关系式上来 看看, ,不是正比例函数不是正比例函数, ,比正比例函数多了一个常数项比正比例函数多了一个常数项. . (3)(3
3、)这种函数关系是什么函数这种函数关系是什么函数? ?怎样用表达式表示一般形式怎样用表达式表示一般形式? ? 提示提示: :这种函数是一次函数这种函数是一次函数, ,一般形式为一般形式为y=kx+b(k,by=kx+b(k,b是常是常 数数,k0).,k0). 2.2.某文具店销售某种型号的水笔某文具店销售某种型号的水笔, ,销售情况记录如下销售情况记录如下: : 售出水笔数售出水笔数 ( (支支) ) 2 2 3 3 4 4 5 5 1010 1515 营业额营业额( (元元) ) 5 5 7.57.5 1010 12.512.5 2525 37.537.5 【思考思考】 (1)(1)表中每对
4、数据有什么关系表中每对数据有什么关系? ? 提示提示: : =2.5, =2.5, =2.5,=2.5, =2.5, =2.5, (2)(2)若设售出水笔若设售出水笔x x支支, ,营业额为营业额为y y元元, ,如何表示如何表示y y与与x x的关系的关系? ? 提示提示: :y=2.5x(x0).y=2.5x(x0). (3)(3)这种函数关系是什么函数这种函数关系是什么函数? ?怎样用表达式表示一般形式怎样用表达式表示一般形式? ? 提示提示: :这种函数是正比例函数这种函数是正比例函数, ,一般形式为一般形式为y=kx(k0).y=kx(k0). 5 2 7.5 3 10 4 【总结总
5、结】 (1)(1)一次函数一次函数: :关于自变量的关于自变量的_式式, ,像这样的函数称为一次函像这样的函数称为一次函 数数, ,其一般形式是其一般形式是_(k,b(k,b为常数为常数, ,_).). (2)(2)正比例函数正比例函数: :特别地特别地, ,当当b=b=_时时, ,一次函数一次函数y=kx(ky=kx(k为常数为常数, , k0)k0)也叫作正比例函数也叫作正比例函数, ,其中其中k k叫作叫作_. . 一次一次 y=kx+by=kx+b k0k0 0 0 比例系数比例系数 ( (打“打“”或“”或“”)”) (1)y=kx(1)y=kx是正比例函数是正比例函数. . ( )
6、( ) (2)(2)正比例函数一定是一次函数正比例函数一定是一次函数. . ( )( ) (3)(3)一次函数一定是正比例函数一次函数一定是正比例函数. . ( )( ) (4)y= +3(4)y= +3是一次函数是一次函数. . ( )( ) (5)(5)一次函数一次函数y= y= - -3,3,其中其中k=5,b=k=5,b=- -3.3. ( )( ) x 2 x 5 知识点知识点 1 1 一次函数、正比例函数的概念一次函数、正比例函数的概念 【例例1 1】下列函数中，哪些是一次函数？哪些是正比例函数？下列函数中，哪些是一次函数？哪些是正比例函数？ (1) (2)y=1(1) (2)y=
7、1- -x.x. (3)y=x(3)y=x2 2.(4)y=2+2(x.(4)y=2+2(x- -1).1). 【思路点拨思路点拨】根据一次函数与正比例函数的定义进行判断根据一次函数与正比例函数的定义进行判断. . 2 y. 3x 【自主解答自主解答】(1) (1) 不能化为不能化为y=kx+b(k,by=kx+b(k,b是常数，是常数，k0)k0) 的形式，所以的形式，所以y y不是不是x x的一次函数，也不是的一次函数，也不是x x的正比例函数的正比例函数. . (2)y=1(2)y=1- -x=x=- -x+1x+1，其中，其中k=k=- -1 1，b=1b=1，所以，所以y y是是x
8、x的一次函数，但不的一次函数，但不 是是x x的正比例函数的正比例函数. . (3)y=x(3)y=x2 2的自变量次数不是的自变量次数不是1 1，所以，所以y y不是不是x x的一次函数，也不是的一次函数，也不是 x x的正比例函数的正比例函数. . (4)y=2+2(x(4)y=2+2(x- -1)=2+2x1)=2+2x- -2=2x2=2x，所以，所以y y是是x x的一次函数，也是的一次函数，也是x x的正的正 比例函数比例函数. . 2 y 3x 【总结提升总结提升】判断两个变量是否为一次函数关系的判断两个变量是否为一次函数关系的“三步法三步法” 知识点知识点 2 2 一次函数的简
9、单应用一次函数的简单应用 【例例2 2】为了增强居民的节约用水意识为了增强居民的节约用水意识, ,某市制定了新的水费收某市制定了新的水费收 费标准费标准: :每户每月用水量不超过每户每月用水量不超过5t5t的部分的部分, ,自来水公司按每吨自来水公司按每吨2 2 元收费元收费; ;超过超过5t5t的部分的部分, ,按每吨按每吨2.62.6元收费元收费. .设某户月用水量为设某户月用水量为xt,xt, 自来水公司应收水费为自来水公司应收水费为y y元元. . (1)(1)试写出试写出y(y(元元) )与与x(t)x(t)之间的函数表达式之间的函数表达式. . (2)(2)该户今年该户今年5 5月
10、份的用水量为月份的用水量为8t,8t,自来水公司应收水费多少元自来水公司应收水费多少元? ? 【思路点拨思路点拨】分别确定不超过分别确定不超过5t5t和超过和超过5t5t的函数表达式的函数表达式将自将自 变量的值代入求函数值变量的值代入求函数值 【自主解答自主解答】(1)(1)当用水量不超过当用水量不超过5t5t时时,y=2x(x5);,y=2x(x5); 当用水量超过当用水量超过5t5t时时,y=5,y=52+(x2+(x- -5)5)2.6=2.6x2.6=2.6x- -3(x5).3(x5). (2)(2)当当x=8x=8时时, ,因为因为85,85,所以所以y=2.6y=2.68 8-
11、 -3=17.8.3=17.8. 答答: :自来水公司今年自来水公司今年5 5月份应向该户收水费月份应向该户收水费17.817.8元元. . 【总结提升总结提升】用一次函数解决实际问题的用一次函数解决实际问题的“三步法三步法” 1.1.审题审题: :抓住关键词抓住关键词, ,找出问题中的变量及变量间的关系找出问题中的变量及变量间的关系. . 2.2.列式列式: :根据变量间的关系列出函数表达式根据变量间的关系列出函数表达式. . 3.3.求解求解: :依据表达式依据表达式, ,利用函数的有关概念解决实际问题利用函数的有关概念解决实际问题. . 题组一：题组一：一次函数、正比例函数的概念一次函数
12、、正比例函数的概念 1 1下列函数：下列函数：y=xy=x； y=2x+1y=2x+1，其中一，其中一 次函数的个数是次函数的个数是( )( ) A.1 B.2 A.1 B.2 C.3 C.3 D.4D.4 【解析解析】选选C C一次函数一次函数y=kx+by=kx+b的定义条件是：的定义条件是：k,bk,b为常数，为常数， k0k0，自变量次数为，自变量次数为1 1y=xy=x是一次函数；是一次函数； 是一次函是一次函 数；数； 自变量次数不为自变量次数不为1 1，故不是一次函数；，故不是一次函数；y=2x+1y=2x+1是是 一次函数一次函数 x y 4 ； 4 y x ； x y 4 4
13、 y x 2.2.若函数若函数y=3xy=3x2a 2a- -5 5是正比例函数 是正比例函数, ,则则a=a= . . 【解析解析】由题意知由题意知,2a,2a- -5=1,5=1,解得解得a=3.a=3. 答案答案: :3 3 3.3.在一次函数在一次函数y=y=- -2(x+1)+x2(x+1)+x中中, ,比例系数比例系数k k为为 , ,常数项常数项b b 为为 . . 【解析解析】化简一次函数为化简一次函数为y=y=- -2(x+1)+x=2(x+1)+x=- -x x- -2,2, 故其比例系数故其比例系数k k为为- -1,1,常数项常数项b b为为- -2.2. 答案答案:
14、:- -1 1 - -2 2 4.4.若函数若函数y=(6+3m)x+ny=(6+3m)x+n- -4 4是一次函数是一次函数, ,则则m m应满足的条件是应满足的条件是_ _;_;若是正比例函数若是正比例函数, ,则则m,nm,n应满足的条件是应满足的条件是 ; ; 若若m=1,n=m=1,n=- -2,2,则函数表达式是则函数表达式是 . . 【解析解析】若函数若函数y=(6+3m)x+ny=(6+3m)x+n- -4 4是一次函数是一次函数, ,则则6+3m0,6+3m0,解得解得 mm- -2;2;若是正比例函数若是正比例函数, ,则则6+3m06+3m0且且n n- -4=0,4=0
15、,解得解得mm- -2,n=4;2,n=4;把把 m=1,n=m=1,n=- -2 2代入代入y=(6+3m)x+ny=(6+3m)x+n- -4 4得函数表达式为得函数表达式为y=9xy=9x- -6.6. 答案答案: :mm- -2 2 mm- -2,n=42,n=4 y=9xy=9x- -6 6 5.5.已知已知 当当m m为何值时为何值时,y,y是是x x的一次函数的一次函数? ? 【解析解析】由题意得由题意得 解得解得 所以所以m=m=- -3.3. 所以当所以当m=m=- -3 3时时, , 可化为可化为y=y=- -6x+1,6x+1,所以当所以当m=m=- -3 3 时时,y,
16、y是是x x的一次函数的一次函数. . 2 m8 ym3 x1, 2 m81, m30, m3, m3. 2 m8 ym3 x1 题组二题组二: :一次函数的简单应用一次函数的简单应用 1.1.如图中的圆点是有规律地从里到外逐层排如图中的圆点是有规律地从里到外逐层排 列的列的. .设设y y为第为第n n层层(n(n为正整数为正整数) )圆点的个数圆点的个数, , 则下列函数关系中正确的是则下列函数关系中正确的是 ( ( ) ) A.y=4nA.y=4n- -4 B.y=4n4 B.y=4n C.y=4n+4 D.y=nC.y=4n+4 D.y=n2 2 【解析解析】选选B.B.由图可知由图可
17、知:y=1:y=1时时, ,圆点有圆点有4 4个个,y=2,y=2时时, ,圆点有圆点有8 8个个 所以所以y=4n.y=4n. 2.2.某种储蓄的月利率是某种储蓄的月利率是0.6%,0.6%,存入存入100100元本金元本金, ,则本息和则本息和y(y(元元) ) ( (本息和本息和= =本金本金+ +本金本金利率利率月数月数) )与所存月数与所存月数x x之间的函数表之间的函数表 达式是达式是 . . 【解析解析】本题确定函数表达式的关键是根据基本数量关系本题确定函数表达式的关键是根据基本数量关系“本本 息和息和= =本金本金+ +本金本金利率利率月数月数”列出表达式列出表达式. .由题意
18、由题意 知知:y=100+100:y=100+1000.6%x,0.6%x,即即y=100+0.6x.y=100+0.6x. 答案答案: :y=100+0.6xy=100+0.6x 3.3.一化工厂生产某种产品一化工厂生产某种产品, ,产品出厂价为产品出厂价为500500元元/t,/t,其原材料成其原材料成 本本( (含设备损耗含设备损耗) )为为200200元元/t,/t,同时同时, ,生产生产1t1t该产品需付环保处理该产品需付环保处理 费及各项支出共计费及各项支出共计100100元元. .写出利润写出利润y(y(元元) )与产品销量与产品销量x(t)x(t)之间之间 的函数表达式的函数表
19、达式 , ,销售该产品销售该产品 t,t,才能获得才能获得1010万万 元利润元利润. . 【解析解析】依题意有依题意有:y=(500:y=(500- -200200- -100)x=200x.100)x=200x. 当当y=100000y=100000时时,x=500.,x=500. 答案答案: :y=200xy=200x 500500 4.“4.“母亲节”到了母亲节”到了, ,八年级八年级(1)(1)班班委发起慰问烈士家属王大妈班班委发起慰问烈士家属王大妈 的活动的活动, ,决定在“母亲节”期间全班同学利用课余时间去卖鲜决定在“母亲节”期间全班同学利用课余时间去卖鲜 花筹集慰问金花筹集慰问
20、金. .已知同学们从花店按每支已知同学们从花店按每支1.21.2元买进鲜花元买进鲜花, ,并按并按 每支每支3 3元售出元售出. . (1)(1)求同学们卖出鲜花的销售额求同学们卖出鲜花的销售额y(y(元元) )与销售量与销售量x(x(支支) )之间的函之间的函 数表达式数表达式. . (2)(2)若从花店购买鲜花的同时若从花店购买鲜花的同时, ,还总共用去还总共用去4040元购买包装材料元购买包装材料, , 求所筹集的慰问金求所筹集的慰问金w(w(元元) )与销售量与销售量x(x(支支) )之间的函数表达式之间的函数表达式; ;若若 要筹集不少于要筹集不少于500500元的慰问金元的慰问金,
21、 ,则至少要售出鲜花多少支则至少要售出鲜花多少支?(?(慰问慰问 金金= =销售额销售额- -成本成本) ) 【解析解析】(1)y=3x.(1)y=3x. (2)w=3x(2)w=3x- -1.2x1.2x- -40=1.8x40=1.8x- -40.40. 所筹集的慰问金所筹集的慰问金w(w(元元) )与销售量与销售量x(x(支支) )之间的函数表达式为之间的函数表达式为 w=1.8xw=1.8x- -40.40. 当当w500w500即即1.8x1.8x- -4050040500时时, ,解得解得x300.x300. 若要筹集不少于若要筹集不少于500500元的慰问金元的慰问金, ,至少要
22、售出鲜花至少要售出鲜花300300支支. . 5.5.为了提高土地利用率为了提高土地利用率, ,将小麦、玉米、黄豆三种农作物套种将小麦、玉米、黄豆三种农作物套种 在一起在一起, ,俗称“三种三收”俗称“三种三收”, ,现将面积为现将面积为1010亩的一块农田进行亩的一块农田进行 “三种三收”套种“三种三收”套种, ,为保证主要农作物的种植比例为保证主要农作物的种植比例. .要求小麦的要求小麦的 种植面积占总面积的种植面积占总面积的60%,60%,下表是三种农作物的亩产量及销售单下表是三种农作物的亩产量及销售单 价的对应表价的对应表: : 小麦小麦 玉米玉米 黄豆黄豆 亩产量亩产量(kg)(kg
23、) 400400 600600 220220 销售单价销售单价( (元元/kg)/kg) 2 2 1 1 2.52.5 (1)(1)设玉米的种植面积为设玉米的种植面积为x x亩亩, ,三种农作物的总售价为三种农作物的总售价为y y元元, ,写出写出y y 与与x x的函数表达式的函数表达式. . (2)(2)在保证小麦种植面积的情况下在保证小麦种植面积的情况下, ,玉米、黄豆同时均按整亩数玉米、黄豆同时均按整亩数 套种套种, ,有几种“三种三收”套种方案有几种“三种三收”套种方案? ? 【解析解析】(1)(1)由题意知玉米的种植面积为由题意知玉米的种植面积为x x亩亩, ,小麦的种植面积小麦的
24、种植面积 为为6 6亩亩, ,黄豆的种植面积为黄豆的种植面积为4 4- -x x亩亩; ; y=400y=4002 26+600x+2206+600x+2202.52.5(4(4- -x)=50x+7000.x)=50x+7000. (2)(2)玉米、黄豆同时均按整亩数套种玉米、黄豆同时均按整亩数套种, ,则则x x可取可取0x4,0x4,得出三种得出三种 方案方案: : 玉米玉米1 1亩亩, ,黄豆黄豆3 3亩亩; ;玉米玉米2 2亩亩, ,黄豆黄豆2 2亩亩; ;玉米玉米3 3亩亩, ,黄豆黄豆1 1亩亩. . 【想一想错在哪？想一想错在哪？】已知函数已知函数y=(k+3)xy=(k+3)x2k 2k- -1 1+4x +4x- -5 5是一次函数是一次函数, , 试求试求k k的值的值. . 提示提示: :分类讨论不全而致错分类讨论不全而致错! !
